2024年山东省聊城市茌平实验中学中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年山东省聊城市茌平实验中学中考数学模拟试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的相反数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.如图所示的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的左视图是( )
A. B.
C. D.
3.在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为0.00000078米，用科学记数法表示为7.8×10n，则n的值为( )
A. 7B. −6C. −7D. −8
4.下列运算正确的是( )
A. a6÷a3=a2B. a2⋅a3=a5
C. (2a3)2=2a6D. (a+b)2=a2+b2
5.如图，直线l1//l2，l1和AB的夹角∠DAB=135°，且AB=50mm，则两平行线l1和l2之间的距离是( )
A. 25B. 50C. 50 2D. 25 2
6.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
7.有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )
A. a>0B. b<0C. ab<0D. a−b>0
8.如图，⊙O的弦BD、AC交于点E.若AB/​/CD，则下列说法正确的是( )
A. ∠DEA=∠AOD
B. ∠DEA>∠AOD
C. ∠DEA<∠AOD
D. 无法确定
9.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为(参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数)( )
A. 188 mB. 269 mC. 286 mD. 312 m
10.如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠A=30°，点E在AD边上，AE=2cm.动点P从点A出发以3cm/秒的速度沿A→B→C→D运动，当点P出发2秒后，点E也以1cm秒的速度沿E→D运动，当点P到达D点时，P，E两点同时停止运动．设点P运动的时间为x(秒)，△APE的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：a2−4b2= ．
12.若代数式6x+2与4x的值相等，则x= ．
13.4的平方根是______．
14.化简：a2+aba−b÷aba−b的结果是______．
15.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y(元)与用水量x(m3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多______元．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE.求：BEAC= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.(1)计算：(π2)0−2sin30°+ 4+(12)−1；
(2)解不等式组：4(2x−1)≤3x+1①2x>x−32②，并写出它的所有整数解．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF．
19.(本小题8分)
从甲、乙两班各随机抽取10名学生(共20人)参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组(满分为100分)：A组：50≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
(1)根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩(取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩)；
(2)参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
(3)若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲−=76，x乙−=76；样本方差为S甲2=80，S乙2=275.4.请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
20.(本小题8分)
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
21.(本小题9分)
如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为(m,−3)，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC=2CD．
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
(3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题9分)
已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA=CD；
(2)若AB=12，求线段BF的长．
23.(本小题10分)
掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化.明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x(单位：米)与竖直高度y(单位：米)的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．

(1)在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米；
(2)求满足条件的抛物线的解析式；
(3)根据中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
24.(本小题12分)
综合与实践
【问题情境】
如图1，小颖将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
【活动猜想】
(1)如图2，当点B′与点D重合时，请直接写出四边形BEDF是哪种特殊的四边形？
答：______．
【问题解决】
(2)在矩形纸片ABCD中，若边AB=2，BC=2 3．
①请判断A′B′与对角线AC的位置关系并仅就图3给出证明；
②当B′D=1时，请直接写出此时AE的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2024的相反数是−2024，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：从左边看去，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：C．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
0.00000078=7.8×10−7，
所以n=−7．
故选：C．
根据将一个数写成a×10n(1≤|a|<10)的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案．
本题考查科学记数法−表示较小的数，解答本题的关键要掌握：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，当原数为较大数时，n为整数位数减1；当原数为较小数(大于0小于1的小数)时，n为第一个非0数字前面所有0的个数的相反数．
4.【答案】B
【解析】解：A、原式=a3，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式=a5，故本选项计算正确，符合题意；
C、原式=4a6，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式=a2+2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则以及完全平方公式分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方以及完全平方公式，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AC⊥l2于点C，
∵直线l1//l2，AC⊥l2，
∴∠DAC=90°，
∵∠DAB=135°，
∴∠BAC=∠DAB−∠DAC=45°，
∴∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
2AC2=502，
∴AC=25 2．
∴两平行线l1和l2之间的距离为25 2．
故选：D．
过点A作AC⊥l2于点C，证明∠BAC=∠ABC，所以AC=BC，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即可解答．
本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是作辅助线，构建等腰直角三角形．
6.【答案】D
【解析】解：A.该图案是轴对称图形，也是中心对称图形．故不符合题意；
B.该图案是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
C.该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故不符合题意；
D.该图案是中心对称图形，不是轴对称图形．故符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7.【答案】C
【解析】解：A、如图所示：a<0，故此选项错误；
B、如图所示：b>0，故此选项错误；
C、由选项A，B可得ab<0，故此选项正确；
D、由选项A，B可得a−b<0，故此选项错误；
故选：C．
利用数轴可得出a，b的符号，进而判断各选项得出答案．
此题主要考查了数轴，正确利用数轴得出a，b的符号是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵∠DCA=∠ABD，
∴∠CDB=∠DCA=∠ABD，
∴∠CDB+∠DCA=∠DEA，
∴2∠DCA=∠DEA，
∵2∠ABD=∠AOD，
∴∠DEA=∠AOD．
故选：A．
根据平行线的性质，同弧或者等弧所对是圆周角是圆心角的一半，三角形的外角和即可．
本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，平行线的性质，同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题．解决本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．首先分析图形，根据题意得两个直角三角形△AON、△BOM，通过解这两个直角三角形求得NO、MO的长度，进而利用MN=MO+NO即可求出答案．
【解答】
解：由题意得：∠N=43°，∠M=35°，AO=135m，BO=AO−AB=95m，
在Rt△AON中，
tanN=AONO=tan43°，
∴NO=AOtan43∘≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM=BOMO=tan35°，
∴MO=BOtan35∘≈135.7m，
∴MN=MO+NO=135.7+150≈286m．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】解：当0≤x≤1，点P在AB上，AP=3x cm，
过点P作PF⊥AE于点F，如图，
在Rt△AFP中，
∵sin∠A=PFAP，
∴PF=AP×sin30°=32x cm．
∴y=12×AE×PF=12×2×32x=32x(cm2).
∴y是x的一次函数，图象是一条线段；
当1则BH=12AB=32cm．
∴y=12×AE×BH=32(cm2)．
∴此时y关于x的函数图象是一条与x轴平行的线段；
当2过点B作B⊥AD，交AD延长线于点G，如图，
∵AB/​/CD，
∴∠CDG=∠DAB=30°．
∴PG=12PD=12(9−3x)cm．
∴y=12AE×PG=12×12(9−3x)×x=−34x2+94x=−34(x−32)2+2716．
∴此时y关于x的函数图象是一条开口向下的抛物线的一部分，
综上，关于x的函数图象大致为B，
故选：B．
分0≤x≤1，1本题主要考查了动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值，解直角三角形，三角形的面积．利用分类讨论的思想求出相应的函数解析式是解题的关键．
11.【答案】(a+2b)(a−2b)
【解析】【分析】
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
【解答】
解：a2−4b2=(a+2b)(a−2b)．
故答案为(a+2b)(a−2b)．
12.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了解分式方程，解答本题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行．由已知条件：代数式6x+2与4x的值相等，可以得出方程6x+2=4x，解方程即可．
【解答】
解：根据题意得：6x+2=4x，
去分母得：6x=4(x+2)，
移项合并同类项得：2x=8，
解得x=4．
经检验x=4是原方程的解．
故答案为4．
13.【答案】±2
【解析】【分析】
本题考查了平方根的定义，解题关键是掌握其定义并会运用.根据正数有两个平方根，并且互为相反数即可得出．
【解答】
解：∵(±2)2=4，
∴4的平方根为±2，
故答案为±2．
14.【答案】a+bb
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的除法，关键是注意结果要化简.根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘进行计算即可．
【解答】
解：原式=a(a+b)a−b⋅a−bab=a+bb，
故答案为a+bb．
15.【答案】210
【解析】解：设当x>120时，l2对应的函数解析式为y=kx+b，
120k+b=480160k+b=720，得k=6b=−240，
即当x>120时，l2对应的函数解析式为y=6x−240，
当x=150时，y=6×150−240=660，
由图象可知，去年的水价是480÷160=3(元/m3)，故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3=450(元)，
660−450=210(元)，
即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
根据函数图象中的数据可以求得x>120时，l2对应的函数解析式，从而可以求得x=150时对应的函数值，由l1的的图象可以求得x=150时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
16.【答案】3− 52
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=12∠ACB=36°，
∴∠A=∠ACE=36°，
∴AE=CE，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=72°，
∴∠B=∠CEB=72°，
∴CB=CE，
∴AE=CE=CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴BEBC= 5−12，
∴BEAE= 5−12，
设BE=( 5−1)x,AE=2x，
∴BEAC=BEAB=BEAE+BE=( 5−1)x( 5−1)x+2x=3− 52．
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠ACB=72°，再根据题意可得：CP平分∠ACB，从而可得∠BCE=∠ACE=36°，然后利用等量代换可得∠A=∠ACE=36°，从而可得AE=CE，再利用三角形的外角性质可得∠B=∠CEB=72°，从而可得CB=CE，进而可得AE=CE=CB，最后根据黄金三角形的定义可得BEBC= 5−12，从而进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图−基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=1−2×12+2+2
=4；
(2)4(2x−1)≤3x+1①2x>x−32②，
由①得：x≤1，
由②得：x>−1，
∴不等式组的解集为−1则不等式组的整数解为0，1．
【解析】(1)原式利用平方根的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有整数解．
此题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD//BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中
∠EAO=∠FCOAO=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF．
【解析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD//BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
19.【答案】解：(1)D组人数为：20×25%=5(人)，C组人数为：20−(2+4+5+3)=6(人)，
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：55×2+65×4+75×6+85×5+95×320=76.5(分)；
(2)把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为1216=34；
(3)∵样本方差为S甲2=80，S乙2=275.4，
∴S甲2∴甲班的成绩稳定，
∴甲班的数学素养总体水平好．
【解析】(1)求出D组和C组的人数，补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，再由概率公式求解即可；
(3)由两班样本方差的大小作出判断即可．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，
依题意得：800x−12002x=50，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
则2x=8，
答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为4元．
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，
依题意得：8m+4(200−m)≤1150，
解得：m≤87.5，且m为正整数，
答：最多购进87个甲种粽子．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，由题意：总金额不超过1150元，列出一元一次不等式，解不等式，并结合实际意义解答即可．
21.【答案】解：(1)将点A的坐标为(m,−3)代入直线y=32x中，
得−3=32m，
解得：m=−2，
∴A(−2,−3)，
∴k=−2×(−3)=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
由y=32xy=6x，
得x=−2y=−3或x=2y=3，
∴点B的坐标为(2,3)；
(2)如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE//CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DCDB=CFBE，
∵BC=2CD，BE=3，
∴CDDB=13，
∴CF3=13，
∴CF=1，
∴C(6,1)，
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为GB+GC的最小值，
易得B′(−2,3)，
∵C(6,1)，
∴B′C= (−2−6)2+(3−1)2=2 17，
∴GB+GC的最小值为2 17；
(3)存在．理由如下：
①当点P在x轴上时，如图2，
设点P1的坐标为(a,0)，
过点B作BE⊥x轴于点E，
∵∠OEB=∠OBP1=90°，∠BOE=∠P1OB，
∴△OBE∽△OP1B，
∴OBOP1=OEOB，
∵B(2,3)，
∴OB= 22+32= 13，
∴ 13a=2 13，
∴a=132，
∴点P1的坐标为(132,0)；
②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，
设点P2的坐标为(0,b)，
∵∠ONB=∠P2BO=90°，∠BON=∠P2OB，
∴△BON∽△P2OB，
∴OBOP2=ONOB，即 13b=3 13，
∴b=133，
∴点P2的坐标为(0,133)；
综上所述，点P的坐标为(132,0)或(0,133).
【解析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称−最短路径问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
(1)将点A的坐标为(m,−3)代入直线y=32x中，可求得A(−2,−3)，进而求得k=6，解方程组y=32xy=6x，即可求出点B的坐标；
(2)如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE/​/CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C(6,1)，作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为GB+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
(3)分两种情况：①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为(a,0)，过点B作BE⊥x轴于点E，证得△OBE∽△OP1B，得到OBOP1=OEOB，建立方程求解即可；
②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，设点P2的坐标为(0,b)，证得△BON∽△P2OB，得到OBOP2=ONOB，建立方程求解即可．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠COD=90°−∠D=60°，
∴∠A=12∠COD=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∴CA=CD；
(2)解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，AB=12，
∴BC=12AB=6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=12∠ACB=45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴BF=CF，
∴由勾股定理得，BF= 22BC=6× 22=3 2，
∴线段BF的长为3 2．
【解析】(1)连接OC，利用切线的性质可得∠OCD=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD=60°，从而利用圆周角定理可得∠A=30°，最后根据等角对等边，即可解答；
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而利用(1)的结论可得BC=12AB=6，再利用角平分线的定义可得∠BCE=45°，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】2 3.6
【解析】解：(1)由题意可知出手时实心球的竖直高度即为x=0时y的值，
通过图表可得当x=0时，y=2，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，
由当x=2时，y=3.2；当x=6时，y=3.2，
可得对称轴为直线x=4，
则当x=4时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得当x=4时，y=3.6，
得实心球在空中的最大高度是3.6米，
故答案为：2，3.6；
(2)设抛物线的解析式为y=a(x−h)2+k，
由(1)得抛物线的顶点坐标为(4,3.6)，
则h=4，k=3.6，
得抛物线的解析式为y=a(x−4)2+3.6，
把(0,2)代入，
得a(0−4)2+3.6=2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为y=−0.1(x−4)2+3.6；
(3)明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把y=0代入y=−0.1(x−4)2+3.6，
得−0.1(x−4)2+3.6=0，
解得x1=10或x2=−2(不符合题意，舍去)，
∵10>9.7，
∴明明在此次考试中能得到满分．
(1)根据图表即可求解；
(2)设抛物线的解析式为y=a(x−h)2+k，通过图表求出抛物线的顶点，再代入(0,2)即可求出解析式；
(3)把y=0代入y=−0.1(x−4)2+3.6，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题．
24.【答案】菱形
【解析】解：(1)如图2，由折叠得点B′与点B关于直线EF对称，
∴直线EF垂直平分BB′，
∵点B′与点D重合，
∴直线EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∵∠DFE=∠BFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴BE=DE=BF=DF，
∴四边形BEDF是菱形，
故答案为：菱形．
(2)①A′B′//AC，
证明：如图3，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2 3，
∴BD=AC= AB2+BC2= 22+(2 3)2=4，
∴OA=OC=12AC=2，OB=OD=12BD=2，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵∠A′B′B=∠ABO=60°，
∴∠A′B′B=∠AOB，
∴A′B′//AC．
②AE的长度为 33或 3，
理由：如图3，点B′在线段BD上，设A′B′交AD于点G，
∵∠A′=∠BAD=90°，∠A′B′B=∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°−∠ABO=30°，
∴∠A′GE=∠B′GD=∠A′B′B−∠ADB=30°，
∴∠ADB=∠B′GD，
∴B′G=B′D=1，
∵A′B′=AB=2，
∴A′G=A′B′−B′G=2−1=1，
∵A′EA′G=tan∠A′GE=tan30°= 33，
∴AE=A′E= 33A′G= 33×1= 33；
如图4，点B′在线段BD的延长线上，延长AD、A′B′交于点H，
∵∠B′DH=∠ADB=30°，
∴∠H=∠A′B′B−∠A′DH=30°，
∴∠B′DH=∠H，
∴B′H=B′D=1，
∴A′H=A′B′+B′H=3=2+1=3，
∵HE=2A′E，
∴A′H= HE2−A′E2= (2A′E)2−A′E2= 3A′E=3，
∴AE=A′E= 3，
综上所述，AE的长度为 33或 3．
(1)由折叠得点B′与点B关于直线EF对称，则直线EF垂直平分BD，所以BE=DE，BF=DF，由矩形的性质得AD//BC，则∠DEF=∠BFE，而∠DFE=∠BFE，所以∠DEF=∠DFE，则DE=DF，所以BE=DE=BF=DF，即可证明四边形BEDF是菱形，于是得到问题的答案；
(2)①由∠ABC=90°，AB=2，BC=2 3，求得BD=AC= AB2+BC2=4，所以AB=OA=OB=2，则∠AOB=∠ABO=60°，而∠A′B′B=∠ABO=60°，所以∠A′B′B=∠AOB，则A′B′/​/AC；
②分两种情况讨论，一是点B′在线段BD上，设A′B′交AD于点G，可证明∠ADB=∠B′GD=30°，则B′G=B′D=1，求得A′G=A′B′−B′G=1，由A′EA′G=tan30°= 33，得AE=A′E= 33A′G= 33；二是点B′在线段BD的延长线上，延长AD、A′B′交于点H，可证明∠B′DH=∠H=30°，则B′H=B′D=1，求得A′H=A′B′+B′H=3，因为HE=2A′E，A′H= HE2−A′E2= 3A′E=3，求得AE=A′E= 3，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
3.2
3.6
3.5
3.2
2