2024重庆市渝西中学高二下学期4月月考试题数学含答案

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考试时间：120 分钟 总分：150 分
命题人： 徐小玲 审题人：张进
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 ． (2x + 1)5 的展开式中x2 的系数是 ( )
A ．40 B ．80 C ．10 D ．60
2 ．用2, 3, 4, 5, 7 这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数个数为 ( )
A ．120 B ．72 C ．60 D ．48
（原创）3．若函数f (x) = ln x - ax 在点P(1, b)处的切线与3x -y + 3 = 0 平行,则2a +b =( )
A ．2 B ．0 C ． -1 D ． -2
4 ．数列{an } 的前 n 项和为Sn ，且 Sn = n2 + 2n ，bn = an+1 则数
列{bn } 的前 n 项和为Tn = ( )
A ． 2n+1 - 2n-1 B ． 2n+3 -1 C ． 2n-2 D ． 2n+3 -
5 ．已知f(x) = ax3 - 2x2 + bx + a2 (a, b ∈ R) 在x = 1 处的极大值为 5 ，则a +b = ( )
A ． -2 B ．6 C ． -2 或 6 D ． -6 或 2
6 ．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数f (x ) 在[a, b]上连续，且在(a, b)上可导，则
必有ξ∈ (a, b ) ，使得f, (ξ)(b- a ) = f (b ) -f (a ) 。已知函数 ， 丫a, b ∈ 那么实数λ的最大值为 ( )
A ．1 B ． C ． D ．0
（原创）7 ．在一个抽奖游戏中共有 5 扇关闭的门，其中 2 扇门后面有奖品，其余门后没有 奖品，主持人知道奖品在哪些门后。参赛者先选择一扇门，但不立即打开。主持人打开剩下 的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门。参赛者选择不换 门和换门获奖的概率分别为（ ）（源自教材 P53“ 阅读与思考 ”材料）
A. ; B. ; C. ; D. ;
8 ．若不等式(x - m)(ex -1)+ x +1 > 0 对丫x ∈(0, +∞) 恒成立，则整数m 的最大值为 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 ．关于 的展开式，下列结论正确的是 ( )
A ．二项式系数和为 64 B ．所有项的系数之和为 2
C ．第三项的二项式系数最大 D ．系数最大值为 240
（原创）10 ．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是 ( ) .
A ．若 5 位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有 12 种；
B ．若 5 位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 42 种； C ．若甲、乙、丙 3 位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有 20 种；
D ．若 5 位同学被分配到 3 个社区参加志愿活动，每个社区至少 1 位同学，则不同的分 配方案有 150 种；
11．已知 a > 1, b > 1 ，则下列关系式可能成立的是 ( )
A. eb ln a ≤ ab B. eb ln a ≥ ab C. aeb ≤ bln a D. aeb ≥ b ln a
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分（13 题第一问 2 分，第二问 3 分），共 15 分.
12 ．若随机变量X ~ B(n , 0.8) ，且E(X ) = 4 ，则P(X = 1) 的值是 .
13 ．已知某品牌电子元件的使用寿命X （单位：天）服从正态分布N (98,64) .
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100 天的概率为 ；
（2） 由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100 天后仍能正常工作（要 求K 能正常工作， A ， B 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独 立）的概率为 .
（参考公式：若X ~ N = 0.2 ）
14．已知函数f (x ) = ln x + ax2 ，若对任意两个不相等的正实数x1 , x2 ，都有
则实数a 的取值范围是 .
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（改编）15 ．（13 分） 已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 = -2, S2 = 0 .
（1）求数列{an } 的通项公式；
设bn = an + 3 求数列{bn }的前 n 项和Tn .
16 ．（15 分）有一名高二学生盼望 2025 年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条 件之一均可录取：①2025 年 2 月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从 2024 年 10 月市数学竞赛一等奖中选拔）： ②2025 年 3 月 自主招生考试通过并且达到 2025 年 6 月高考 重点分数线，③2025 年 6 月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学 生具备参加市数学竞赛、 自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表：
若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是 0.2 。若进入国家集 训队，则提前录取，若未被录取，则再按② 、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参 加后面的考试或录取。（注： 自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生被该校录取的概率。
17.（ 15 分） 已知椭圆 = 1 ， a > b > 0 ，经过点(0, ) ，且离心率 。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l : y = kx -k 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，直线l 交直线 m : x = 4 于点N ，直线 m 与x 轴交于点M ，记 △AMN ， △BMN 的面积分别为S1 ， S2 ，求S1 + S2 - 3MN 的最大值.
（改编）18 ．（17 分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产 口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞
市数学竞赛一等奖
自主招生通过
高考达重点线
高考达该校分数线
0.5
0.6
0.9
0.7
誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质 检人员从某日生产的口罩中随机抽取了 100 个，将其质量指标值分成以下五组：[100, 110) ， [110, 120) ，[120,130) ，[130,140) ， [140, 150] ，得到如下频率分布直方图．规定： 口罩的质 量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130 的为二级口罩，质量指标值 不低于 130 的为一级口罩.
（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中， 采用随机抽样方法每次抽取 1 个口罩，抽取 8 次，记被抽取的 8 个口罩中一级口罩个数为 ξ . 若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取 8 个口罩，再从中抽取 3 个，记其中一 级口罩个数为η , 求η 的分布列及方差；
（3）在 2023 年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分 别参加 A, B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n (n ≥ 2, n∈ N* )个该型号口罩构
成．假定甲、乙两人在 A, B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 ，记甲、乙两
人抢购成功的口罩总数量为X ，求当X 的数学期望E(X ) 取最大值时正整数n 的值.
（改编）19 ．（17 分） 已知函数 = ex - ax2 - 2ax ，其中a ∈ R .
令 g ax2 ，讨论 y = g 的单调性；
（2）若函数f (x ) 在[0, +∞) 上单调递增，求a 的取值范围；
（3）若函数f (x ) 存在两个极值点x1 , x2 ，当x1 + x2 ∈ 时，求 的
取值范围.