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2023-2024学年江苏省镇江市外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省镇江市外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的( )
A. 全等形B. 稳定性C. 灵活性D. 对称性
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 2cm，2cm，2cm
C. 2cm，2cm，4cmD. 1cm，3cm，5cm
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a5B. a8÷a2=a4C. a23=a5D. a2+a=a3
4.若x+2x−n=x2+mx+2，则m−n的值是( )
A. 6B. 4C. 2D. −6
5.如图，下列说理中正确的是( )
A. 因为∠1=∠2，所以AD//BC
B. 因为∠2+∠3+∠5=180∘，所以AD//BC
C. 因为∠4=∠5，所以AB//CD
D. 因为∠4+∠5=180∘，所以AB//DC
6.如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大x米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为
( )
A. 90πB. 116πC. 120πD. 128π
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.计算：70=_____．
8.若a+b=2，则3a⋅3b的值为_______．
9.分解因式：x2−2x=__．
10.世界上最薄的纸厚度仅0.02毫米，也就是0.00002米，将0.00002用科学记数法表示为_______．
11.一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是_____边形．
12.82023×−0.1252024=____．
13.比较大小：233________322(填“>”、“<”或“=”)
14.若x2+2mx+4是一个完全平方式，则m的值为__．
15.如图，将▵ABC沿射线BC方向平移2cm得到▵DEF，若BF=10cm，则EC=_______cm．
16.如图，a//b，∠3=65∘，∠1=∠2+15∘，则∠2=_______°．
17.如图，E、F分别是▵ABC中BC、AC边的中点，D是AB上一点且BD=2AD，若四边形DECF的面积为12，则▵ADF的面积是____．
18.若计算多项式x2−x+1x2−3x−2a所得结果不含x的二次项，则常数a=_______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算
(1)−3−1×3；
(2)2xy3xy2−2x2y；
(3)2022×2026−20242；
(4)3a+12−a3a+1．
20.因式分解
(1)16x2−9y2；
(2)−2x2+8xy−8y2．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
先化简，再求值：a+12ba−12b−a−12b2，其中a=3，b=−2．
22.(本小题8分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将▵ABC经过一次平移后得到▵A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.请利用格点和直尺画图：
(1)补全▵A′B′C′；
(2)请在A′C′边上找一点D′，使得线段B′D′平分▵A′B′C′的面积，在图上画出线段B′D′；
(3)利用格点在图中画出BC边上的高线AE；
(4)连接AB′，BB′，直接写出▵ABB′的面积________．
23.(本小题8分)
如图，▵ABC中，D是AC上一点，过D作DE//BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF.若∠1=∠AED．
(1)求证：DF//AB．
(小明是这样解答的，请你帮助他将以下解答过程补充完整)
证明：∵DE//BC(_______________)，
∴∠1=∠________．
∵∠1=∠AED(已知)，
∴∠________=∠AED(等量代换)，
∴DF//AB(________)．
(2)若∠1=48∘，DF平分∠CDE，求∠A的度数．
24.(本小题8分)
(1)已知4×16m=421，求−m23÷m3⋅m2的值；
(2)已知9n+1−32n=72，求n的值．
25.(本小题8分)
在第九章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，既可用于整式的乘法计算，也可用于多项式的因式分解．灵活运用乘法公式往往能化繁为简，巧妙解题．
【初步尝试】
已知x2+y2=x+y2−P=x−y2+Q
(1)则P=________，Q=________；
【灵活运用】
(2)由(1)可知，a+b，a−b，a2+b2，ab这四个代数式之间具有一定的关系；
例如，当a，b为正数时，如果a−b=3，ab=10，那么a+b2=a−b2+________，所以a+b=________；
(3)已知长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为22，面积为30，如图所示，求a2+b2−ab的值．
【解决问题】
(4)我校“行知农场”开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜，兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a、b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米，如图所示，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积．
26.(本小题8分)
已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EG平分∠AEF交CD于点G，且∠EGF=∠GEF．
(1)如图1，点H为直线CD上一点，判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点H为直线CD上一点，作∠HEF的平分线交CD于M，过点M作MN⊥EG于点N．
①当∠EHF=50∘时，∠MEG=______ ∘，∠EMN=______ ∘(直接写出答案)；
②当点H在直线CD上运动时，设∠EHF=α，∠EMN=β，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形具有稳定性解答；
【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性，
故选：B．
本题考查三角形稳定性的实际应用，角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、1+2=3，不能组成三角形；
B、2+2>2，能组成三角形；
C、2+2=4，不能够组成三角形；
D、1+3=4<5，不能组成三角形．
故选：B．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】A、a2⋅a3=a5，此选项计算正确；；
B、a8÷a2=a6，此选项计算错误；
C、a23=a6，此选项计算错误；
D、a2与a不是同类项，不可合并，此选项计算错误；
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】利用多项式与多项式的乘法法则计算出x+2x−n，计算结果与x2+mx+2比对，得出m与n的值，即可求解．
【详解】解：∵x+2x−n=x2−nx+2x−2n=x2+2−nx−2n=x2+mx+2，
∴2=−2n，m=2−n，
解得n=−1，m=2−−1=3，
∴m−n=3−−1=4，
故选B．
本题考查多项式乘多项式，掌握x+px+q的运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】A.因为∠1=∠2，所以AB//DC，原选项判断错误，不符合题意；
B.由∠2+∠3+∠5=180∘，不能判断AD//BC，原选项判断错误，不符合题意；
C.因为∠4=∠5，所以AB//CD，原选项判断正确，符合题意；
D.由∠4+∠5=180∘，不能判断AB//DC，原选项判断错误，不符合题意；
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为a=(18+x)米，宽b=(10+x)，可得ab=200，a−b=8，进而可得a2+b2=464，再由圆面积公式计算即可．
【详解】解：设扩大后的广场的长为a=(18+x)米，宽b=(10+x)米，依题意得：ab=18×10+20=200，
a−b=(18+x)−(10+x)=8，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=82+2×200=464
∵花圃的总面积=(a2)2π+(b2)2π=(a2+b2)4π=4644π=116π，
故选：B．
7.【答案】1
【解析】【分析】根据零指数幂：a0=1(a≠0)进行计算即可．
【详解】解：70=
故答案为：1．
此题主要考查了零指数幂，关键是掌握计算公式．
8.【答案】9
【解析】【分析】本题考查的的同底数幂的乘法运算，根据运算法则把原式化为3a+b，再代入计算即可，熟记运算法则是解本题的关键．
【详解】解：当a+b=2时，
3a⋅3b=3a+b=32=9．
故答案为：9．
9.【答案】xx−2
【解析】【分析】直接提取公因式x即可
【详解】解：x2−2x=xx−2．
故答案为：xx−2．
10.【答案】2×10−5
【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】将0.00002用科学记数法表示为2×10−5．
故答案为：2×10−5．
11.【答案】四
【解析】【分析】根据任意多边形的外角和等于360∘，可得这个多边形的内角和是360∘，再根据n边形的内角和为n−2⋅180∘，列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
由题意得，n−2⋅180∘=360∘，
解得n=4，
∴这个多边形是四边形，
故答案为：四．
12.【答案】18/0.125
【解析】【分析】本题考查了积的乘方的逆运用，同底数幂乘法的逆用，先把82023×−0.1252024整理得8×−0.1252023×−0.125，再运算括号内，即可作答，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：82023×−0.1252024
=8×−0.1252023×−0.125，
=−12023×−18，
=−1×−18，
=18，
故答案为：18．
13.【答案】<
【解析】【分析】利用幂的乘方法则将这两个幂都化为一个数的11次幂，比较底数即可．
【详解】解：233=(23)11=811，322=(32)11=911，
∵8<9，
∴811<911，
∴233<322，
故答案为：<
本题考查了幂的大小比较、幂的乘方及其逆运算，解题的关键是化为同底数或同指数进行比较．
14.【答案】±2
【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出m的值．
【详解】解：∵x2+2mx+4是一个完全平方式，
∴x2+2mx+4=(x±2)2，
∴2m=±4，
∴m=±2．
故答案为：±2．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
15.【答案】6
【解析】【分析】此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答．
根据平移的性质得出BE=CF=2cm，进而解答即可．
【详解】解：由平移可得，BE=CF=2cm，
∵BF=10cm，
∴EC=BF−BE−CF=6cm．
故答案为：6．
16.【答案】25
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过∠3的顶点作c//a，则a//b//c，由平行线的性质得到∠5=∠1，∠4=∠2，进而得到∠1+∠2=80∘，再结合已知条件即可求出答案．
【详解】解：如图，过点A作c//a，
∵a//b，
∴a//b//c，
∴∠5=∠1，∠4=∠2，
∵∠BAC=∠5+∠4=65∘，
∴∠1+∠2=65∘，
又∵∠1=∠2+15∘，
∴∠2=25∘，
故答案为：25．
17.【答案】4
【解析】【分析】本题考查了三角形的中线，连接CD，再根据三角形的面积间的关系列出二元一次方程组，解方程组即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】连接CD，
∵E、F分别是▵ABC中BC、AC边的中点，
∴S▵AFD=S▵CFD，S▵CED=S▵BED，
则设S▵ADF=S▵CFD=x，S▵CED=S▵BED=y，
∵四边形DECF的面积为12，S▵CED+S▵CFD=12，
∴x+y=12，
∵BD=2AD，
∴S▵BCD=2S▵ACD，
∴2y=4x，即y=2x，
联立y=2xx+y=12，解得：x=4y=8,
∴S▵ADF=4，
故答案为：4．
18.【答案】2
【解析】【分析】本题考查了多项式与多项式相乘的运算，合并同类项的知识，
原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的二次项即可确定出a的值．
【详解】x2−x+1x2−3x−2a
=x4−3x3−2ax2−x3+3x2+2ax+x2−3x−2a
=x4−4x3+4−2ax2+2a−3x−2a
∵多项式x2−x+1x2−3x−2a所得结果不含x的二次项，
∴4−2a=0
解得a=2
故答案为：2．
19.【答案】(1)解：(−3)−1×3
=−13×3
=−1；
(2)2xy3xy2−2x2y
=2xy⋅3xy2−2xy⋅2x2y
=6x2y3−4x3y2；
(3)2022×2026−20242
=(2024−2)×(2024+2)−20242
=20242−22−20242
=−4；
(4)(3a+1)2−a3a+1
=(9a2+6a+1)−(3a2+a)
=9a2+6a+1−3a2−a
=6a2+5a+1．
【解析】【分析】本题主要考查负整数指数幂及整式运算．熟练掌握运算法则是解题关键．
(1)先计算负整数指数幂，然后计算乘法即可；
(2)利用单项式乘以多项式计算即可；
(3)将原式变形为(2024−2)×(2024+2)−20242，再利用平方差计算即可；
(4)根据单项式乘以多项式及完全平方公式计算即可．
20.【答案】(1)16x2−9y2
=4x+3y4x−3y；
(2)−2x2+8xy−8y2
=−2x2−4xy+4y2
=−2x−2y2．
【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
21.【答案】解：a+12ba−12b−a−12b2
=a−12ba+12b−a−12b，
=ba−12b
=ab−12b2，
将a=3，b=−2代入得：
原式=3×(−2)−12×(−2)2=−8
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，把a、b的值代入计算即可求出值．
本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】(1)如图所示，▵A′B′C′即为所求．
(2)如图所示，线段B′D′即为所求；
(3)如图所示，线段AE即为所求；
(4)如图所示，
▵ABB′的面积=5×6−12×1×4−12×2×4−12×2×5=19．
故答案为：19．
【解析】【分析】本题考查作图−平移变换，以及三角形的中线和高线，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
(1)根据平移的性质分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)作A′C′边上的中线即可；
(3)根据三角形的高的概念求解即可；
(4)利用割补法求解即可．
23.【答案】(1)证明：∵DE//BC(已知)，
∴∠1=∠EDF．
∵∠1=∠AED(已知)，
∴∠EDF=∠AED(等量代换)，
∴DF//AB(内错角相等两直线平行)．
故填：已知；EDF；EDF；内错角相等，两直线平行
(2)解：∵DE//BC，∠1=48∘，
∴∠EDF=∠1=48∘，
∵DF平分∠CDE，
∴∠FDC=∠EDF=48∘，
∵DF//AB，
∴∠A=∠FDC=48∘．
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线有关角度计算，
(1)根据平行线的性质得到∠B=∠AED，结合∠1=∠AED得到证明；
(2)根据平行线的性质得到∠EDF=∠1=48∘，再根据角平分线得到∠FDC=48∘，再由(1)的结论即可得到答案．
24.【答案】(1)∵4×16m=421
∴4×42m=421
∴42m+1=421
∴2m+1=21
∴m=10
∴−m23÷m3⋅m2
=−m6÷m5
=−m
=−10；
(2)9n+1−32n=72
9n×9−32n=72
9×32n−32n=72
8×32n=72
∴32n=9
∴2n=2
∴n=1．
【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用．
(1)首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
(2)利用同底数幂的乘法和幂的乘方对9n+1−32n=72整理为32n=9，然后求解即可．
25.【答案】解：(1)∵x2+y2=x+y2−P
∴P=x+y2−(x2+y2)
=x2+2xy+y2−x2−y2
=2xy．
∵x2+y2=x−y2+Q
∴Q=x2+y2−x−y2
=x2+y2−x2+2xy−y2
=2xy．
故答案为：2xy,2xy．
(2)由(1)可知a+b2=a−b2+4ab，
∵a−b=3，ab=10，
∴a+b2=32+4×10=49，
∵a，b为正数，
∴a+b=7，
故答案为7；
(3)由长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为22，面积为30，可知：2(a+b)=22，ab=30，
∴a+b=11
∴a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=112−3×30=31
(4)由题意得：b−a=2ab=35．
则a+b2=a−b2+4ab=22+4×35=144．
∴a+b=12，
阴影部分面积为=(11−a)2+(11−b)2+(a+b−11)2
=a2+b2−22(a+b)+242+(a+b−11)2
=(a+b)2−2ab−22(a+b)+242+(a+b−11)2
=144−2×35−22×12+242+(12−11)2
=53．
【解析】【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是掌握a+b，a−b，a2+b2，ab之间关系．
(1)由x2+y2=x+y2−P得P=x+y2−(x2+y2)，整理即可得P的值，由x2+y2=x−y2+Q得Q=(x2+y2)−x−y2，整理即可得Q的值．
(2)根据(1)的结论直接解题即可；
(3)根据题意得2(a+b)=22，ab=30，把a2+b2−ab写成a+b2−3ab，将ab=30，a+b=11整体代入其中即可求出结果；
(4)根据已知求出a+b=12，再用a+b，ab表示阴影部分面积，然后整体代入其中即可求出结果．
26.【答案】(1)AB//CD，理由如下：
∵EG平分∠AEF交CD于点G，
∴∠AEG=∠FEG
∵∠EGF=∠GEF
∴∠AEG=∠EGF
∴AB//CD；
(2)①∵AB//CD，∠EHF=50∘
∴∠BEH=∠EHF=50∘
∴∠AEH=180∘−∠BEH=130∘
∵EG平分∠AEF，EM平分∠HEF
∴∠GEF=12∠AEF，∠MEF=12∠HEF
∴∠MEG=12∠AEF+12∠HEF=12∠AEF+∠HEF=12∠AEH=65∘
∵MN⊥EG
∴∠ENM=90∘
∴∠EMN=180∘−∠ENM−∠NEM=25∘；
故答案为：65；25；
②∵AB//CD，∠EHF=α
∴∠BEH=∠EHF=α
∴∠AEH=180∘−α
∵EG平分∠AEF，EM平分∠HEF
∴∠GEF=12∠AEF，∠MEF=12∠HEF
∴∠MEG=12∠AEF+12∠HEF=12∠AEF+∠HEF=12∠AEH=12180∘−α=90∘−12α
∵MN⊥EG
∴∠ENM=90∘
∴∠EMN=180∘−∠ENM−∠NEM=180∘−90∘−90∘−12α=12α
∵∠EMN=β
∴β=12α．
【解析】【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，
(1)根据角平分线的概念得到∠AEG=∠FEG，然后结合∠EGF=∠GEF得到∠AEG=∠EGF，即可证明出AB//CD；
(2)①首先根据平行线的性质得到∠BEH=∠EHF=50∘，然后根据角平分线的概念得到∠MEG=12∠AEF+12∠HEF=65∘；然后根据三角形内角和定理即可求出∠EMN=25∘；
②同①的方法求解即可．
1.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的( )
A. 全等形B. 稳定性C. 灵活性D. 对称性
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 2cm，2cm，2cm
C. 2cm，2cm，4cmD. 1cm，3cm，5cm
3.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a5B. a8÷a2=a4C. a23=a5D. a2+a=a3
4.若x+2x−n=x2+mx+2，则m−n的值是( )
A. 6B. 4C. 2D. −6
5.如图，下列说理中正确的是( )
A. 因为∠1=∠2，所以AD//BC
B. 因为∠2+∠3+∠5=180∘，所以AD//BC
C. 因为∠4=∠5，所以AB//CD
D. 因为∠4+∠5=180∘，所以AB//DC
6.如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大x米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为
( )
A. 90πB. 116πC. 120πD. 128π
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.计算：70=_____．
8.若a+b=2，则3a⋅3b的值为_______．
9.分解因式：x2−2x=__．
10.世界上最薄的纸厚度仅0.02毫米，也就是0.00002米，将0.00002用科学记数法表示为_______．
11.一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是_____边形．
12.82023×−0.1252024=____．
13.比较大小：233________322(填“>”、“<”或“=”)
14.若x2+2mx+4是一个完全平方式，则m的值为__．
15.如图，将▵ABC沿射线BC方向平移2cm得到▵DEF，若BF=10cm，则EC=_______cm．
16.如图，a//b，∠3=65∘，∠1=∠2+15∘，则∠2=_______°．
17.如图，E、F分别是▵ABC中BC、AC边的中点，D是AB上一点且BD=2AD，若四边形DECF的面积为12，则▵ADF的面积是____．
18.若计算多项式x2−x+1x2−3x−2a所得结果不含x的二次项，则常数a=_______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.计算
(1)−3−1×3；
(2)2xy3xy2−2x2y；
(3)2022×2026−20242；
(4)3a+12−a3a+1．
20.因式分解
(1)16x2−9y2；
(2)−2x2+8xy−8y2．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
先化简，再求值：a+12ba−12b−a−12b2，其中a=3，b=−2．
22.(本小题8分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将▵ABC经过一次平移后得到▵A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.请利用格点和直尺画图：
(1)补全▵A′B′C′；
(2)请在A′C′边上找一点D′，使得线段B′D′平分▵A′B′C′的面积，在图上画出线段B′D′；
(3)利用格点在图中画出BC边上的高线AE；
(4)连接AB′，BB′，直接写出▵ABB′的面积________．
23.(本小题8分)
如图，▵ABC中，D是AC上一点，过D作DE//BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF.若∠1=∠AED．
(1)求证：DF//AB．
(小明是这样解答的，请你帮助他将以下解答过程补充完整)
证明：∵DE//BC(_______________)，
∴∠1=∠________．
∵∠1=∠AED(已知)，
∴∠________=∠AED(等量代换)，
∴DF//AB(________)．
(2)若∠1=48∘，DF平分∠CDE，求∠A的度数．
24.(本小题8分)
(1)已知4×16m=421，求−m23÷m3⋅m2的值；
(2)已知9n+1−32n=72，求n的值．
25.(本小题8分)
在第九章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，既可用于整式的乘法计算，也可用于多项式的因式分解．灵活运用乘法公式往往能化繁为简，巧妙解题．
【初步尝试】
已知x2+y2=x+y2−P=x−y2+Q
(1)则P=________，Q=________；
【灵活运用】
(2)由(1)可知，a+b，a−b，a2+b2，ab这四个代数式之间具有一定的关系；
例如，当a，b为正数时，如果a−b=3，ab=10，那么a+b2=a−b2+________，所以a+b=________；
(3)已知长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为22，面积为30，如图所示，求a2+b2−ab的值．
【解决问题】
(4)我校“行知农场”开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜，兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a、b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米，如图所示，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积．
26.(本小题8分)
已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EG平分∠AEF交CD于点G，且∠EGF=∠GEF．
(1)如图1，点H为直线CD上一点，判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点H为直线CD上一点，作∠HEF的平分线交CD于M，过点M作MN⊥EG于点N．
①当∠EHF=50∘时，∠MEG=______ ∘，∠EMN=______ ∘(直接写出答案)；
②当点H在直线CD上运动时，设∠EHF=α，∠EMN=β，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形具有稳定性解答；
【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性，
故选：B．
本题考查三角形稳定性的实际应用，角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、1+2=3，不能组成三角形；
B、2+2>2，能组成三角形；
C、2+2=4，不能够组成三角形；
D、1+3=4<5，不能组成三角形．
故选：B．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】A、a2⋅a3=a5，此选项计算正确；；
B、a8÷a2=a6，此选项计算错误；
C、a23=a6，此选项计算错误；
D、a2与a不是同类项，不可合并，此选项计算错误；
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】利用多项式与多项式的乘法法则计算出x+2x−n，计算结果与x2+mx+2比对，得出m与n的值，即可求解．
【详解】解：∵x+2x−n=x2−nx+2x−2n=x2+2−nx−2n=x2+mx+2，
∴2=−2n，m=2−n，
解得n=−1，m=2−−1=3，
∴m−n=3−−1=4，
故选B．
本题考查多项式乘多项式，掌握x+px+q的运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
【详解】A.因为∠1=∠2，所以AB//DC，原选项判断错误，不符合题意；
B.由∠2+∠3+∠5=180∘，不能判断AD//BC，原选项判断错误，不符合题意；
C.因为∠4=∠5，所以AB//CD，原选项判断正确，符合题意；
D.由∠4+∠5=180∘，不能判断AB//DC，原选项判断错误，不符合题意；
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为a=(18+x)米，宽b=(10+x)，可得ab=200，a−b=8，进而可得a2+b2=464，再由圆面积公式计算即可．
【详解】解：设扩大后的广场的长为a=(18+x)米，宽b=(10+x)米，依题意得：ab=18×10+20=200，
a−b=(18+x)−(10+x)=8，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=82+2×200=464
∵花圃的总面积=(a2)2π+(b2)2π=(a2+b2)4π=4644π=116π，
故选：B．
7.【答案】1
【解析】【分析】根据零指数幂：a0=1(a≠0)进行计算即可．
【详解】解：70=
故答案为：1．
此题主要考查了零指数幂，关键是掌握计算公式．
8.【答案】9
【解析】【分析】本题考查的的同底数幂的乘法运算，根据运算法则把原式化为3a+b，再代入计算即可，熟记运算法则是解本题的关键．
【详解】解：当a+b=2时，
3a⋅3b=3a+b=32=9．
故答案为：9．
9.【答案】xx−2
【解析】【分析】直接提取公因式x即可
【详解】解：x2−2x=xx−2．
故答案为：xx−2．
10.【答案】2×10−5
【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】将0.00002用科学记数法表示为2×10−5．
故答案为：2×10−5．
11.【答案】四
【解析】【分析】根据任意多边形的外角和等于360∘，可得这个多边形的内角和是360∘，再根据n边形的内角和为n−2⋅180∘，列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，
由题意得，n−2⋅180∘=360∘，
解得n=4，
∴这个多边形是四边形，
故答案为：四．
12.【答案】18/0.125
【解析】【分析】本题考查了积的乘方的逆运用，同底数幂乘法的逆用，先把82023×−0.1252024整理得8×−0.1252023×−0.125，再运算括号内，即可作答，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：82023×−0.1252024
=8×−0.1252023×−0.125，
=−12023×−18，
=−1×−18，
=18，
故答案为：18．
13.【答案】<
【解析】【分析】利用幂的乘方法则将这两个幂都化为一个数的11次幂，比较底数即可．
【详解】解：233=(23)11=811，322=(32)11=911，
∵8<9，
∴811<911，
∴233<322，
故答案为：<
本题考查了幂的大小比较、幂的乘方及其逆运算，解题的关键是化为同底数或同指数进行比较．
14.【答案】±2
【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出m的值．
【详解】解：∵x2+2mx+4是一个完全平方式，
∴x2+2mx+4=(x±2)2，
∴2m=±4，
∴m=±2．
故答案为：±2．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
15.【答案】6
【解析】【分析】此题考查平移的性质，关键是根据平移中连接各组对应点的线段平行且相等解答．
根据平移的性质得出BE=CF=2cm，进而解答即可．
【详解】解：由平移可得，BE=CF=2cm，
∵BF=10cm，
∴EC=BF−BE−CF=6cm．
故答案为：6．
16.【答案】25
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过∠3的顶点作c//a，则a//b//c，由平行线的性质得到∠5=∠1，∠4=∠2，进而得到∠1+∠2=80∘，再结合已知条件即可求出答案．
【详解】解：如图，过点A作c//a，
∵a//b，
∴a//b//c，
∴∠5=∠1，∠4=∠2，
∵∠BAC=∠5+∠4=65∘，
∴∠1+∠2=65∘，
又∵∠1=∠2+15∘，
∴∠2=25∘，
故答案为：25．
17.【答案】4
【解析】【分析】本题考查了三角形的中线，连接CD，再根据三角形的面积间的关系列出二元一次方程组，解方程组即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】连接CD，
∵E、F分别是▵ABC中BC、AC边的中点，
∴S▵AFD=S▵CFD，S▵CED=S▵BED，
则设S▵ADF=S▵CFD=x，S▵CED=S▵BED=y，
∵四边形DECF的面积为12，S▵CED+S▵CFD=12，
∴x+y=12，
∵BD=2AD，
∴S▵BCD=2S▵ACD，
∴2y=4x，即y=2x，
联立y=2xx+y=12，解得：x=4y=8,
∴S▵ADF=4，
故答案为：4．
18.【答案】2
【解析】【分析】本题考查了多项式与多项式相乘的运算，合并同类项的知识，
原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的二次项即可确定出a的值．
【详解】x2−x+1x2−3x−2a
=x4−3x3−2ax2−x3+3x2+2ax+x2−3x−2a
=x4−4x3+4−2ax2+2a−3x−2a
∵多项式x2−x+1x2−3x−2a所得结果不含x的二次项，
∴4−2a=0
解得a=2
故答案为：2．
19.【答案】(1)解：(−3)−1×3
=−13×3
=−1；
(2)2xy3xy2−2x2y
=2xy⋅3xy2−2xy⋅2x2y
=6x2y3−4x3y2；
(3)2022×2026−20242
=(2024−2)×(2024+2)−20242
=20242−22−20242
=−4；
(4)(3a+1)2−a3a+1
=(9a2+6a+1)−(3a2+a)
=9a2+6a+1−3a2−a
=6a2+5a+1．
【解析】【分析】本题主要考查负整数指数幂及整式运算．熟练掌握运算法则是解题关键．
(1)先计算负整数指数幂，然后计算乘法即可；
(2)利用单项式乘以多项式计算即可；
(3)将原式变形为(2024−2)×(2024+2)−20242，再利用平方差计算即可；
(4)根据单项式乘以多项式及完全平方公式计算即可．
20.【答案】(1)16x2−9y2
=4x+3y4x−3y；
(2)−2x2+8xy−8y2
=−2x2−4xy+4y2
=−2x−2y2．
【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
21.【答案】解：a+12ba−12b−a−12b2
=a−12ba+12b−a−12b，
=ba−12b
=ab−12b2，
将a=3，b=−2代入得：
原式=3×(−2)−12×(−2)2=−8
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项得到最简结果，把a、b的值代入计算即可求出值．
本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】(1)如图所示，▵A′B′C′即为所求．
(2)如图所示，线段B′D′即为所求；
(3)如图所示，线段AE即为所求；
(4)如图所示，
▵ABB′的面积=5×6−12×1×4−12×2×4−12×2×5=19．
故答案为：19．
【解析】【分析】本题考查作图−平移变换，以及三角形的中线和高线，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
(1)根据平移的性质分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)作A′C′边上的中线即可；
(3)根据三角形的高的概念求解即可；
(4)利用割补法求解即可．
23.【答案】(1)证明：∵DE//BC(已知)，
∴∠1=∠EDF．
∵∠1=∠AED(已知)，
∴∠EDF=∠AED(等量代换)，
∴DF//AB(内错角相等两直线平行)．
故填：已知；EDF；EDF；内错角相等，两直线平行
(2)解：∵DE//BC，∠1=48∘，
∴∠EDF=∠1=48∘，
∵DF平分∠CDE，
∴∠FDC=∠EDF=48∘，
∵DF//AB，
∴∠A=∠FDC=48∘．
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线有关角度计算，
(1)根据平行线的性质得到∠B=∠AED，结合∠1=∠AED得到证明；
(2)根据平行线的性质得到∠EDF=∠1=48∘，再根据角平分线得到∠FDC=48∘，再由(1)的结论即可得到答案．
24.【答案】(1)∵4×16m=421
∴4×42m=421
∴42m+1=421
∴2m+1=21
∴m=10
∴−m23÷m3⋅m2
=−m6÷m5
=−m
=−10；
(2)9n+1−32n=72
9n×9−32n=72
9×32n−32n=72
8×32n=72
∴32n=9
∴2n=2
∴n=1．
【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用．
(1)首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
(2)利用同底数幂的乘法和幂的乘方对9n+1−32n=72整理为32n=9，然后求解即可．
25.【答案】解：(1)∵x2+y2=x+y2−P
∴P=x+y2−(x2+y2)
=x2+2xy+y2−x2−y2
=2xy．
∵x2+y2=x−y2+Q
∴Q=x2+y2−x−y2
=x2+y2−x2+2xy−y2
=2xy．
故答案为：2xy,2xy．
(2)由(1)可知a+b2=a−b2+4ab，
∵a−b=3，ab=10，
∴a+b2=32+4×10=49，
∵a，b为正数，
∴a+b=7，
故答案为7；
(3)由长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为22，面积为30，可知：2(a+b)=22，ab=30，
∴a+b=11
∴a2+b2−ab=(a+b)2−3ab=112−3×30=31
(4)由题意得：b−a=2ab=35．
则a+b2=a−b2+4ab=22+4×35=144．
∴a+b=12，
阴影部分面积为=(11−a)2+(11−b)2+(a+b−11)2
=a2+b2−22(a+b)+242+(a+b−11)2
=(a+b)2−2ab−22(a+b)+242+(a+b−11)2
=144−2×35−22×12+242+(12−11)2
=53．
【解析】【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是掌握a+b，a−b，a2+b2，ab之间关系．
(1)由x2+y2=x+y2−P得P=x+y2−(x2+y2)，整理即可得P的值，由x2+y2=x−y2+Q得Q=(x2+y2)−x−y2，整理即可得Q的值．
(2)根据(1)的结论直接解题即可；
(3)根据题意得2(a+b)=22，ab=30，把a2+b2−ab写成a+b2−3ab，将ab=30，a+b=11整体代入其中即可求出结果；
(4)根据已知求出a+b=12，再用a+b，ab表示阴影部分面积，然后整体代入其中即可求出结果．
26.【答案】(1)AB//CD，理由如下：
∵EG平分∠AEF交CD于点G，
∴∠AEG=∠FEG
∵∠EGF=∠GEF
∴∠AEG=∠EGF
∴AB//CD；
(2)①∵AB//CD，∠EHF=50∘
∴∠BEH=∠EHF=50∘
∴∠AEH=180∘−∠BEH=130∘
∵EG平分∠AEF，EM平分∠HEF
∴∠GEF=12∠AEF，∠MEF=12∠HEF
∴∠MEG=12∠AEF+12∠HEF=12∠AEF+∠HEF=12∠AEH=65∘
∵MN⊥EG
∴∠ENM=90∘
∴∠EMN=180∘−∠ENM−∠NEM=25∘；
故答案为：65；25；
②∵AB//CD，∠EHF=α
∴∠BEH=∠EHF=α
∴∠AEH=180∘−α
∵EG平分∠AEF，EM平分∠HEF
∴∠GEF=12∠AEF，∠MEF=12∠HEF
∴∠MEG=12∠AEF+12∠HEF=12∠AEF+∠HEF=12∠AEH=12180∘−α=90∘−12α
∵MN⊥EG
∴∠ENM=90∘
∴∠EMN=180∘−∠ENM−∠NEM=180∘−90∘−90∘−12α=12α
∵∠EMN=β
∴β=12α．
【解析】【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，
(1)根据角平分线的概念得到∠AEG=∠FEG，然后结合∠EGF=∠GEF得到∠AEG=∠EGF，即可证明出AB//CD；
(2)①首先根据平行线的性质得到∠BEH=∠EHF=50∘，然后根据角平分线的概念得到∠MEG=12∠AEF+12∠HEF=65∘；然后根据三角形内角和定理即可求出∠EMN=25∘；
②同①的方法求解即可．
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