2024年山东省济宁市金乡县中考二模数学试题 （原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，共30分）
1. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，航天员江新林、汤洪波、唐胜杰将与神舟十六号航天员会师太空．空间站距离地球约为，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
详解】解：，
故选：C．
2. 在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别分析四种几何体的主视图和俯视图，找出主视图和俯视图相同的几何体即可．
【详解】解：A、主视图与俯视图都是正方形，故本选项符合题意；
B、主视图是两个拼在一起矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3. 如图，已知，点在线段上（不与点，点重合），连接．若，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 8的立方根是
B. 抛物线与y轴交点坐标为
C. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得图形是矩形
D. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了立方根、抛物线与y轴交点坐标，矩形的判定，轴对称性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、8的立方根是2，故该选项是错误的；
B、令，则，则抛物线与y轴交点坐标为，故该选项是错误的；
C、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得图形，该图形是菱形，故该选项是错误的；
D、在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，故该选项是正确的；
故选：D．
5. 下列各因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解即可．
【详解】解：A、，所以该选项不符合题意；
B、，所以该选项不符合题意；
C、是整式的乘法，所以该选项不符合题意；
D、，所以该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
6. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式的性质，二次根式的性质的综合，掌握分式的性质，二次根式有意义的条件求自变量的取值范围是解题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，根据分式的性质，分母不能为零，即，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，且，
∴，
故选：．
7. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A. 图象位于第一，第三象限B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交D. 随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．
【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；
B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；
C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；
D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．
8. 如图，四边形接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由点I是的内心知，从而求得，再进行角的等量代换，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
【详解】解：∵点I是的内心，
∴
∵，
∴
，
又四边形内接于，
∴，
故选：D．
9. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣ ，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．
【详解】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，
所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确结论有：①②④⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，从图象中获取有效信息是解答的关键．
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，下列结论错误的是（ ）
A. 点，都是点的“倍增点”
B. 若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为
C. 抛物线上存在两个点是点的“倍增点”
D. 若点B是点的“倍增点”，则的最小值是
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，根据题中新定义假设参数，利用一元一次方程，一元二次方程代入即可求解，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
【详解】解：A、∵，，
∴，，
∴，
则是的“倍增点”，
∵，，
∴，，
则是的“倍增点”，故A正确；
B、由题意设“倍增点”，
∴，解得：，
∴点，故B正确；
C、设抛物线的“倍增点”为，
∴，整理得：，
∴方程有两个相等的实数根，即存在1个点是点的“倍增点”，故C错误；
D、设，
∴，
则，
，
，
，
当时，有最小值，
∴的最小值，故D正确；
故选：C．
二、填空题（共5小题，共15分）
11. 已知，，则__________．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则求出，，再根据代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 若一组数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则，，，…，的方差为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据平均数与方差的定义和性质，先得出，再得出，结合方差公式进行计算即可．本题考查了平均数与方差的定义与计算问题，是基础题．
【详解】解∵一组数据，，，…，的平均数为4，方差为2，
∴，
∴，
则，，，…，的平均数为
则，，，…，的方差为
，
故答案为：8．
13. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∴
由作图可得是的角平分线，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．
【答案】45°
【解析】
【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，根据网格线可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解．
【详解】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图，
根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，
由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，
则∠ABD+∠CBE=∠MAB，
在Rt△ANB中，有，
同理可求得：，
∵，
∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，
∴∠MAB=45°，
即：∠ABD+∠CBE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为___________．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
三、解答题（共7小题，共55分）
16. 解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示解集，先解出每个不等式，再取它们公共部分的解集，即，最后运用数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：∵
解不等式，得，
解不等式，得，
故不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
17. 在中，，利用直尺和圆规作图．
（1）作出边上的中线；（不写做法，保留作图痕迹）
（2）作出的角平分线；（不写做法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查复杂作图、角平分线的定义，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为简单作图是关键．
（1）作的垂直平分线，交于，连接即可；
（2）利用基本作图法作出角平分线即可；
（3）根据角平分线的定义得到，再由三角形的外角定理即可求出．
【小问1详解】
如图，线段即为所求，
【小问2详解】
如图，线段即为所求作的线段，
【小问3详解】
平分，
，
．
18. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准：（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了__________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有__________名，“D烹饪与营养”的男生有__________名；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）求扇形统计图中“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数；
（4）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；2；1
（2）见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数；
（2）根据（1）中所求数据，补全图形即可；
（3）用乘以该项的百分比即可.
（4）利用列表法求出概率即可．
【小问1详解】
解：（人），
∴一共调查了20人；
∴组人数为：（人），
∴组女生有：（人）；
由扇形统计图可知：组的百分比为，
∴组人数为：（人），
∴组男生有：（人）；
故答案为：
【小问2详解】
补全图形如下：
【小问3详解】
“D烹饪与营养”所对应的圆心角的度数．
【小问4详解】
用表示名男生，用表示两名女生，列表如下：
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，
∴．
【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
19. “轻轨飞梭幻影重，上天入地驶楼中”， 魔幻城市重庆吸引了全国各她的游客，而李子坝的“轻轨穿楼”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡底端距离轻轨所穿楼栋底端处30米远，斜坡长为42米，坡角为，，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端处12米的处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的观景平台和一条新的坡角为的斜坡．

（1）求观景平台的长；（结果保留根号）
（2）小青在处测得轻轨所穿楼栋顶端的仰角为，点在同一个平面内，点在同一条直线上，且，求轻轨所穿楼栋的高度．（结果精确到0.1米，，）
【答案】（1）观景台的长为米
（2）轻轨所穿楼栋的高度为35.7米
【解析】
【分析】（1）由题意可得：，则，延长交于点，在中和在中利用三角函数分别求出的长，从而即可得到答案；
（2）过点作于点，于点，则四边形为矩形，从而可得到，则，在中，，最后由即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
，
延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
答：观景台的长为米；
【小问2详解】
解：在中，，
，，
过点作于点，于点，如图所示，
，
则四边形为矩形，
，
，
在中，，
，
（米），
答：轻轨所穿楼栋的高度为35.7米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，正确的进行计算是解题的关键．
20. 如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．

（1）求证：是切线；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论；
（2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可；
（2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：连接，

∵点C是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴是切线；
【小问2详解】
连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问3详解】
连接，

∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
21. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围．
【答案】（1）
（2）球不能射进球门，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律：
（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答．
（2）依题意，当时，，即可作答．
（3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
再把点和点分别代入，算出的值，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
解： ，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线，把点代入得：，解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：依题意，当时，，
球不能射进球门．
【小问3详解】
解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
把点代入得：，
解得：（舍去）或，
即．
22. 在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
【问题发现】
如图①，若，则 __________，与的数量关系是__________；
【类比探究】
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
【拓展应用】
如图③，点E为正方形的边上的点，，以为边在上方作正方形，点O为正方形的中心，若，请求出线段的长度．
【答案】【问题发现】，；【类比探究】，理由见解析；【拓展应用】．
【解析】
【分析】【问题发现】证明得，，则 ；
【类比探究】，，得，再证得，，则 ，进而得出结论；
【拓展应用】连接，证得，求出 ，则，在中，由勾股定理求出即可．
【详解】【问题发现】
∵，
∴， ，
∵，，
∴和是等边三角形，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为: ，；
【问题发现】
，，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【拓展应用】
如图所示：连接，
∵四边形是正方形，
∴，对角线与互相垂直平分，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握正方形的性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E