2023-2024学年广东省广州市荔湾区协和学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市荔湾区协和学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在实数﹣5，0.2，，，﹣π，中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣3）所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCED．∠D+∠1+∠3＝180°
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．0的平方根和算术平方根都是0
B．两点之间的所有连线中，线段最短
C．a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
D．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同
6．（3分）把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如图所示，如果∠2＝15°，那么∠1的度数是（ ）
A．75°B．105°C．165°D．65°
7．（3分）如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A．右转80°B．左转80°C．右转100°D．左转100°
8．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将△OAB沿x轴正方向平移个单位长度得到△FDE，若A（0，3），，则四边形ABEG的面积是（ ）
A．B．4C．D．
9．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿MN折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，C′D′交BC于点F，若∠AMD′＝36°，则∠MNC′的度数为（ ）
A．108°B．72°C．144°D．126°
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2023个点的坐标为（ ）
A．（44，1）B．（44，2）C．（45，2）D．（45，3）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，则a＝ ．
12．（3分）把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ，它是 命题．（填“真”或“假”）
13．（3分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠1＝135°，则∠C的度数为 ．
14．（3分）平面直角坐标系内AB∥x轴，AB＝5，点A的坐标为（2，﹣3），则点B的坐标为 ．
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则2a﹣4b的算术平方根是 ．
16．（3分）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（4分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）．
19．（6分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的邻补角为 ；
（2）若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠AOE的度数．
20．（6分）列方程解答下面问题．
小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．
（1）求长方形的长和宽；
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4，面积为520cm2的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．
21．（8分）如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2＝35°．
（1）求∠GFC的度数；
（2）求证：DM∥BC．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，5），B（﹣3，3），C（1，2），三角形经过平移后得到三角形A1B1C1，点A的对应点为A1（4，3）．
（1）直接写出点B1，C1的坐标；
（2）画出△ABC平移后得到的△A1B1C1；
（3）求△ABC面积；
（4）在y轴上是否存在一点P，使△AOP的面积等于△ABC面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）自疫情防控政策优化后，货物运输方便快捷多了．某物流公司用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金150元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
24．（12分）已知AB∥CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），且（a﹣6）2+＝0，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点．
（1）求C点的坐标；
（2）P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中P从C出发，在线段CB，BO上以2个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段BO向O点运动，到O点Q停止运动．设运动时间为t秒，当点P在线段BO上运动时，t取何值，P，Q，C三点构成的三角形面积为1？
（3）如图2，连接AB，点M（m，n）在线段AB上，且m，n满足|m﹣n|＝10，点N在y轴负半轴上，连接MN交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为S1，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为S2，若S1＝S2，求N点的坐标．
2023-2024学年广东省广州市荔湾区协和学校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。
1．（3分）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角定义可得答案．
【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）在实数﹣5，0.2，，，﹣π，中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数判断即可．
【解答】解：在实数﹣5，0.2，，，﹣π，中，无理数的有，﹣π，这3个，
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣3）所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答．
【解答】解：∵P（3，﹣3），点的横坐标3＞0，纵坐标﹣3＜0，
∴这个点在第四象限．
故选：D．
4．（3分）如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCED．∠D+∠1+∠3＝180°
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故选项A能判定AB∥CD；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，故选项B不能判定；
∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，故选项C能判定；
∵∠D+∠1+∠3＝180°，即∠D+∠DAB＝180°，
∴AB∥CD，故选项D能判定．
故选：B．
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．0的平方根和算术平方根都是0
B．两点之间的所有连线中，线段最短
C．a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
D．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同
【分析】根据平方根、算术平方根的定义判断A即可；由线段公里判断B即可；垂直于同一条直线的两条直线平行判断出C错误；由坐标系的点的坐标的特点判断D即可．
【解答】解：A、0的平方根和算术平方根都是0，结论正确，故不符题意；
B、两点之间的所有连线中，线段最短，结论正确，故不符题意；
C、在平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以选项C错误，故符合题意；
D、平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同，结论正确，故不符题意；
故选：C．
6．（3分）把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如图所示，如果∠2＝15°，那么∠1的度数是（ ）
A．75°B．105°C．165°D．65°
【分析】由条件求出∠ABC的度数，由三角形内接和定理求出∠ACB，由平行线的性质即可求出∠1．
【解答】解：
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DBA＝∠DAB＝45°，
∵∠ABC＝∠DBA﹣∠2，∠2＝15°，
∴∠ABC＝45°﹣15°＝30°，
∵∠ACB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABC，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∵BC∥AE，
∴∠1＝∠ACB＝105°．
故选：B．
7．（3分）如图，小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A．右转80°B．左转80°C．右转100°D．左转100°
【分析】本题考查了方向角有关的知识，若需要和出发时的方向一致，在C点的方向应调整为向右80度．
【解答】解：60°+20°＝80°．
由北偏西20°转向北偏东60°，需要向右转．
故选：A．
8．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将△OAB沿x轴正方向平移个单位长度得到△FDE，若A（0，3），，则四边形ABEG的面积是（ ）
A．B．4C．D．
【分析】根据四边形ABEG的面积等于梯形GOFD的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵A（0，3），，
∴OA＝3，OG＝1，
根据平移可得四边形ABEG的面积等于梯形GOFD的面积，OF＝，DF＝OA＝3，
∴四边形ABEG的面积是（1+3）××＝．
故选：C．
9．（3分）如图，把一张长方形纸片ABCD沿MN折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，C′D′交BC于点F，若∠AMD′＝36°，则∠MNC′的度数为（ ）
A．108°B．72°C．144°D．126°
【分析】先根据平角的定义求出∠D′MD，然后根据折叠的性质求出∠D′MN，再根据平行线的性质求出∠MNC′即可．
【解答】解：∵∠AMD′＝36°，
∴∠D′MD＝144°，
∴∠D′MN＝∠D′MD＝72°，
∵D′M∥C′N，
∴∠D′MN+∠MNC′＝180°，
∴∠MNC′＝180°﹣72°＝108°．
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2023个点的坐标为（ ）
A．（44，1）B．（44，2）C．（45，2）D．（45，3）
【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在x轴上，为偶数时，从x轴上的点开始排列，求出与2023最接近的平方数为2025，然后写出第2023个点的坐标即可．
【解答】解：从正方形的观点考虑，∵452＝2025，
∴第2023个点是横坐标45时，从x轴上的点开始，倒数第2025﹣2023＝2个点，
∴第2023个点的坐标为（45，2）．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，则a＝ 2 ．
【分析】根据在y轴上的点横坐标为0进行求解即可．
【解答】解：∵点A（2﹣a，﹣3a+1）在y轴上，
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
12．（3分）把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果有两个角是同位角，那么这两个角相等 ，它是 假 命题．（填“真”或“假”）
【分析】命题可以写成“如果…那么…”的形式，“如果”的后接部分是题设，“那么”的后接部分是结论．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，能推出结论的即真命题，反之就是假命题．
【解答】解：把命题“同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式是“如果有两个角是同位角，那么这两个角相等”，它是假命题．
故空中填：如果有两个角是同位角，那么这两个角相等，假．
13．（3分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠1＝135°，则∠C的度数为 45° ．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠1＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45°．
14．（3分）平面直角坐标系内AB∥x轴，AB＝5，点A的坐标为（2，﹣3），则点B的坐标为 （﹣3，﹣3）或（7，﹣3） ．
【分析】根据平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解．
【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（2，﹣3），
∴点B的横坐标为﹣3，
∵AB＝5，
∴点B在点A的左边时，横坐标为2﹣5＝﹣3，
点B在点A的右边时，横坐标为2+5＝7，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣3）或（7，﹣3）．
故答案为：（﹣3，﹣3）或（7，﹣3）．
15．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则2a﹣4b的算术平方根是 2 ．
【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，确定出2a﹣4b的值，即可求出算术平方根．
【解答】解：把代入方程组得：，
①+②得：3a＝4，
解得：a＝，
把a＝代入②得：b＝﹣，
∴2a﹣4b＝+＝4，4的算术平方根是2，
故答案为：2
16．（3分）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 π﹣1或﹣π﹣1 ．
【分析】先求出圆的周长为π，从A滚动先向右运动再向左运动，运动的路程为圆的周长，需要分类讨论．
【解答】解：C圆＝πd＝π，
向右滚动：设B点坐标为x，
x﹣（﹣1）＝π，
x＝π﹣1，
∴B点表示的数为：π﹣1．
向左运动：﹣1﹣x＝π，
x＝﹣π﹣1，
∴B点表示的数为：﹣π﹣1．
∴B点表示数为π﹣1或﹣π﹣1．
故答案为：π﹣1或﹣π﹣1．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（4分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）根据实数的混合计算法则求解即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝5．
18．（6分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）．
【分析】（1）根据平方根的含义和求法，求出x﹣1的值，进而求出x的值即可；
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝﹣3或x﹣1＝3，
解得x1＝﹣2或x2＝4．
（2），
①×2+②×5，可得9x＝2，
解得x＝，
把x＝代入②，可得：﹣2y＝0，
解得y＝，
∴原方程组的解是．
19．（6分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；
（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ∠BOD ，∠BOE的邻补角为 ∠AOE ；
（2）若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠AOE的度数．
【分析】（1）利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；
故答案为：∠BOD，∠AOE；
（2）∵∠DOB＝∠AOC＝70°，∠DOB＝∠BOE+∠EOD，∠BOE：∠EOD＝2：3，
∴，
∴，
∴∠BOE＝28°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝152°．
20．（6分）列方程解答下面问题．
小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．
（1）求长方形的长和宽；
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5：4，面积为520cm2的新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．
【分析】（1）设长方形的宽AB为x cm，长BC为（10+x）cm，根据长方形的周长是100cm，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值即可解决问题；
（2）设新长方形纸片的长为5a（a＞0）cm，则宽为4a cm，根据新纸片的面积，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得知a值，再由4a＝4＞20，即可得出小丽不能成功．
【解答】解：（1）设AB＝x cm，则BC＝（10+x）cm，
依题意有：2[x+（10+x）]＝100，
∴x＝20，
答：长方形的长为30cm，宽为20cm．
（2）设新长方形的长为5a cm，宽为4a cm，
则5a×4a＝520，
∴，
即新长方形的长为cm，宽为cm，
∵26＞25，
∴＞5即＞20，
故小丽不能成功．
答：小丽不能用这块长方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
21．（8分）如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2＝35°．
（1）求∠GFC的度数；
（2）求证：DM∥BC．
【分析】（1）由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠EFG＝∠1＝35°，再根据角的和差关系可求∠GFC的度数；
（2）根据平行线的性质得到∠2＝∠CBD，等量代换得到∠1＝∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠EFG＝∠1，
∵∠1＝∠2＝35°，
∴∠EFG＝35°，
∴∠GFC＝∠EFC+∠EFG＝90°+35°＝125°；
（2）∵BD∥EF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CBD，
∴GF∥BC，
∵∠AMD＝∠AGF，
∴MD∥GF，
∴DM∥BC．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，5），B（﹣3，3），C（1，2），三角形经过平移后得到三角形A1B1C1，点A的对应点为A1（4，3）．
（1）直接写出点B1，C1的坐标；
（2）画出△ABC平移后得到的△A1B1C1；
（3）求△ABC面积；
（4）在y轴上是否存在一点P，使△AOP的面积等于△ABC面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据A，A1两点坐标，即可得到结论．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）设P（0，m）．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，5），A1（4，3）．
∴三角形ABC向右平移了6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形A1B1C1，
∵B（﹣3，3），C（1，2），
∴点B1（3，1），C1（7，0）；
（2）如图所示△A1B1C1即为所求；
（3）△ABC面积＝3×4﹣×2×1﹣×3×3﹣×4×1＝；
（4）存在，设P（0，m）．
由题意，×|m|×2＝×，
解得m＝±，
∴P（0，）或（0，﹣）．
23．（10分）自疫情防控政策优化后，货物运输方便快捷多了．某物流公司用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金150元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）根据2辆A型车和1辆B型车装满货物＝10吨；1辆A型车和2辆B型车装满货物＝11吨，列出方程组即可解决问题．
（2）由题意得到3a+4b＝31，根据a、b均为正整数，即可求出a、b的值．
（3）求出每种方案下的租金数，经比较、分析，即可解决问题．
【解答】解：（1）设A型车1辆运x吨，B型车1辆运y吨，
由题意得，
解得，
∴1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨；
（2）由题意和（1）得：3a+4b＝31，
a＝，
∵a、b均为正整数，
∴a＝9，b＝1；a＝5，b＝4；a＝1，b＝7，
∴共有三种租车方案：
①租A型车9辆，B型车1辆，
②租A型车5辆，B型车4辆，
③租A型车1辆，B型车7辆；
（3）方案①的租金为：9×100+1×150＝1050（元）；
方案②的租金为：5×100+4×150＝1100（元）；
方案③的租金为：1×100+7×150＝1150（元）；
∵1050＜1100＜1150，
∴最省钱的租车方案为方案①，租车费用为1050元．
24．（12分）已知AB∥CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点F作FE∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求∠BFD的度数；
②如图3，过点F作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出∠BFD的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；
（2）①如图2，过点F作FE∥AB，
有∠BFE＝∠FBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠EFD＝∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD＝∠FBA+∠FDC．
即∠BFD＝∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA＝∠ABC＝25°，∠FDC＝∠ADC＝30°，
∴∠BFD＝∠FBA+∠FDC＝55°．
答：∠BFD的度数为55°；
②如图3，过点F作FE∥AB，
有∠BFE+∠FBA＝180°．
∴∠BFE＝180°﹣∠FBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠EFD＝∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD＝180°﹣∠FBA+∠FDC．
即∠BFD＝180°﹣∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FBA＝∠ABC＝α，∠FDC＝∠ADC＝β，
∴∠BFD＝180°﹣∠FBA+∠FDC＝180°﹣α+β．
答：∠BFD的度数为180°﹣α+β．
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），且（a﹣6）2+＝0，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点．
（1）求C点的坐标；
（2）P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中P从C出发，在线段CB，BO上以2个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段BO向O点运动，到O点Q停止运动．设运动时间为t秒，当点P在线段BO上运动时，t取何值，P，Q，C三点构成的三角形面积为1？
（3）如图2，连接AB，点M（m，n）在线段AB上，且m，n满足|m﹣n|＝10，点N在y轴负半轴上，连接MN交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为S1，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为S2，若S1＝S2，求N点的坐标．
【分析】（1）由平方和算术平方根非负性，求得a，b的值，进而求得C点坐标；
（2）由三角形面积公式，求得PQ的长，分为当点P在Q的左边和点P在Q的右侧两种情形，进一步求得结果；
（3）由S△BMK＝S△KON得出S△AOB＝S△MNA，进而列出关于n的方程，求得n的值，进而求得N点坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
a＝6，b＝﹣12，
∴C（﹣12，6）；
（2）由PQ•BC＝1得，
＝1，
∴PQ＝，
当t﹣（2t﹣6）＝时，
t＝，
当（2t﹣6）﹣t＝时，
t＝，
综上所述：t＝或；
（3）设点N（0，n），
∵B（﹣12，0）A（0，6），
∴直线AB的解析式是：y＝x+6，
∴n＝m+6，
∵|m﹣n|＝10，
∴|m﹣（）|＝10，
∴m1＝﹣8，m2＝32（舍去），
当m＝﹣8时，y＝＝2，
∵S1＝S2，
∴S△AOB＝S△AMN，
∴＝hAN，
∴12×6＝8•（6﹣n），
n＝﹣3
∴N（0，﹣3）．