2024年黑龙江省绥化市明水县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省绥化市明水县中考数学一模试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（ ）
A．26.2883×1010B．2.62883×1011
C．2.62883×1012D．0.262883×1012
3．（3分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a6
C．（2a3）2＝2a6D．a6÷a3＝a2
5．（3分）的相反数是（ ）
A．B．C．﹣7D．7
6．（3分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
7．（3分）描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟D．方差为0
9．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
10．（3分）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（3分）下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若样本数据3，6，a，4，2的平均数是4，则其方差为2；
②“相等的角是对顶角”的逆命题是真命题；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④若抛物线y＝3（x﹣1）2+k上有点（，y1），（2，y2），（﹣，y3），则y3＞y2＞y1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM＝EF；②＝；③GH＝FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）分解因式：x2+2xy+y2﹣1＝ ．
14．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围 ．
15．（3分）一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ ．
16．（3分）化简：＝ ．
17．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+8）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若，则k的值为 ．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 ．
19．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0）、点B（﹣4，﹣2），O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比2：1把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标为 ．
20．（3分）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是 ．
21．（3分）某超市从厂家购进A，B两种礼盒，已知A，B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．该超市购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有 种进货方案．
22．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝4，点D是AC的中点，点F是边AB上一动点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，若线段A′D交AB于点E，且△BA′E为直角三角形，则BF的长为 ．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 ．
24．（8分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为B（a，4），过点B作直线l⊥AB．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
26．（9分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
27．（10分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
28．（11分）如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、点B，经过点A，B的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴另一个交点为C，连接BC．平行于x轴的动直线EF从点B开始，以每秒1个单位长度的速度向y轴正方向平移，同时动点P从点A出发，在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点P运动的时间为t秒，是否存在某一时刻，使△APF与△ABC相似？若存在，试求出t值；若不存在，简述你的理由；
（3）点D在直线y＝x﹣4上，横坐标为11，M为x轴上一动点，N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，简述理由．
2024年黑龙江省绥化市明水县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（ ）
A．26.2883×1010B．2.62883×1011
C．2.62883×1012D．0.262883×1012
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：262883000000＝2.62883×1011．
故选：B．
3．（3分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆．
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a6
C．（2a3）2＝2a6D．a6÷a3＝a2
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的法则逐项进行计算即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B．（a3）2＝a6，故B符合题意；
C．（2a3）2＝4a6，故C不符合题意；
D．a6÷a3＝a3，故D不符合题意．
故选：B．
5．（3分）的相反数是（ ）
A．B．C．﹣7D．7
【分析】根据相反数的定义，即可得出答案．
【解答】解：|﹣|＝，的相反数是﹣．
故选：A．
6．（3分）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论．
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝2，OQ＝3，
∴OA＝OB＝，
∴OC＝3，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（3，﹣2），
故选：A．
7．（3分）描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数的性质可知函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，根据函数平移的规律，把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），据此即可判断．
【解答】解：∵k＝1，
∴函数y＝在第一、三象限，对称中心为原点，
把y＝向左平移1个单位得到y＝，对称中心为（﹣1，0），
故选：D．
8．（3分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）
A．平均数为70分钟B．众数为67分钟
C．中位数为67分钟D．方差为0
【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．
【解答】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88，
A．平均数是＝73（分钟），故选项错误，不符合题意；
B．这组数的众数是67（分钟），故选项正确，符合题意；
C．将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70（分钟），故选项错误，不符合题意；
D．这组方差为：S2＝×[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]≈58.57，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【分析】如图，点B在函数y＝上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故选：A．
10．（3分）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据题意得汽车的速度是2x km/h，再将30min转化为h，然后根据“同时到达”列出方程即可得出答案．
【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2x km/h，
又∵30min＝h，
∴．
故选：B．
11．（3分）下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若样本数据3，6，a，4，2的平均数是4，则其方差为2；
②“相等的角是对顶角”的逆命题是真命题；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④若抛物线y＝3（x﹣1）2+k上有点（，y1），（2，y2），（﹣，y3），则y3＞y2＞y1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】欲知是否为真命题，需分析各题的题设是否能推出结论，从而得出答案．
【解答】解：①、由平均数是2，所以a+3+6+4+2＝4×5，解得a＝5，所以方差s2＝[（5﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2+（2﹣4）2]＝2，所以①正确；
②、相等的角是对顶角的逆命题是对顶角相等，所以②正确，
③、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以③不正确；
④、由解析式可知a＝3＞0，当x＝1时，函数有最小值，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，因为1＜＜2，所以y1＜y2，而根据抛物线的对称性，点（2，y2）关于对称轴对称的点的坐标为（0，y2），而﹣＜0，所以y2＜y3，即y3＞y2＞y1，④正确；
所以正确的命题有3个．故选C．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM＝EF；②＝；③GH＝FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】过点F作FK⊥AD于点K，证明△FKE≌△ADM（AAS）即可判断①；采用特殊值法判断②，若点M是CD的中点，则＝1，又△BFG∽△DEG，得到＝＝，从而≠，故②错误；过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，证得△MPH≌△AEH（AAS），得到PH＝EH，MP＝AE，根据正方形的性质与△FKE≌△ADM（AAS）得到MQ＝MD＝KE，进而有PQ＝AK，从而可证得△BFG≌△QPG（ASA），有FG＝PG，因此FG+EH＝PG+PH＝HG，故③正确；利用反证法证明④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH＝∠GNH，根据同角的余角相等推出∠BAN＝∠BNA，即BN＝BA，而AB是定值，BN随着点M的变化而变化，故BN＝BA不成立，从而△BFG∽△DEG不成立，故④错误．
【解答】解：如图，过点F作FK⊥AD于点K，
∴∠FKA＝∠FKE＝90°，
∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABFK是矩形，
∴FK＝BA，
∵在正方形ABCD中，AB＝AD，
∴FK＝AD，
∵AM⊥EF，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∵∠AMD+∠MAD＝180°−∠ADM＝90°，
∴∠FEK＝∠AMD，
∵∠FKE＝∠ADM＝90°，
∴△FKE≌△ADM（AAS），
∴FE＝AM；故①正确；
如图，若点M是CD的中点，则＝1，
设正方形ABCD的边长为2a，即AD＝CD＝2a，
∴DM＝CD＝a，
在Rt△ADM中，AM＝＝a，
∵点H是AM的中点，
∴AH＝AM＝a，
∵△ADM≌△FKE，
∴KE＝DM＝a，
∵∠AHE＝∠ADM＝90°，∠EAH＝∠MAD，
∴△AHE∽△ADM，
∴＝，即＝，
∴DE＝AD−AE＝2a−a＝a，
AK＝AE−DM＝a−a＝a，
∴在矩形ABFK中，BF＝AK＝a，
∵在正方形ABCD中，BC∥AD，
∴△BFG∽△DEG，
∴＝＝＝，
∴≠，故②错误；
过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，
∴∠MPH＝∠AEH，∠PMH＝∠EAH，
∵点H是AM的中点，
∴MH＝AH，
∴△MPH≌△AEH（AAS），
∴PH＝EH，MP＝AE，
∵在正方形ABCD中，BD平分∠ADC，
∴∠BDC＝∠ADC＝×90°＝45°，
∵PM∥AD，
∴∠QMD＝180°−∠ADC＝180°−90°＝90°，
∴∠MQD＝90°−∠MDQ＝90°−45°＝45°，
∴∠MQD＝∠MDQ，
∴MQ＝MD，
由①知，△FKE≌△ADM（AAS），
∴KE＝DM，
∴MQ＝KE，
∴PM−QM＝AE−KE，即PQ＝AK，
由①得，四边形ABFK是矩形，
∴BF＝AK，
∴BF＝PQ，
∵BC∥AD，MP∥AD，
∴BC∥PM，
∴∠GBF＝∠GQP，∠BFG＝∠QPG，
∴△BFG≌△QPG（ASA），
∴FG＝PG，
∴FG+EH＝PG+PH＝HG，故③正确；
对于④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH＝∠GNH，
∵∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∵∠BAH+∠EAH＝∠BAD＝90°，
∴∠BAN＝∠BNA，
∴BN＝BA，
∵AB是定值，BN随着点M的变化而变化，
∴BN＝BA不成立，
∴△BFG∽△DEG不成立．故④错误．
综上所述，结论正确的有2个．
故选：B．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13．（3分）分解因式：x2+2xy+y2﹣1＝ （x+y+1）（x+y﹣1） ．
【分析】首先将前三项分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）．
故答案为：（x+y+1）（x+y﹣1）．
14．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围 2≤x＜5 ．
【分析】根据二次根式有意义、分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：若代数式有意义，
则5﹣x＞0，x﹣2≥0，
解得2≤x＜5，
故答案为：2≤x＜5．
15．（3分）一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 9 ．
【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意，，
解得n＝9，
经检验n＝9是方程的解．
∴n＝9．
故答案为：9．
16．（3分）化简：＝ ﹣ ．
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝﹣
＝×
＝﹣，
故答案为：．
17．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+8）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若，则k的值为 4 ．
【分析】利用根与系数的关系结合+＝﹣1可得出关于k的方程，解之可得出k的值，由方程的系数结合根的判别式Δ＞0可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+8）x+k2＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2k+8），x1x2＝k2，
∴+＝＝﹣＝﹣1，
解得：k1＝﹣2，k2＝4．
经检查，k1＝﹣2，k2＝4是方程的解；
∵关于x的一元二次方程x2+（2k+8）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+8）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣2，
∴k1＝﹣﹣2舍去．
故答案为：4．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 ．
【分析】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH＝HC＝BC＝3，根据勾股定理求出AH＝＝4，证明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质得出CE＝BC＝6，证明CD∥AH，得到＝，求出CD＝，根据勾股定理求出DE＝＝＝，根据CD∥AH，得到＝，即＝，求出结果即可．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠CED，
∴DB＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴DC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∴EH＝CE+CH＝9，
∴＝，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD∥AH，
∴，
∴，
解得AD＝．
故答案为：．
19．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0）、点B（﹣4，﹣2），O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比2：1把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标为 （﹣8，﹣4）或（8，4） ．
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，按相似比2：1把△ABO放大，点B的坐标为（﹣4，﹣2），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣4×2，﹣2×2）或（﹣4×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（﹣8，﹣4）或（8，4），
故答案为：（﹣8，﹣4）或（8，4）．
20．（3分）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是 45 ．
【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．
【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m＝，
∵2n+1＝2015，n＝1007，
∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，
∵＝989，＝1034，
∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m＝45．
故答案为：45．
21．（3分）某超市从厂家购进A，B两种礼盒，已知A，B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．该超市购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有 3 种进货方案．
【分析】根据A，B两种礼盒的单价比及单价和，可求出A，B两种礼盒的单价，设该超市购进x个A种礼盒，则购进（80﹣x），根据“购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x，80﹣x均为正整数，即可得出共有3种进货方案．
【解答】解：A种礼盒的单价是200×＝80（元），
B种礼盒的单价是200×＝120（元）．
设该超市购进x个A种礼盒，则购进＝（80﹣x），
根据题意得：，
解得：30≤x≤36，
又∵x，80﹣x均为正整数，
∴x可以为30，33，36，
∴共有3种进货方案．
故答案为：3．
22．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝4，点D是AC的中点，点F是边AB上一动点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，若线段A′D交AB于点E，且△BA′E为直角三角形，则BF的长为 6或 ．
【分析】由三角函数得出∠A＝30°，由直角三角形的性质得出AB＝2BC＝8，由折叠的性质得出DA＝DC＝2，FA′＝FA，∠DA′F＝∠A＝30°，设BF＝x，则AF＝8﹣x，FA′＝8﹣x，①当∠BEA′＝90°时，由三角函数得出AE＝3，得出EF＝3﹣（8﹣x）＝x﹣5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可；
②当∠BA'E＝90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′＝BC＝4，求出∠FA'H＝60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝4，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝8，
∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E，
∴DA＝DC＝2，FA′＝FA，∠DA′F＝∠A＝30°，
设BF＝x，则AF＝8﹣x，FA′＝8﹣x，
①当∠BEA′＝90°时，在Rt△ADE中，csA＝，
∴AE＝2×cs30°＝3，
∴EF＝3﹣（8﹣x）＝x﹣5，
在Rt△A'FE中，∵∠FA'E＝30°，
∴FA'＝2FE，即8﹣x＝2（x﹣5），
解得x＝6，即BF＝6；
②当∠BA'E＝90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：
在Rt△BDA'和△BDC中，，
∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL），
∴BA′＝BC＝4，
∵∠BA'F＝∠BA'E+∠FA'E＝90°+30°＝120°，
∴∠FA'H＝60°，
在Rt△FHA'中，A′H＝A′F＝（8﹣x），FH＝A′H＝（8﹣x），
在Rt△BFH中，∵FH2+BH2＝BF2，
∴（8﹣x）2+[（8﹣x）+4]2＝x2，
解得：x＝，即BF＝．
综上所述，BF的长为6或．
故答案为：6或．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23．（7分）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 3﹣π ．
【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则⊙O满足条件；
（2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM＝，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON进行计算．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
24．（8分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
【分析】由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，进而求得，利用EG＝EF+FG即可求解．
【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，
则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30cm，BH＝20cm，
则tan∠EAF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，
∵AF＝11m，
则，
∴EF＝，
∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．
答：树EG的高度约为9.1m．
25．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为B（a，4），过点B作直线l⊥AB．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，求得反比例函数的表达式为y＝；
（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到＝，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，
∴点A的坐标为（0，5），
将点B（a，4）代入y＝﹣x+5得：4＝﹣a+5，
解得：a＝1，
∴B（1，4），
将点B（1，4）代入得：，
解得：k＝4
∴反比例函数的表达式为；
（2）设直线l于y轴交于点M，直线y＝﹣x+5与x轴得交点为N，
令y＝﹣x+5＝0解得：x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
又∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴，
又∵直线l是AB的垂线即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，，
∴M（0，3），
设l：y＝k1x+b1，
将点M，B代入y＝k1x+b1得：，
解得：，
∴y＝x+3，
设点C的坐标是（t，t+3），
∵，
当t＝﹣4时，t+3＝﹣1；
当t＝6时，t+3＝9，
∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：，
解得：或，
∴E（﹣4，﹣1），
又∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，
设直线DE的解析式是：y＝﹣x+b2，
将点E（﹣4，﹣1）代入y＝﹣x+b2得：﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
解得：b2＝﹣5，
∴直线DE的解析式是：y＝﹣x﹣5，
∵点D也在双曲线上，
∴点D是直线DE与双曲线的另一个交点，
将直线DE与双曲线的解析式联立得：，
解得：或，
∴D（﹣1，﹣4），
设直线AD的解析式是：y＝k3x+b3，
将点A（0，5），D（﹣1，﹣4）代入y＝k3x+b3得：，
解得：，
∴直线AD的解析式是：y＝9x+5，
联立得：，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，，
∴．
26．（9分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
【分析】（1）由DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，得∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，又AB＝AC，AO⊥BC，可得∠BAO＝∠DFC，根据∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°有∠EDA＝∠M，故△ADE∽△FMC；
（2）设BC与DF的交点为I，由∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，有△BID∽△FIC，，即，可得△BIF∽△DIC，即得∠IBF＝∠IDC＝90°，从而∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）延长ON交BF于点T，连接DT，DO，由∠FBI＝∠BOA＝90°，知BF∥AO，∠FTN＝∠AON，而N是AF的中点，有AN＝NF，可得△TNF≌△ONA（AAS），从而NT＝NO，FT＝AO，可证FT＝CO，△DFT≌△DCO（SAS），得DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，即可得∠ODT＝∠CDF＝90°，故．
【解答】（1）证明：如图：
∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，
∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：设BC与DF的交点为I，如图：
∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴＝，即，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图：
∵∠FBI＝∠BOA＝90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN＝∠AON．
∵N是AF的中点，
∴AN＝NF，
∵∠TNF＝∠ONA，
∴△TNF≌△ONA（AAS），
∴NT＝NO，FT＝AO，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO＝CO，
∴FT＝CO，
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT＝∠DCO．
∵DF＝DC，
∴△DFT≌△DCO（SAS），
∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF，
∵∠CDF＝90°，
∴∠ODT＝∠CDF＝90°，
∴．
27．（10分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；
（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG•BO；
（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴BC2＝BA•BE，
由（1）知GE＝BE，
∴BE＝BG，
∵AB＝2BO，
∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
解法一：如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2a＝45°．
解法二：
如图，延长FO交AC于点H，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，
∴BC∥FH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AHO＝90°，
∵OA＝OC，
∴AH＝CH，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°．
28．（11分）如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、点B，经过点A，B的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴另一个交点为C，连接BC．平行于x轴的动直线EF从点B开始，以每秒1个单位长度的速度向y轴正方向平移，同时动点P从点A出发，在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点P运动的时间为t秒，是否存在某一时刻，使△APF与△ABC相似？若存在，试求出t值；若不存在，简述你的理由；
（3）点D在直线y＝x﹣4上，横坐标为11，M为x轴上一动点，N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，简述理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）要使△APF与△ABC相似，只需或，即或，即可求解；
（3）当AM为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AN、AM为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A（8，0），B（0，﹣4）．
把点A（8，0），B（0，﹣4）代入，得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为；
（2）存在．
在中，令y＝0，得x＝4或x＝8．
∴C（4，0）．
∵A（8，0），B（0，﹣4），
∴AC＝4，．
根据题意，得BE＝t，AP＝2t．
∵，
∴EF＝2t，，
∴．
∵∠PAF＝∠BAC，
要使△APF与△ABC相似，只需或，
即或，
解得或，
∴当t的值为或，△APF与△ABC相似．
（3）存在．点M的坐标为（13，0）或（5，0），理由：
点D在直线y＝x﹣4上，横坐标为11，则点D（11，1.5），
设点M（x，0），点N（m，n），n＝﹣m2+m﹣4，
当AM为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，
即点M（13，0）或（5，0）；
当AN、AM为对角线时，
同理可得：或且n＝﹣m2+m﹣4，
上述两个方程组无解，
综上，点M（13，0）或（5，0）．