2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A. 2x−3>0B. 2x−1>3y+4C. 2>−3D. 3y+2<1y
2.下列博物馆图标中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 有一个角是60°的三角形是等边三角形
B. 三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
C. “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是真命题
D. 斜边相等的两个直角三角形全等
4.用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a/​/c”时，首先应假设( )
A. a/​/bB. c/​/bC. a与c相交D. a与b相交
5.如图，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，下列结论不一定正确的是( )
A. AB=A′B′B. ∠ABC=∠A′B′C′
C. AA′=BB′D. ∠ACC′=90°
6.已知a>b，c是任意实数，则下列计算正确的是( )
A. ac>bcB. acbcD. a−c>b−c
7.如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1，则旋转中心是( )
A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q
8.若点P(1−12a,2+13a)在第二象限，则a的取值范围是( )
A. −6−6D. a>2
9.如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
10.若关于x的不等式组−2(x−2)−x≤1k−x2>−12+x有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数k的和为( )
A. 13B. 15C. 18D. 21
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，该数轴表示的不等式的解集为______．
12.在平面直角坐标系中，点A(1,−2)，B(3,1)，线段AB经过平移得到A′B′，若点A′的坐标是(−2,1)，则点B′的坐标是______．
13.如图，直线y=kx+b经过点A(−3,0)，B(0,2)，则关于x的不等式kx+b≥0的解集是______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.若AD=3，则DE的长为______．
15.如图，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，BC=4AE=4 3，将△ADE绕点A旋转，当点D恰好落在△ABC的直角边上时，BD的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解下列不等式．
(1)−2(x−1)>x+5；
(2)3x−26≥14x+16．
17.(本小题9分)
已知关于x的不等式12x−a>3的解集是x>4，求关于x的不等式ax−2<−1的解集．
18.(本小题9分)
如图，△ABC的周长为13．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，连接BD，若BE=3，求△ABD的周长．
19.(本小题9分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−1,4)，B(−3,2)，C(−2,1)．
(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，作出旋转后的△A1B1C1；
(2)将△ABC平移后得列△A2B2C2，且点A的对应点是A2(5,−2)，点B，C的对应点分别是B2，C2，作出△A2B2C2．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，△ABC的周长为18，BC=7，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于点E，F．
(1)求证：△DFC是等腰三角形．
(2)求△AEF的周长．
21.(本小题9分)
如图，△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，AC=2 2，B为边AE上的一点，连接BC，将△ABC绕点C旋转到△EDC的位置．
(1)若∠ACB=20°，求∠CDE的度数．
(2)连接BD，若AB=1，求BD的长．
22.(本小题10分)
河南省整合全省文旅资源，推出特色活动和优惠政策，省内100多家景区提供门票减免和打折优惠.某校组织315名师生进行研学游，行李共180件.现有甲、乙两种型号的汽车，学校计划租用甲、乙两种汽车共10辆，已知1辆甲种汽车最多能载30人和20件行李，1辆乙种汽车最多能载35人和15件行李．
(1)请写出所有可能的租车方案．
(2)若1辆甲种汽车的租金是400元，1辆乙种汽车的租金是450元，请写出租金最少的租车方案，并求出租金．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α°(0<α<180)得到△CDE.连接BD，AE，过点A作AF⊥BD交BD于点F，过点E作EG⊥BD交BD于点G，直线BD与AE交于点H．

(1)如图1，求证：△ABF≌△EDG．
(2)如图2，若BC=3，当α=90时，求DH的长．
(3)点D与点H在旋转过程中是否会重合？若会重合，直接写出此时旋转角的度数；若不会重合，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵一元一次不等式是含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式，
∴只有A符合题意．
故选：A．
根据一元一次不等式的定义解答即可．
本题考查不等式的定义，关键是不等式定义的熟练掌握．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原命题错误，不符合题意；
B、三角形的三条角平分线的交点到三条边的距离相等，故原命题错误，不符合题意；
C、“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，故原命题正确，符合题意；
D、斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
利用等边三角形的判定方法、三角形的内心的性质、直角三角形的性质及判定方法及三角形的全等的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
4.【答案】C
【解析】解：原命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a/​/c”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设a与c不平行(或a与c相交)．
故选：C．
用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与c不平行(或a与c相交)．
此题考查了反证法证明的步骤：(1)假设原命题结论不成立；(2)根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不成立；(3)原命题正确．
5.【答案】D
【解析】解：∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的，
∴△A′B′C′≌△ABC，AA′=BB′，
∴AB=A′B′，∠ABC=∠A′B′C′，故A，B，C不符合题意；
无法证明∠ACC′=90°，故D符合题意．
故选：D．
根据平移的性质解答即可．
本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵a>b
∴ac>bc(c>0)，
故A不符合题意；
B、∵a>b，
∴ac>bc(c>0)，
故B不符合题意；
C、∵a>b，
∴>(c>0)，
故C不符合题意；
D、∵a>b，
∴a−c>b−c，
故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上(或减去)一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以(或除以)一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以(或除以)一个负数，不等号方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：令正方形网格的边长为1，
则CN=C1N=1，
AN=A1N= 12+22= 5，
BN=B1N= 22+22=2 2，
所以点N为旋转中心．
故选：B．
根据图形旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等即可解决问题．
本题考查旋转的性质，熟知旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵点P(1−12a,2+13a)在第二象限，
∴1−12a<02+13a>0，
解得a>2．
故选：D．
根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得关于a的一元一次不等式组，再解不等式组即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组以及平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
9.【答案】C
【解析】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G，
∵AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC，
∴EG=EF=ED，
∵△ABC的面积=△EBD的面积+△AEF的面积+△AEB的面积，
∴12BC⋅ED+12AC⋅EF+12AB⋅EG=18，
∴12(BC+AC+AB)⋅DE=18，
∵△ABC的周长为12cm，
∴BC+AC+AB=12，
∴12×12×DE=18，
∴DE=3cm．
故选：C．
过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G，由角平分线的性质，得到EG=EF=ED，由△ABC的面积=△EBD的面积+△AEF的面积+△AEB的面积，得到12BC⋅ED+12AC⋅EF+12AB⋅EG=18，因此12(BC+AC+AB)⋅DE=18，根据BC+AC+AB=12即可求出DE．
本题考查三角形的面积，角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10.【答案】D
【解析】解：解不等式−2(x−2)−x≤1，得x≥1，
解不等式k−x2>−12+x，得x∵不等式组有且只有两个整数解，
∴2∴5∴整数k的取值为6，7，8，
∴所有整数k的和6+7+8=21．
故选：D．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有两个整数解确定出k的取值，求出整数k的值，进而求出和．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
11.【答案】x<1
【解析】解：该数轴表示的不等式的解集为x<1．
故答案为：x<1．
根据不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上点的特点，不等式解集的特点是解题的关键．
12.【答案】(0,4)
【解析】解：∵A(1,−2)，A′(−2,1)，
∴线段A′B′是由线段AB向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，
∵B(3,1)，
∴B′(0,4)，
故答案为：(0,4)．
利用平移变换的性质求解．
本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是掌握平移变换的性质．
13.【答案】x≥−3
【解析】解：∵直线y=kx+b与x轴交于点A(−3,0)，
∴当x≥−3时，y≥0，
∴关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≥−3．
故答案为：x≥−3．
写出一次函数图象不在x轴下方所对应的自变量的值即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】3
【解析】解：∵∠A=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=90°−∠C=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=30°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD平分∠ABC，
∵DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DA=DE=3，
故答案为：3．
先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠ABC=60°，再利用线段垂直平分线的性质可得DB=DC，从而可得∠DBC=∠C=30°，然后利用角的和差关系可得∠ABD=∠DBC=30°，从而可得BD平分∠ABC，最后利用角平分线的性质可得DA=DE=3，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及角平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】3或3 5
【解析】解：当点D在AB上时，如图所示，
在Rt△ABC中，
csB=ABBC，
∴AB=4 3× 32=6．
在Rt△ADE中，
tan∠ADE=AEAD，
∴AD= 3 33=3，
∴BD=AB−AD=6−3=3．
当点D在CA边上时，如图所示，
在Rt△ADB中，
BD= AD2+AB2= 32+62=3 5．
∴BD的长为3或3 5．
故答案为：3或3 5．
对点D在AB和AC上分类讨论即可解决问题．
本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵−2(x−1)>x+5，
∴−2x+2>x+5，
−2x−x>5−2，
−3x>3，
则x<−1；
(2)∵3x−26≥14x+16，
∴2(3x−2)≥3x+2，
6x−4≥3x+2，
6x−3x≥2+4，
3x≥6，
则x≥2．
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
17.【答案】解：由12x−a>3得：x>6+2a，
又解集为x>4，
∴6+2a=4，
解得a=−1，
则−x−2<−1，
解得x>−1．
【解析】由12x−a>3得x>6+2a，结合解集为x>4，求出a的值，代入后进一步求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】解：(1)如如，DE即为所求．

(2)∵DE为线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，BE=CE=3，
∴BC=6．
∵△ABC的周长为13，
∴AB+AC+BC=AB+AC+6=13，
即AB+AC=7．
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=7．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)由线段垂直平分线的性质可得，BD=CD，BE=CE=3，则BC=6，进而可得AB+AC=7.则△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=7．
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据平移的性质作图即可．
本题考查作图−旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∵EF/​/BC，
∴∠FDC=∠DCB，
∴∠ACD=∠FDC，
∴FD=FC，
∴△DFC是等腰三角形；
(2)解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴EB=BD，
∵△ABC的周长为18，BC=7，
∴AB+AC=18−7=11，
∴AE+BE+AF+CF=11，
∵DF=CF，
∴AE+DE+AF+DF=11，
∴AE+AF+EF=11，
∴△AEF的周长为11．
【解析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可证△DCF是等腰三角形，即可解答；
(2)利用角平分线的定义和平行线的性质可证△DEB是等腰三角形，从而可得EB=BD，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得：△AEF的周长=AB+AC=11，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，
∴∠A=∠AEC=45°，
∵∠ACB=20°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠ACB=115°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC的位置，
∴∠CDE=∠ABC=115°；
(2)∵将△ABC绕点C旋转到△EDC的位置，
∴∠ACB=∠DCE，BC=DC，AB=DE=1，
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=∠ACB+∠BCE=90°，
∴∠CED=∠A=45°，
∴∠BED=∠AEC+∠CED=90°，
∵AC=2 2，
∴AE=4，
而AB=1，
∴BE=3
在Rt△BDE中，BD= BE2+DE2= 10
故BD长为 10．
【解析】(1)根据旋转的性质和三角形内角和定理即可得到结论；
(2)根据旋转的性质得到∠ACB=∠DCE，BC=DC，AB=DE=1，然后根据等腰直角三角形的性质得到∠BED=90°，最后利用勾股定理即可得到结论．
此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】解：(1)设租用x辆甲种汽车，则租用(10−x)辆乙种汽车，
根据题意得：30x+35(10−x)≥31520x+15(10−x)≥180，
解得：6≤x≤7，
又∵x为正整数，
∴x可以为6，7，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用6辆甲种汽车，4辆乙种汽车；
方案2：租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车；
(2)选择方案1所需租金为400×6+450×4=4200(元)；
选择方案2所需租金为400×7+450×3=4150(元)．
∵4200>4150，
∴租金最少的租车方案为：租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车，所需租金为4150元．
【解析】(1)设租用x辆甲种汽车，则租用(10−x)辆乙种汽车，根据租用的10辆汽车可载人数不少于315人、行李不少于180件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各租车方案；
(2)利用总租金=1辆甲种汽车的租金×租用甲种汽车的辆数+1辆乙种汽车的租金×租用乙种汽车的辆数，可求出选择各租车方案所需总租金，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(2)根据各数量之间的关系，求出选择各租车方案所需总租金．
23.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转α°(0<α<180)得到△CDE，
∴AB=DE，BC=CD，∠ABC=∠EDC=90°，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠ABF+∠CBD=90°=∠EDG+∠CDB，
∴∠ABF=∠GDE，
又∵∠AFB=∠G=90°，
∴△ABF≌△EDG(AAS)；
(2)解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转α°(0<α<180)得到△CDE，BC=3，α=90，
∴BC=CD=3，∠BCD=90°，
∴BD=3 2，∠DBC=∠BDC=45°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴BA= 3BC=3 3，
∵∠AFB=90°，∠ABD=45°，
∴AF=BF= 22AB=3 62，
由(1)可知：△ABF≌△EDG，
∴AF=GE，GD=BF，
∵BG=BF+FG=GD+BD，
∴BD=FG=3 2，
∵AF=GE，∠G=∠AFH，∠GHE=∠AHF，
∴△AFH≌△EGH(AAS)，
∴HG=HF=12FG=3 22，
∴HD=GD−HG=3 6−3 22；
(3)解：点D与点H能重合，如图3，

∵将△ABC绕点C顺时针旋转α°(0<α<180)得到△CDE，
∴AC=CE，∠BAC=∠CED=30°，∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠CAE=∠CEA=30°，
∴∠ACE=120°，
∴旋转角为120°．
【解析】(1)由“AAS”可证△ABF≌△EDG；
(2)由“AAS”可证△AFH≌△EGH，可得HG=HF=12FG=3 22，即可求解；
(3)由旋转的性质可得AC=CE，∠BAC=∠CED=30°，∠BAC=∠CDE=90°，由等腰直角三角形的性质可求解．
本题三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．