2023-2024学年山东省临沂六中九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂六中九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.实数a的绝对值是23，a的值是( )
A. 23B. ±23C. −23D. ±32
2.如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.山东省济南市济阳区曲堤街道，号称“中国黄瓜之乡”.特产曲堤黄瓜，全国农产品地理标志.2022年，该街道黄瓜年产值超1500000000元.将数字1500000000用科学记数法表示为( )
A. 15×108B. 1.5×109C. 0.15×1010D. 1.5×108
4.如图，AB/​/CD，E，F为直线CD上两点，且BF平分∠ABE；若∠1=108°，则∠2的度数为( )
A. 30°
B. 36°
C. 42°
D. 45°
5.数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案(不考虑文字说明)中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 有害垃圾B. 可回收物
C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
6.化简x2x−1+x1−x的结果是( )
A. xB. x−1C. −xD. x+1
7.现将正面分别标有“善”、“美”、“济”、“阳”图案的四张卡片(除卡片正面的内容不同外，其余完全相同)，背面朝上放在桌面上，混合洗匀后，王刚从中随机抽取两张，则这两张卡片正面的图案恰好可以组成“济阳”的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
8.反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是( )
A. 10
B. 8
C. 7
D. 6
9.如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为( )
A. πB. 2πC. 3 3−πD. 2 3−π
10.把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为y=a(x+1)2−a2，若(m−2)a+b+c≥0成立，则m的最小整数值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.把多项式因式分解：x2−6x+9=______．
12.已知关于x的一元二次方程x2+2x+1−m=0的一个根为2，则另一个根是______．
13.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，击中黑色区域的概率是______．
14.我们规定：使得a−b=ab成立的一对数a，b为“差积等数对”，记为(a,b).例如，因为3−0.75=3×0.75，(−2)−2=(−2)×2，所以数对(3,0.75)，(−2,2)都是“差积等数对”，若(k,−1)是“差积等数对”，则k的值是______．
15.一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间(如图)，已知∠ACB=90°，AC=BC，AB=26cm，AD为三块砖的厚度，BE为两块砖的厚度，李明很快就知道了砌墙所用砖块的厚度(每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计)为______cm．
16.如图，直线y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线y=x+1于点B1，以点A为圆心，AB1长为半径画弧交x轴于点A2；过点A2作x轴的垂线交直线y=x+1于点B2，以点A为圆心，AB2长为半径画弧交x轴于点A3；…按此做法进行下去，点B2021的坐标为______．
三、计算题：本大题共4小题，共42分。
17.为了解某校七，八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校七，八年级部分学生进行调查，已知抽取七年级与八年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图表．
睡眠情况分组表(单位：时)
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)求统计图中的a；
(2)抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在C组的有多少人？
(3)已知该校七年级学生有755人，八年级学生有785人，如果睡眠时间x(时)满足：7.5≤x≤9.5，称睡眠时间合格，试估计该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有多少人？
18.王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2 10米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i=1：3(点E、C、B在同一水平线上)．
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．
19.如图，⊙O是以AB为直径的圆，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点F，连结CA，CB．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若⊙O的半径为5，且tan∠DAC=12，求BC的长．
20.为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
(1)绳子和实心球的单价各是多少元？
(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
四、解答题：本题共3小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
计算：−22+(π−2017)0−2sin60°+|1− 3|；
22.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB的中点，连接CD，CD=6，以点D为顶点作△DEF，使∠EDF=90°，DE=DF=10．
(1)连接BF，CE.线段BF和线段CE的数量关系为______，直线BF和直线CE的位置关系为______；
(2)如图2，当EC/​/AB时，设AC与DE交于点G，求DG的长度；
(3)当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出EC的长度．
23.(本小题12分)
已知函数y=−x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,−3)，(−6,−3)．
(1)求b，c的值．
(2)当−4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵|23|=23，|−23|=23，
∴a的值为±23．
故选：B．
根据绝对值的定义进行计算．
本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义是关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的主视图，属于基础题．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】
解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：1500000000=1.5×109．
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|8，
∴k=10符合题意．
故选：A．
根据图象，当x=4时，y=k4，构建不等式可得结论．
考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象的知识，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．
9.【答案】A
【解析】解：连接OC，作EF⊥AB于F，
∵点C是直径AB为4的半圆的中点，
∴∠COB=90°，∠ABC=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，且OB=OC，
∴OD垂直平分BC，
∴CE=BE，
∵∠COB=90°，EF⊥AB，
∴EF//OC，
∴BFOF=BECE=1，
∴EF是△BOC的中位线，
∴EF=12OC=1，
∴S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2，
∵S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2，
∴S△ABE=S△OBC，
∴S阴影=S半圆AB−S△ABE−S弓形BC=S半圆AB−S扇形OBC=12S半圆AB=12×12π×22=π．
故选：A．
连接OC，作EF⊥AB于F，根据圆周角定理得到∠COB=90°，∠ABC=45°，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断OD是BC的垂直平分线，进一步即可求得EF=12OC=1，求得S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2，S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2，得到S△ABE=S△OBC，即可得到S阴影=12S半圆AB．
本题考查扇形的面积公式、圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是解得S△ABE=S△OBC，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：∵变换后图象解析式为y=a(x+1)2−a2，
∴抛物线顶点坐标为(−1,−a2)，
∴原函数图象解析式为y=a(x−1)2−a2，
∴−b2a=1，即b=−2a，
将x=0代入y=ax2+bx+c得y=c，
将x=0代入y=a(x−1)2−a2得y=a−a2，
∴c=a−a2，
∴(m−2)a+b+c=(m−2)a−2a+a−a2≥0，
整理得(m−2)a≥a2+a，
∵a>0，
∴m−2≥a+1，即m≥a+3，
∴m的最小整数值为4，
故选：C．
由变换后解析式可得变换前解析式，从而可得顶点坐标，即可求出b与a的关系，将x=0分别代入y=ax2+bx+c与变换前解析式可得c与a的关系，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
11.【答案】(x−3)2
【解析】解：x2−6x+9=(x−3)2．
故答案为：(x−3)2．
直接利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12.【答案】−4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1−m=0的一个根为2，另一个根为a，
∴2+a=−2，
解得：a=−4，
则另一根是−4．
故答案为：−4．
设另一个根为a，利用根与系数的关系求出a的值即可．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中黑色区域的面积为3个小正方形的面积，
∴飞镖落在黑色区域的概率是39=13．
故答案为13．
根据几何概率的求法，飞镖落在黑色区域的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值，计算即可．
本题考查几何概率．
14.【答案】−12
【解析】解：∵(k,−1)是“差积等数对”，
∴k−(−1)=k×(−1)，
解得：k=−12．
故答案为：−12．
根据“差积等数对”的定义进行求解即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，解答的关键理解清楚题意列出相应的式子．
15.【答案】 26
【解析】解：过点B作BF⊥AD于点F，
设砌墙砖块的厚度为x cm，则BE=2x cm，则AD=3x cm，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∵∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DCA=∠EBCAC=BC，
∴△ACD≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=5x(cm)，AF=AD−BE=x(cm)，
在Rt△AFB中，
AF2+BF2=AB2，
∴25x2+x2=262，
解得；x= 26或x=− 26(舍去)，
故答案为： 26．
首先证明△ACD≌△CEB(AAS)，进而利用勾股定理，在Rt△AFB中，AF2+BF2=AB2，求出即可．
此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出AD=BE，DC=CF是解题关键．
16.【答案】(21011−1,21011)
【解析】解：当y=0时，x+1=0，解得：x=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
∵点A1坐标为(1,0)，
∴AA1=2，
把x=1代入y=x+1得，y=2，
∴A1B1=2，
在Rt△A1AB1中，AA1=2，A1B1=2，∠AA1B1=90°，
∴AB1= 22+22=2 2．
∵以点A为圆心，AB1长为半径画弧，交x轴于点A2，
∴点A2的坐标为(2 2−1,0)．
当x=2 2−1时，y=2 2−1+1=2 2，
∴点B2的坐标为(2 2−1,2 2).
同理，可求出：AB2=4，点A3的坐标为(3,0)，点B3的坐标为(3,4)，…，
∴点Bn的坐标为(2( 2)n−1−1,2( 2)n−1)(n为正整数)，
∴点B2021的坐标为(2×( 2)2021−1−1,2×( 2)2021−1)，即(21011−1,21011).
故答案为：(21011−1,21011).
利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理可求出AB1的长，进而可得出点A2，B2的坐标，同理可得出点A3，B3的坐标，根据点的变化规律可得出点Bn的坐标为(2( 2)n−1−1,2( 2)n−1)(n为正整数)，再代入n=2021即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出变化规律“点Bn的坐标为(2( 2)n−1−1,2( 2)n−1)(n为正整数)“是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据题意得：a=1−(35%+25%+25%+10%)=5%；
(2)根据题意得：(6+19+17+10+8)×35%=21(人)，
则抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在C组的有21人；
(3)根据题意得：755×19+1760+785×(25%+35%)
=453+471
=924(人)，
答：该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有924人．
【解析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，数(率)分布表，用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
(1)根据扇形统计图，确定出a的值即可；
(2)根据图1求出抽取的人数，乘以C占的百分比即可得到结果；
(3)分别找出七八年级睡眠合格的人数，求出之和即可．
18.【答案】解：(1)如图，过点D作DH⊥CE交CE于点H，
由题意知CD=2 10米，
∵斜坡CF的坡比为i=1：3，
∴DHCH=13，
设DH=x米，CH=3x米，
∵在Rt△CDH中，DH2+CH2=CD2，
∴x2+(3x)2=(2 10)2，
∴x1=2，x2=−2(舍)
∴DH=2米，CH=6米，
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
(2)如图，过点D作DG⊥AB交AB于点G，设BC=y米，
∵∠DHB=∠DGB=∠ABC=90°，
∴四边形DHBG为矩形，
∴DH=BG=2米，DG=BH=BC+CH=y+6(米)，
∵∠ACB=45°，
∴BC=AB=y米，
∴AG=y−2(米)，
∵∠ADG=30°，
∴在Rt△ADG中，tan30°=AGDG，
∴y−2y+6= 33，
∴y=6+4 3，
∴AB=(6+4 3)米，
答：大树AB的高度是(6+4 3)米．
【解析】(1)过点D作DH⊥CE交CE于点H，解Rt△CDH，即可求出DH；
(2过点D作DG⊥AB交AB于点G，设BC=y米，用y表示出AG、DG，根据tan∠ADG=AGDG列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握坡比的含义，锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵EF为切线，
∴OC⊥EF，
∵AE⊥EF，
∴AE/​/OC，
∴∠EAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴AC平分∠DAB；
(2)解：∵∠OAC=∠OCA，
∴tan∠OAC=tan∠DAC=12，
设BC=x，则AC=2x，
∴AB= 5x，
∴ 5x=10，解得x=2 5，
∴BC=2 5．

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．
(1)利用切线的性质得到OC⊥EF，而AE⊥EF，则可判定AE/​/OC，利用平行线的性质得到∠EAC=∠OCA，加上∠OCA=∠OAC，于是得到∠EAC=∠OCA；
(2)利用∠OAC=∠OCA得到tan∠OAC=tan∠DAC=12，设BC=x，则AC=2x，根据勾股定理得到AB= 5x，则 5x=10，然后解方程求出x即可得到BC的长．
20.【答案】解：(1)设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，
根据题意，得84x=360x+23，
解得x=7，
经检验可知x=7是所列分式方程的解，且满足实际意义，
∴x+23=30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
(2)设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得7×3m+30m=510，
解得m=10，
∴3m=30，
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．
【解析】(1)设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，根据数量=总价÷单价且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
(2)设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据费用等于单价×数量列出方程解答即可．
本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程．
21.【答案】解：原式=−4+1−2× 32+ 3−1
=−4+1− 3+ 3−1
=−4．
【解析】直接利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
本题考查的是绝对值，实数运算，零指数幂，特殊三角函数值有关知识，正确化简各数是解题关键．
22.【答案】BF=CE BF⊥CE
【解析】解：(1)如图1，延长EC交BF于点H，
∵∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB的中点，
∴CD=AD=BD=12AB=6，CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，DE=DF=10，
∴∠BDF=∠CDE=90°−∠CDF，
在△BDF和△CDE中，
BD=CD∠BDF=∠CDEDF=DE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴BF=CE，∠BFD=∠CED，
∴∠EFH+∠FEH=∠FEH+∠BFD+∠DFE=∠FEH+∠CED+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠EHF=90°，
∴BF⊥CE，
故答案为：BF=CE，BF⊥CE．
(2)∵EC//AB，
∴∠DCE=∠CDB=90°，
∴CE= DE2−CD2= 102−62=8，
∵△CGE∽△AGD，
∴EGDG=CEAD=86=43，
∴DG=33+4DE=37×10=307，
∴DG的长度是307．
(3)如图3，E，C，B在同一条直线上，且点E在BC的延长线上，
由(1)得BF=EC，BF⊥CE，
∴∠EBF=90°，
∵∠EDF=90°，DE=DF=10，∠CDB=90°，CD=BD=6，
∴EF2=DE2+DF2=102+102=200，BC= CD2+BD2= 62+62=6 2，
∵BF2+BE2=EF2，BE=EC+6 2，
∴EC2+(EC+6 2)2=200，
解得EC= 82−3 2或EC=− 82−3 2(不符合题意，舍去)；
如图4，E，C，B在同一条直线上，且点E在CB的延长线上，
∵BF2+BE2=EF2，BE=EC−6 2，
∴EC2+(EC−6 2)2=200，
解得EC= 82+3 2或EC=− 82+3 2(不符合题意，舍去)，
综上所述，EC的长为 82−3 2或 82+3 2．
(1)延长EC交BF于点H，可证明△BDF≌△CDE，得BF=CE，∠BFD=∠CED，即可推导出∠EFH+∠FEH=∠FEH+∠BFD+∠DFE=∠FEH+∠CED+∠DFE=90°，则∠EHF=90°，所以BF⊥CE，于是得到问题的答案；
(2)由EC/​/AB，得∠DCE=∠CDB=90°，则CE= DE2−CD2=8，由△CGE∽△AGD，得EGDG=CEAD=43，则DG=37DE=307；
(3)分两种情况，一是点E，C，B在同一条直线上，且点E在BC的延长线上，由勾股定理得EF2=DE2+DF2=200，BC=6 2，所以EC2+(EC+6 2)2=200；二是点E，C，B在同一条直线上，且点E在CB的延长线上，则EC2+(EC−6 2)2=200，解方程求出符合题意的EC的值即可．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】解：(1)把(0,−3)，(−6,−3)代入y=−x2+bx+c中，
得b=−6，c=−3．
(2)∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6，
又∵−4≤x≤0，
∴当x=−3时，y有最大值为6．
(3)①当−3