2024年湖北省黄石市阳新县部分学校中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年湖北省黄石市阳新县部分学校中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.下列4个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.不等式x+5≥1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线a/​/b，△ABC的顶点C在直线b上，直线a交AB于点E，交AC于点F，若∠1=150°，∠ABC=48°，则∠2的度数是( )
A. 18°B. 20°C. 28°D. 30°
5.在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是( )
A. 2.10，2.05B. 2.10，2.10C. 2.05，2.10D. 2.05，2.05
6.下列运算正确的是( )
A. 2× 3= 6B. 3÷(− 5)=−35
C. 5a2+a3=6a5D. (−3a2)3=−9a6
7.关于一次函数y=2x−1的图象，下列说法不正确的是( )
A. 直线不经过第二象限B. 直线经过点(−1,3)
C. 直线与y轴的交点是(0,−1)D. 当x>0时，y>−1
8.如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC=30°，OA=2，阴影部分的面积为( )
A. 2π3+ 34
B. 2π3
C. 2π3− 34
D. 2π3− 32
9.如图，点A坐标为(−4,4)，点C坐标为(−2,0)，将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是( )
A. (−8,−2)B. (−6,−2)C. (−8,−4)D. (−6,−4)
10.我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2−4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是( )
①图象与坐标轴的交点为(−1,0)，(3,0)和(0,3)；
②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；
③当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x=−1或x=3时，函数的最小值是0；
⑤当x=1时，函数的最大值是4．
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个大小在 2和 20之间的整数是______．
12.2022年3月23日，备受瞩目的中国空间站“天宫课堂”第二课，通过架设在太空约3600万米的中继卫星与地面之间顺利开讲，其中3600万用科学记数法可表示为______．
13.因式分解：a3−6a2+9a=______．
14.一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球后(不放回)，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号都是偶数的概率为______．
15.若点A(−5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=a2+1x(a为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______.(用“<”连接)
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
先化简，再求值：xx+1−x2−1x2+2x+1，其中x= 3−1．
17.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF=AC，求证：四边形AFBD是平行四边形．
18.(本小题6分)
某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t(单位：分钟)的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生作业时间统计表
(1)这次调查抽取学生的总人数是______，B组的学生人数a=______；
(2)该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数；
(3)请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议．
19.(本小题8分)
某数学小组要测量学校路灯P−M−N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？(结果精确到0.1米．参考数据：cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60)
20.(本小题8分)
如图，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(−1,2)，B(4,−12).
(1)求函数y=k1x和y=k2x+b的表达式；
(2)若在x轴上有一动点C，当S△ABC=2S△AOB时，求点C的坐标．
21.(本小题8分)
如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD垂直过点C的直线CD，垂足为D点，并且AC平分∠DAB，AD交⊙O于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)连接BE交AC于点F，若sin∠CAD=35，求AFAC的值．
22.(本小题9分)
“四月江南黄乌呢，機满市朝“，暮春时节，重庆市標(俗称思桃儿)早已进入采摘期．某现代农业园区推行免入园费自助采携活动．该园区种植了普通樱桃和乌皮樱桃两个品种，其中乌皮樱桃浓味香，肉质细，售价比普通樱桃每斤高出20元．
(1)今年4月30日，普通樱桃销量为200斤，乌皮樱桃销量为400斤，若当天总售额不低于26000元，则每斤普通至少卖多少元？
(2)为降低高温天气带来的经济提失，果园负责人决定在“五一”节推出优惠政策，若两种樱桃在(1)的条件下均以最低价格销售，5月1日，普通樱桃售价降低23a%，销量比4月30日增加5a%，乌皮樱桃售价不交，销量比4月30日增加了94a%，且5月1日总销售额比4月30日增加了52a%.求a的值．(a>0)
23.(本小题12分)
李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.将边AB绕点A逆时针旋转(0°<θ<180°)得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F．
【猜想证明】
(1)当θ=90°时，四边形ABFE的形状为______；(直接写出答案)
(2)如图2，当θ=45°时，连接DE，求此时△ADE的面积；
【能力提升】
(3)在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线.若存在，请求出此时BF的长度；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于P，Q两点(P在Q左边)，R为二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+ 2时，求tan∠RPQ的值；
(3)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=1t(ax2+bx+c)的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：移项得，x≥1−5，
合并同类项得，x≥−4，
在数轴上表示为：
．
故选B．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：过B作直线c//直线a，直线c交AC于点D，
，
∴∠1=180°−∠ABD，
∵∠1=150°，
∴∠ABD=30°，
∵∠ABC=48°，
∴∠CBD=18°，
∵直线a/​/b，
∴直线b/​/c，
∴∠2=∠CBD=18°，
故选：A．
过B作直线c//直线a，直线c交AC于点D，可得∠1=180°−∠ABD，已知∠1=150°，∠ABC=48°，可得∠ABD、∠CBD的度数，因为直线a/​/b，所以直线b/​/c，即∠2=∠CBD，可得∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据是奇数或偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】
解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；
由于一共调查了30人，
所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10．
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：A、 2× 3= 6，故选项A符合题意；
B、 3÷(− 5)=− 3 5=− 155，故选项B不符合题意；
C、5a2+a3=a2(5+a)，故选项C不符合题意；
D、(−3a2)3=−27a6，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的乘除法，合并同类项和幂的乘方与积的乘方等知识点逐一判断各选项即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：一次函数y=2x−1的图象图象经过第一、三、四象限，与y轴交点(0,−1)，直线经过点(−1,−3)，当x>0时，y>−1．
故直线经过点(−1,3)是错误的．
A、直线不经过第二象限，正确，不符合题意；
B、直线经过点(−1,3)，错误，符合题意；
C、直线与y轴的交点是(0,−1)，正确，不符合题意；
D、当x>0时，y>−1，正确，不符合题意．
故选：B．
根据解析式和一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接AC，CO，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°．
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO=60°．
又∵∠AOB=120°，
∴∠CAO+∠AOB=180°，
∴AC//OB，
∴S△ABC=S△AOC，
∴S阴影=S扇形OAC=60⋅π⋅22360=23π．
故选：B．
连接AC，CO，通过“同旁内角互补，两直线平行”得出AC/​/OB，进而得出△ABC的面积等于△AOC的面积，所以可得出阴影部分的面积与扇形AOC的面积相等，据此可解决问题．
本题考查扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形OAC的面积及熟知扇形的面积公式是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则∠ACE=∠CDB=90°，证明△ACE≌△CBD(AAS)，结合坐标即可求解．
本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
【解答】
解：如图所示，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则∠ACE=∠CDB=90°．
∵点A坐标为(−4,4)，点C坐标为(−2,0)，
∴CE=2，AE=4，
∵将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，
∴CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠DBC=90°−∠DCB=∠ECA，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴EC=DB=2，AE=DC=4，
∴DO=DC+CO=4+2=6，
∴B(−6,−2)，
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：①∵(−1,0)，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2−2x−3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得，是直线x=1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=−1或x=3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x<−1或x>3，函数值存在大于当x=1时的y=|x2−2x−3|=4，因此⑤是不正确的；
故选A．
考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y=|ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
11.【答案】2(答案不唯一)
【解析】解：∵1< 2< 4, 16< 20< 25，即1< 2<2,4< 20<5，
∴大小在 2和 20之间的整数是2，
故答案为：2(答案不唯一)．
先估算 2, 20的大小，然后根据估算结果，写出一个在 2和 20之间的整数即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
12.【答案】3.6×107
【解析】解：3600万=36000000=3.6×107．
故答案为：3.6×107．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
13.【答案】a(a−3)2
【解析】解：原式=a(a2−6a+9)=a(a−3)2，
故答案为：a(a−3)2．
先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14.【答案】16
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号都是偶数的结果有2种，
∴两次取出的小球标号都是偶数的概率为212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号都是偶数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】y1【解析】解：当x=−5时，y1=−15(a2+1)；当x=1时，y2=a2+1；当x=2时，y3=12(a2+1)，
所以y1故答案为y1先计算出自变量为−5、1、2对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
16.【答案】解：原式=xx+1−(x+1)(x−1)(x+1)2
=xx+1−x−1x+1
=x−x+1x+1
=1x+1，
当x= 3−1时，原式=1 3−1+1= 33．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x= 3−1代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】∵四边形ABCD矩形，
∴AD//FB，AD=BC，AB⊥FC，
∵AF=AC，
∴FB=BC，
∴AD=FB，
∴四边形AFBD是平行四边形．
【解析】由矩形ABCD的性质，得出AD//FB，AD=BC，AB⊥FC，再由等腰三角形的性质得到AD=FB，进而推出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键．
18.【答案】600人 210
【解析】解：(1)这次调查抽取学生的总人数是120÷20%=600(人)，
a=600×35%=210(人)，
故答案为：600人，210；
(2)1500×180+90600=675(人)，
答：估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生有675人；
(3)建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业(答案不唯一，合理即可)．
(1)由A组的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以B组的百分比求a即可；
(2)用总人数乘以不少于90分钟的百分比即可；
(3)答案不唯一，合理即可．
本题考查的是频数(率)分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19.【答案】解：如图：延长DA，交PE于点F，

则DF⊥PE，AD=BC=2m，AB=CD=EF=1.6m，
设AF=x m，
∴DF=AF+AD=(x+2)m，
在Rt△PFA中，∠PAF=58°，
∴PF=AF⋅tan58°≈1.6x(m)，
在Rt△PDF中，∠PDF=31°，
∴tan31°=PFDF=1.6xx+2≈0.6，
∴x=1.2，
经检验：x=1.2是原方程的根，
∴PF=1.6x=1.92(m)，
∴PE=PF+EF=1.92+1.6≈3.5(m)，
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
【解析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，设AF=x m，先在Rt△PFA中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，然后在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)将点A(−1,2)，B(4,−12)分别代入反比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的解析式，
∴k1=−1×2=−2，−k2+b=24k2+b=−12，
∴k1=2，k2=−12b=32．
∴反比例函数的解析式为：y=2x，一次函数的解析式为：y=−12x+32．
(2)如图，设AB与y轴交于点D，过点C作CE/​/y轴交AB于点E，
设C(m,0)，
∴E(m,−12m+32).
∴CE=|−12m+32|.

令x=0，则y=32，
∴D(0,32)，
∴OD=32，
∴S△AOB=12OD⋅(xB−xA)=12×32×[4−(−1)]=154．
∴S△ABC=2S△AOB=152．
∴12CE⋅(xB−xA)=152，即12⋅|−12m+32|⋅5=152．
解得m=−3或m=9，
∴点C的坐标为(−3,0)或(9,0)．
【解析】(1)将点A(−1,2)，B(4,−12)分别代入反比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的解析式，求解即可；
(2)设AB与y轴交于点D，过点C作CE/​/y轴交AB于点E，利用三角形的面积公式，列出方程，求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD/​/OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD是⊙O的切线；

(2)解：如图，连接BE，CE，BE交AC于F交OC于H．
∵直线CD是⊙O的切线，
∴∠DCE=∠DAC，
∵∠D=∠D，
∴△CDE∽△ADC，
∴DECD=CDAD，
∴CD2=DE⋅AD，
∵sin∠CAD=CDAC=35，
∴设CD=3x，AC=5x，则AD=4x，
∴DE=94x，
∴AE=AD−DE=74x，
∵AB为直径，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
∴BE/​/CD，
∴AFAC=AEAD=74x4x，
∴AFAC=716．
【解析】(1)连接OC.只要证明AD/​/OC，由AD⊥CD，可得出OC⊥CD进而可得直线CD是⊙O的切线；
(2)如图2中，连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H.证明△CDE∽△ADC，对应边成比例DECD=CDAD，可得CD2=DE⋅AD，根据sin∠CAD=CDAC=35，设CD=3x，AC=5x，则AD=4x，可得DE=94x，可得AE=AD−DE=74x，根据BE/​/CD，即可求出结果．
本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，解此题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，题目比较难，有一定的难度．
22.【答案】解：(1)设每斤普通樱桃卖x元，则每斤乌皮樱桃卖(x+20)元，
依题意，得：200x+400(x+20)≥26000，
解得：x≥30．
答：每斤普通樱桃至少卖30元．
(2)依题意得：30(1−23a%)×200(1+5a%)+(30+20)×400(1+94a%)=26000×(1+52a%)，
整理，得：a2−30a=0，
解得：a1=0(舍去)，a2=30．
答：a的值为30．
【解析】(1)设每斤普通樱桃卖x元，则每斤乌皮樱桃卖(x+20)元，根据总价=单价×数量结合当天总销售额不低于26000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
(2)根据总价=单价×数量结合5月1日总销售额比4月30日增加了52a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】正方形
【解析】解：(1)如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵将边AB绕点A逆时针旋转(0°<θ<180°)得到线段AE，
∴AE=AB，∠EAB=90°，∠AEF=90°，
∴∠B=∠EAB=∠AEF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AE=AB，
∴四边形ABFE是正方形；
故答案为：正方形；
(2)如图2，作EG⊥AD于G，
∵∠BAD=90°，∠BAE=45°，
∴∠EAG=45°，
∴∠AEG=90°−∠EAG=45°，
∴∠AEG=∠EAG，
∴AG=EG，
∵EG2+AG2=AE2，
∴2EG2=42，
∴EG=2 2，
∴S△ADE=12AD⋅EG=12×6×2 2=6 2；
(3)如图3，当点E在DF上时，连接AF，
∵∠AEF=∠B=90°，AE=AB，AF=AF，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)，
∴BF=EF，
设BF=EF=x，则CF=6−x，
根据旋转的性质得：AE=AB=4，
∵EF⊥AE，
∴∠AED=∠AEF=90°，
∵AD=6，
∴DE= AD2−AE2= 62−42=2 5，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，
(6−x)2+42=(x+2 5)2，
解得：x=6−2 5；
如图4，当点E在DF的延长线上时，
同理EF=BF，DE=2 5，
设EF=BF=a，则DF=a−2 5，CF=a−6，
∴(a−6)2+42=(a−2 5)2，
解得：a=6+2 5，
综上所述，BF=6−2 5或6+2 5．
(1)根据矩形的性质和旋转的性质可得∠B=∠EAB=∠AEF=90°，AE=AB，即可；
(2)作EG⊥AD于G，可得∠AEG=∠EAG，从而得到AG=EG，再根据勾股定理可得EG=2 2，即可；
(3)分两种情况讨论：当点E在DF上时；当点E在DF的延长线上时，根据三角形全等可得BF=EF，然后根据勾股定理列出方程即可求解．
本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论．
24.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，(0,−3)三个点，
∴a−b+c=09a+3b+c=0c=−3，
∴a=1b=−2c=−3，
∴二次函数的表达式为：y=x2−2x−3．
(2)过R作RT⊥PQ，垂足为T，
∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+ 2，
∴QT= 2，
∵二次函数y=x2−2x−3的对称轴为直线x=1，
∴点P，Q关于直线x=1对称，
∵Q到x=1的距离是m−1，
∴PQ=2(m−1)=2m−2，
∴PT=2m−2+ 2，
∵yR=(m+ 2)2−2(m+ 2)−3，yT=yQ=m2−2m−3，
∴RT=yR−yT=2 2m−2 2+2，
∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ=RTPT=2 2 m−2 2+22m−2+ 2= 2．

(3)线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A′B′，则A′(0,3)，B′(4,3)，
二次函数y=1t(x2−2x−3)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，对称轴为直线x=1，二次函数y=1t(x2−2x−3)与二次函数y=(x2−2x−3)只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小．若线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当t>0时，开口向上，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，当抛物线经过B′(4,3)时开口最大，1t最小，t最大，把(4,3)代入y=1t(x2−2x−3)得t=53，
∴0
②当t<0时，开口向下，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点(1,3)，代入y=1t(x2−2x−3)得t=−43．

③当t<0时，开口向下，如图，线段A′B′与二次函数y=1t(x2−2x−3)的图象只有一个交点，当抛物线经过A′(0,3)时开口最大，|1t|最小，t最小，把(0,3)代入y=1t(x2−2x−3)得t=−1，
∴−1
综上，t的取值范围是：t=−43或−1【解析】(1)选择三个合适的点，利用待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)构造直角三角形，把∠RPQ放在直角三角形中，用m表示tan∠RPQ的值并化简；
(3)二次函数y=1t(x2−2x−3)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，对称轴为直线x=1，二次函数y=1t(x2−2x−3)与二次函数y=(x2−2x−3)只是开口大小和方向发生了变化，并且|1t|越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第(3)问，关键是研究二次函数y=1t(x2−2x−3)的性质，找到分类标准．成绩/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人数
2
3
9
8
5
3
组别
调查结果
人数(人)
A
30≤t<60
120
B
60≤t<90
a
C
90≤t<120
180
D
t≥120
90
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α=58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β=31°
测角仪到地面的距离
AB=DC=1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC=2m
x
…
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
−3
−4
−3
0
5
…