2024年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）小戴同学的微信钱包账单如图所示，+5表示收入5元，下列说法正确的是（ ）
A．﹣3表示支出3元B．﹣3表示收入3元
C．﹣3表示支出﹣3元D．收支总和为8元
2．（2分）“山美水美云南美，民族风情处处有”，2024年2月19日云南省文化和旅游厅发布消息，春节假期云南旅游总收入约63740000000元，数据63740000000用科学记数法可表示为（ ）
A．63.74×109B．6.374×109
C．6.374×1010D．0.6374×1011
3．（2分）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图所示的是超市里购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠1＝100°，∠2＝48°，则∠3的度数是（ ）
A．52°B．48°C．42°D．62°
5．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．5a2﹣3a2＝2B．a2•a3＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2
6．（2分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x＜1C．x≤1D．x≥1
8．（2分）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（﹣1，8）B．（1，8）C．（4，2）D．（﹣2，﹣4）
9．（2分）观察下列单项式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，按此规律，第8个单项式是（ ）
A．128x8B．﹣256x8C．256x8D．256x9
10．（2分）为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ）
A．本次调查的总人数为60人
B．调查的学生中骑车上学的有8人
C．若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人
D．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是122°
11．（2分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程（ ）
A．100（1+x）＝361
B．100（1+x）2＝361
C．100（1+x）+100（1+x）2＝361
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝361
12．（2分）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是
2cm，则这个正六边形的周长是（ ）
A．12cmB．6cmC．36cmD．12cm
13．（2分）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段AB为8m，轮子的吃水深度为2m，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A．4mB．5mC．6mD．7m
14．（2分）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
15．（2分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，如图是它的部分示意图，现测得∠A＝70°，∠C＝45°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin65°B．C．60cs65°D．60tan65°
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）分解因式：3m2﹣3＝ ．
17．（2分）为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校课后服务篮球兴趣课开展投篮比赛活动．其中8名选手投中篮圈的个数分别为3，5，3，4，6，7，5，8，则这组数据的中位数是 ．
18．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则＝ ．
19．（2分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（7分）计算：．
21．（6分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC＝DE．
22．（7分）2023年11月26日丽香铁路正式开通，至此，迪庆州结束不通铁路的历史．丽香铁路开通前，乘坐大巴车从丽江至香格里拉，公路全长为175km；开通后，铁路全长140km．已知高铁的平均速度是大巴车平均速度的2倍，大巴车和高铁同时从丽江出发前往香格里拉，大巴车比高铁晚1.5h到达香格里拉．求高铁的平均速度是多少km/h？
23．（6分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACD＝90°，点E是BC的中点，连接AE，过点C作CF∥AE，交AD于点F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为36，AC＝6，求菱形AECF的面积．
25．（8分）“有一种叫云南的生活”融和了丰富的多元文化、多彩的自然风光和独特的民俗风情．在云南，风里有花香，舌尖亦能有花香．“鲜花饼”是云南有名的特产，南屏街某商店销售“鲜花饼”，进价为20元/盒，经市场调查发现：该鲜花饼的销售量y（盒）与销售价x（元/盒）之间的关系如图所示．规定售价不低于成本，不高于成本的2.5倍．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求销售该鲜花饼获得的利润W的最大值．
26．（8分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数y＝ax2﹣2a﹣3a（x≥0）的图象记为T1，将T1关于原点对称的图象记为T2，T1与T2合起来得到的图象记为T，完成以下问题：
①在网格中画出函数T的图象；
②若对于函数T上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x1≤﹣2，t≤x2≤t+1时，总有y1＞y2，求出t的取值范围．
27．（12分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8，过AO的中点E作AB的垂线交⊙O于点C和D，P是上一动点．连接PA，PB，PC，PD．
（1）求的长度；
（2）延长AP到点F，连接BF，使得FB2＝FA•FP．求证：BF是⊙O的切线；
（3）猜想PA，PC，PD间的数量关系，并证明．
2024年云南省昆明市官渡区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）小戴同学的微信钱包账单如图所示，+5表示收入5元，下列说法正确的是（ ）
A．﹣3表示支出3元B．﹣3表示收入3元
C．﹣3表示支出﹣3元D．收支总和为8元
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：+5表示收入5元，则﹣3表示支出3元，
故选：A．
2．（2分）“山美水美云南美，民族风情处处有”，2024年2月19日云南省文化和旅游厅发布消息，春节假期云南旅游总收入约63740000000元，数据63740000000用科学记数法可表示为（ ）
A．63.74×109B．6.374×109
C．6.374×1010D．0.6374×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：63740000000＝6.374×1010，
故选：C．
3．（2分）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】从左边观看立体图形即可得到．
【解答】解：从左边观看立体图形可得，左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B．
4．（2分）如图所示的是超市里购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠1＝100°，∠2＝48°，则∠3的度数是（ ）
A．52°B．48°C．42°D．62°
【分析】利用平行线的性质可得∠1＝∠CDA＝100°，然后可得∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CDA＝100°，
∵∠2＝48°，
∴∠3＝52°，
故选：A．
5．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．5a2﹣3a2＝2B．a2•a3＝a6
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、5a2﹣3a2＝2a2，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故C符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
6．（2分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
7．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x＜1C．x≤1D．x≥1
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
8．（2分）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（﹣1，8）B．（1，8）C．（4，2）D．（﹣2，﹣4）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行分析判断即可．
【解答】解：由反比例函数解析式可得xy＝﹣8，
A、﹣1×8＝﹣8．点（﹣1，8）在反比例函数图象上，符合题意；
B、1×8＝8≠﹣8，点（1，8）不在反比例函数图象上，不符合题意；
C、4×2＝8≠﹣8，点（4，2）不在反比例函数图象上，不符合题意；
D、﹣2×（﹣4）＝8≠﹣8，点（﹣2，﹣4）不在反比例函数图象上，不符合题意；
故选：A．
9．（2分）观察下列单项式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，按此规律，第8个单项式是（ ）
A．128x8B．﹣256x8C．256x8D．256x9
【分析】观察上述单项式，可得规律：第n项单项式为：（﹣1）n•2n•xn，由此计算出第8个单项式即可．
【解答】解：上述单项式的系数依次为：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，按此规律，第n项单项式的系数为：（﹣1）n•2n，
上述单项式的指数依次为：1，2，3，4，5，…，按此规律，第n项单项式的指数为：n，
∴第n项单项式为：（﹣1）n•2n•xn，
∴第8个单项式是：（﹣1）8×28x8＝256x8，
故选：C．
10．（2分）为加强交通安全教育，某校随机调查了九年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，下列判断错误的是（ ）
A．本次调查的总人数为60人
B．调查的学生中骑车上学的有8人
C．若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有600人
D．扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是122°
【分析】根据乘车人数以及百分比求出总人数，据此可判断选项A；
用总人数分别减去其它两种上学方式的人数，即可得出骑车上学的人数，据此可得判断选项B；
用样本估计总体的思想解决问题，即可判断选项C；
根据圆心角＝360°×百分比计算，即可判断选项D．
【解答】解：本次调查的总人数为：30÷50%＝60（人），故选项A说法正确，不符合题意；
调查的学生中骑车上学的有：60﹣30﹣22＝8（人），故选项B说法正确，不符合题意；
若该校九年级学生有1200人，则乘车上学的约有：1200×50%＝6008（人），故选项C说法正确，不符合题意；
扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是：360°×＝132°，故选项D说法错误，符合题意．
故选：D．
11．（2分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程（ ）
A．100（1+x）＝361
B．100（1+x）2＝361
C．100（1+x）+100（1+x）2＝361
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝361
【分析】利用第三周参与阅读人次＝第一周参与阅读人次×（1+参与阅读人次的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：100（1+x）2＝361．
故选：B．
12．（2分）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是
2cm，则这个正六边形的周长是（ ）
A．12cmB．6cmC．36cmD．12cm
【分析】由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB＝OA，即可得出答案．
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm．
故选：D．
13．（2分）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段AB为8m，轮子的吃水深度为2m，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A．4mB．5mC．6mD．7m
【分析】如图，连接PA，过点P作PE⊥AB于点E，交⊙P于点F．利用垂径定理，勾股定理求解．
【解答】解：如图，连接PA，过点P作PE⊥AB于点E，交⊙P于点F．
设PA＝PF＝r m．
∵PE⊥AB，
∴AE＝EB＝AB＝4（m），
在Rt△PAE中，PA2＝PE2+AE2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故选：B．
14．（2分）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】根据正方体体积的计算方法得出正方体棱长为cm，再根据立方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：由题意可知，正方体铁块的体积为34cm3，
所以正方体的棱长为，
∵33＝27，43＝64，而27＜34＜64，
∴3＜＜4．
故选：B．
15．（2分）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，如图是它的部分示意图，现测得∠A＝70°，∠C＝45°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin65°B．C．60cs65°D．60tan65°
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用三角形内角和定理可得∠B＝65°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠BAC＝70°，∠C＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝65°，
在Rt△ABD中，AB＝60，
∴AD＝AB•sin65°＝60sin65°，
∴点A到BC的距离为60sin65°，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）分解因式：3m2﹣3＝ 3（m+1）（m﹣1） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）
＝3（m+1）（m﹣1）．
故答案为：3（m+1）（m﹣1）．
17．（2分）为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校课后服务篮球兴趣课开展投篮比赛活动．其中8名选手投中篮圈的个数分别为3，5，3，4，6，7，5，8，则这组数据的中位数是 5 ．
【分析】根据中位数的概念，解答即可．
【解答】解：将这组数据从小到大排列为：3、3、4、5、5、6、7、8，
从中可以看出，一共8个数据，第4个和第5个数据分别为5、5，
根据中位数的概念，可知这组数据的中位数为（5+5）÷2＝5，
故答案为：5．
18．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则＝ ．
【分析】先由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而得出AE：DC＝2：5，△AEF∽△CDF，根据相似比即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵，
∴AE：DC＝2：5，△AEF∽△CDF，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
19．（2分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是 4 ．
【分析】利用圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长．
【解答】解：设扇形的半径是r，
则＝2π×1，
解得：r＝4，
∴扇形的半径是4．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20．（7分）计算：．
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3﹣1+﹣1﹣2+＝﹣5．
21．（6分）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC＝DE．
【分析】先证∠BAC＝∠DAE，再证△ABC≌△ADE（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC＝DE．
22．（7分）2023年11月26日丽香铁路正式开通，至此，迪庆州结束不通铁路的历史．丽香铁路开通前，乘坐大巴车从丽江至香格里拉，公路全长为175km；开通后，铁路全长140km．已知高铁的平均速度是大巴车平均速度的2倍，大巴车和高铁同时从丽江出发前往香格里拉，大巴车比高铁晚1.5h到达香格里拉．求高铁的平均速度是多少km/h？
【分析】设大巴车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度为2x km/h，根据大巴车行驶的时间比高铁行驶的时间晚1.5h到达香格里拉．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设大巴车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度为2x km/h，
根据题意得：﹣＝1.5，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×70＝140，
答：高铁的平均速度为是140km/h．
23．（6分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，
∴抽到决策类人工智能的卡片的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果有：AD，DA，共2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率为＝．
24．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACD＝90°，点E是BC的中点，连接AE，过点C作CF∥AE，交AD于点F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为36，AC＝6，求菱形AECF的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，得到∠BAC＝∠ACD＝90°，根据平行四边形的判定定理得到四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝8，由点E是BC的中点，得到BE＝CE，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵点E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC＝18，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB2+62＝（18﹣AB）2，
解得AB＝8，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴S△ACE＝S△ABC，
∵菱形AECF的面积＝2S△ACE，
∴菱形AECF的面积＝S△ABC＝＝＝24．
25．（8分）“有一种叫云南的生活”融和了丰富的多元文化、多彩的自然风光和独特的民俗风情．在云南，风里有花香，舌尖亦能有花香．“鲜花饼”是云南有名的特产，南屏街某商店销售“鲜花饼”，进价为20元/盒，经市场调查发现：该鲜花饼的销售量y（盒）与销售价x（元/盒）之间的关系如图所示．规定售价不低于成本，不高于成本的2.5倍．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求销售该鲜花饼获得的利润W的最大值．
【分析】（1）根据题意分20≤x≤40和40＜x≤50两种情况，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设该店日获利润为W元，然后表示出W，利用二次函数的增减性求解即可．
【解答】解：（1）当20≤x≤40时，设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
根据题意，得，
解得，
∴y＝﹣10x+600；
当40＜x≤50时，y＝200
故y与x的函数解析式为y＝；
（2）设该店日获利润为W元，当20≤x≤40时，
W＝（x﹣20）（﹣10x+600）
＝﹣10x2+800x﹣12000
＝﹣10（x﹣40）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝40时，W有最大值，最大值为4000；
当40＜x≤50时，W＝（x﹣20）×200＝200x﹣4000，
∵200＞0，
∵W随x的增大而增大，
∴当x＝50时取得最大值，最大值为6000，
综上所述，销售该鲜花饼获得的利润W的最大值为6000元．
26．（8分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数y＝ax2﹣2a﹣3a（x≥0）的图象记为T1，将T1关于原点对称的图象记为T2，T1与T2合起来得到的图象记为T，完成以下问题：
①在网格中画出函数T的图象；
②若对于函数T上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x1≤﹣2，t≤x2≤t+1时，总有y1＞y2，求出t的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4，可得二次函数顶点的纵坐标为4，进而可得a的值，即可求得二次函数的解析式；
（2）①分别得到T1与y轴的交点，顶点坐标及与x轴正半轴的交点，画出相关函数图象；同理得到T2与y轴的交点，顶点坐标及与x轴负半轴的交点，画出相关函数图象；
②分点Q在y轴的左侧和右侧两种情况探讨y1＞y2的情况时x2的取值，即可得到t的取值范围．
【解答】解（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4．
∴＝4．
解得：a＝﹣1．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵二次函数y＝﹣x2+2x+3（x≥0）的图象记为T1，
∴图象与y轴的交点为（0，3），顶点坐标为（1，4），与x轴正半轴的交点为（3，0）．
∴T1关于原点对称的图象T2，与y轴的交点为（0，﹣3），顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴负半轴的交点为（﹣3，0）．
②Ⅰ、当点Q在y轴的左侧和点M（﹣2，﹣3）之间时，总有y1＞y2．
∴﹣2＜x2＜0．
∵t≤x2≤t+1，
∴﹣2＜t＜﹣1；
Ⅱ、当点Q在y轴的右侧时，点Q在点N的右边时，总有y1＞y2．
当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2+2x+3．
解得：x1＝﹣+1（不合题意，舍去），x2＝+1．
∴t＞+1时，总有y1＞y2．
综上：﹣2＜t＜﹣1或t＞+1时，总有y1＞y2．
27．（12分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8，过AO的中点E作AB的垂线交⊙O于点C和D，P是上一动点．连接PA，PB，PC，PD．
（1）求的长度；
（2）延长AP到点F，连接BF，使得FB2＝FA•FP．求证：BF是⊙O的切线；
（3）猜想PA，PC，PD间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接OC，利用垂径定理，含30°角的直角三角形的性质求得∠AOC的度数，再利用圆的弧长公式解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质得到∠FBA＝90°，则OB⊥FB，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（3）延长PD至点G，使DG＝PC，连接OC，AC，AD，OD，AG，利用（1）的结论得到△OAD为等边三角形，得到∠APD＝30°，利用全等三角形的判定与性质得到PA＝GA，过点A作AH⊥PG于点H，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理得到PG＝PA，则结论可得．
【解答】（1）解：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝OC＝4，
∵E为OA的中点，
∴OE＝OA＝OC，
∵OA⊥CD，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∴的长度＝＝π；
（2）证明：∵FB2＝FA•FP，
∴，
∵∠F＝∠F，
∴△FBA∽△FPB，
∴∠FPB＝∠FBA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠FPB＝90°，
∴∠FBA＝90°，
∴OB⊥FB．
∵OB为⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（3）解：PA，PC，PD间的数量关系为：PD+PC＝PA．
证明：延长PD至点G，使DG＝PC，连接OC，AC，AD，OD，AG，如图，
由（1）知：OA⊥CD，∠AOC＝60°，
∴△OAC为等边三角形，
同理：△OAD为等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝OD＝AD，∠AOD＝60°，
∴∠APD＝30°．
∵∠GDA为圆内接四边形DACP的外角，
∴∠GDA＝∠ACP．
在△GDA和△PCA中，
，
∴△GDA≌△PCA（SAS），
∴GA＝PA，
∴∠G＝∠APD＝30°，
过点A作AH⊥PG于点H，
则PH＝HG．
∵cs∠APH＝，
∴，
∴PH＝PA，
∴PG＝2PH＝PA．
∵PG＝PD+DG＝PD+PC，
∴PD+PC＝PA．