2024年河南省南阳市西峡县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟．
2、请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写．
3、答题前请将答题卡上的学校、姓名、班级、座号、学生编号填涂完整．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. -9B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【详解】解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位，其中114万亿用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
4. 如图，直线AB、CD相交于点O，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角求得，根据，根据平角的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，平角的定义，数形结合是解题的关键．
5. 下列各项运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项法则，去括号法则，幂乘方与积的乘方和完全平方公式等知识点，根据合并同类项法则，去括号法则，幂的乘方与积的乘方和完全平方公式进行计算，再得出选项即可．
【详解】解：A和不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，是的外接圆，连结、，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，证明为等边三角形得到，然后利用圆周角定理求解即可，证明为等边三角形是关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选：D．
7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根的判别式逐一判断即可.
【详解】解：A．∵，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根；
B．∵，∴方程有两个不相等的实数根；
C．∵，∴方程没有实数根；
D．∵，∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．
8. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键．
运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故选：D．
9. 二次函数的图象如图，则反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数与一次函数的图象经过的象限即可．
【详解】解：由二次函数图象可知，，
由对称轴，可知，
所以反比例函数的图象在一、三象限，
一次函数经过一、二、四象限．
故选：D．
10. 如图1，中，，D，E分别是中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的面积为（ ）
A. B. C. 6D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】P在E左边和E右边两种情况进行表示，结合图2的两个数值，可知DE=3，BD+BE =6，再由中位线，可知AC、AB的值，从而得到三角形的面积．
【详解】解：当时，即BP=0，此时，即PD+PE=BD+BE=6，
当P点与E点重合时，PD+PE=DE，此时有最小值3，
∵D、E分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AC=2DE=6，
∵AC=AB，
∴AB=6，BD=3，
∴BE=3=CE，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积=；
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，根据中位线求出AC的长度是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 不等式组的解集是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求得每一个不等式的解集，再求解集的公共部分即可解答．
【详解】解：不等式组，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
12. 为落实“双减”政策，学校利用课后服务开展了校园读书活动，现需购买甲，乙两种读本共120本，其中甲读本12元/本，乙读本15元/本，设购买甲读本本，则购买两种读本总费用为______元．（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了列代数式，根据费用单价数量列出式子是解题的关键．
【详解】解：购买两种读本总费用为元，
故答案为：．
13. 某校为了解七年级学生每周课外阅读情况，随机抽取该年级50名学生进行调查，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端点但不包括右端点），该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为_________．
【答案】0.56
【解析】
【分析】根据题意和直方图中的数据，用阅读时间不少于4.7小时学生的人数除以50即可．
【详解】解：可以估计该年级阅读时间不少于4.7小时学生的频率为．
故答案为：0.56．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 如图，在扇形中，，，是的垂直平分线，交弧于点E，点C是的中点，连接，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，涉及扇形面积公式、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，先根据线段垂直平分线的性质和锐角三角函数求得，，则，由结合扇形和三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，过E作于F，则，

∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，又，
∴，则，
∵点C是的中点，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 如图，在等腰中，，，点是射线上的一点，且，连接，以为直角顶点，在的左侧作等腰直角，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点，则的长为 ____________________．
【答案】或
【解析】
【分析】连接，分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据等腰直角三角形的性质得到，，求出，根据全等三角形点的性质与判定，以及勾股定理，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是：根据点的两种情况进行讨论．
【详解】解：如图，当点在线段上时，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与，，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在线段的延长线上时，连接，
同理可得，，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据零指数幂、零指数幂和绝对值计算即可；
（2）先算括号内的式子，再算除法即可．
【详解】解：（1）
（2）
17. 每年的4月22日是“世界地球日”，不同国籍的人们会以不同的方式宣传环境保护，守护我们共同的家园．某校为增强学生的环保意识，在七、八年级组织了“蔚蓝地球”环保知识竞赛，现从七、八年级各抽取10名同学的竞赛成绩进行统计分析（成绩得分用表示，两个年级抽取的成绩都不低于60分）共分成四组：A：，B：，C：，D：，绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题．
七年级10名学生的成绩是：69，77，96，78，68，86，100，86，85，95
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：85，86，89
七、八年级抽取学生比赛成绩统计表
八年级抽取学生比赛成绩扇形统计图

（1）根据以上信息填空：______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握环保知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有600人，八年级有680人参加了此次知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀（）的学生总人数．
【答案】（1）86，87.5
（2）八年级学生掌握环保知识较好，理由：两个年级平均数相同，而八年级中位数87.5大于七年级中位数86
（3）452
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体的知识，涉及平均数、中位数、众数．
（1）将七年级10个数从小到大排列可求，C组中给出的3个数恰好是10个数从小到大排列后的中间两个数，进而可得；
（2）由表可知，七八年级平均数一样，则只要比较中位数即可；
（3）由样本的数据占比去估算总体即可．
【小问1详解】
由七年级10名学生的成绩是：69，77，96，78，68，86，100，86，85，95
从小到大排列为：68，69，77，78，85，86，86，95，96，100知出现次数最多的即众数，
由八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：85，86，89知C组占比为：，且A占比，B占比
C组10个数中从小到达排列第五个数，第六个数分别为86，89
中位数；
【小问2详解】
八年级学生掌握环保知识较好，理由：两个年级平均数相同，而八年级中位数87.5大于七年级中位数86；
小问3详解】
抽取的样本中七年级成绩优秀人数为3
估计七年级竞赛成绩优秀人数为（人）
八年级C组占比为：
八年级D组占比为
估计八年级竞赛成绩优秀人数为（人）
估计两个年级竞赛成绩优秀的学生总人数为（人）．
18. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，反比例函数经过矩形的顶点，，对角线．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）作出的垂直平分线，交于点，交于点；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
（3）连接，，判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）四边形是菱形，证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，根据勾股定理得到，舍去，于是得到反比例函数的解析式为；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）设与的交点为，根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【小问1详解】
设，，
，，
对角线，
，
即，
解得，舍去，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
如图所示；直线即为所求；
小问3详解】
四边形是菱形，
证明：设与的交点为，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，基本作图，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，正确地作出辅助线是解题的关键．
19. 天柱塔，又名天中塔，驻马店市标志性建筑，是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔的高度，塔前有一段斜坡，已知的长为12米，它的坡度．在离C点60米的D处，用测角仪测得塔顶端A的仰角为，测角仪的高为米，求塔的高度约为多少米？（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，坡度坡角问题，以及含30度角的直角三角形的性质．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点F，过点E作，垂足为G，根据题意可得，米，，再根据已知可得在中，，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得米，米，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：延长交于点F，过点E作，垂足为G，
由题意得，，米，，
∵斜坡的坡度，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴（米），（米），
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：塔的高度约为米．
20. 2024年春节假日期间，33万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需49元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需53元．
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共48千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】（1）A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元
（2）A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．根据题意列出方程组，并解出方程组的解，即可作答．
（2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，依题意，得，根据“购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，”得，即可作答．
【小问1详解】
解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．
根据题意，得
解得
A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元．
【小问2详解】
解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元．
根据题意，得．
，
．
，
随的增大而增大．
当时，有最小值为：（元）．
A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元
21. 一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为．
（1）求该抛物线的函数表达式（不写自变量x的取值范围）；
（2）若要在斜坡上的点B处竖直立一个高3.5米的广告牌，点B的横坐标为，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（3）请直接写出小球在斜坡上的落点A的坐标．
【答案】（1）
（2）能，理由见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，求得二次函数的解析式是解题的关键．
（1）依题意，设抛物线的表达式为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）依题意，将分别代入一次函数与二次函数解析式，其函数值作差即可求解；
（3）联立一次函数与二次函数解析式，求得点的纵坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
小球M能飞过广告牌
理由如下：
当时，在中，，
在中，，
∵，
∴小球M能飞过广告牌．
【小问3详解】
解方程，
得，，
在中，当时，，
∴．
22. 水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，如图所示是一种水车的实物图，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成，某数学兴趣小组对其进行了研究，示意图如图所示，为立式水轮，水轮在水流的作用下，将水送至处，再经水槽送至处水渠，为水轮与水面的交汇处连接，，，交于点，连接，已知，与相切．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）若米，米，且，求水渠离水面的高度．
【答案】（1）见解析 （2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的相关定理和计算，掌握切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
（1）利用圆周角定理、等腰三角形的性质及角的和差关系先说明，再得结论．
（2）先说明∽，再利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用直角三角形的边角间关系得结论．
【小问1详解】
证明：连接，延长交于点，连接．
圆周角、都对着弧，
．
是的直径，
．
．
与相切，
．
．
．
，
．
．
为等腰三角形．
【小问2详解】
解：，，
∽．
．
．
在中，
，
（米．
答：水渠离水面的高度为米．
23. 综合与实践：数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动．
（1）观察发现：如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则______，三条线段的数量关系为______；
（2）探究迁移：如图（2），数学小组在图（1）的条件下进行如下操作：作于点N，交于点P，请写出线段之间的数量关系，并证明；
（3）拓展应用：如图（3），数学小组在图（1）的条件下进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度．
【答案】（1）；
（2），证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，由此可得．由，可得三点共线．又由可得；
（2）由，可得，于是可得，由“同角的余角相等”可得，最后根据角边角即可证明，即可得到；
（3）分两种情况：当点N落在上时，当点N落在上时，分别利用三角函数解直角三角形即可求得的长．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
．
沿折叠后得，沿折叠后得，
，
，
，
即．
，
．
三点共线．
，
，
．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：，
证明：∵，
．
，
，
．
中，，
．
中，，
，
．
在和中，
，
，
∴；
【小问3详解】
解：如图，当点N落在上时，

∵四边形是正方形，
．
由折叠的性质可得，
，
．
，
∴；
如图，当N落在上时，

∵四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得，
又，
，
∴，
，
，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、利用三角函数解直角三角形，综合性强，难度较大．熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
七年级
84
85.5
八年级
84
92