广东省清远市英德市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字旁边的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 航天神舟B. 中国行星探测
C. 中国火箭D. 中国探月
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
2. 下面各数中，是不等式的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意；
故选：D．
3. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ）
A. 35°B. 55°C. 65°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得答案．
【详解】解： ，，，

故选B
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的性质”是解本题的关键．
4. 公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了列不等式．根据最高限速标志牌的意义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是．
故选：B
5. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）

A. 9B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点到的距离为4．
故选D
6. 如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据此性质得，即可求解．
【详解】解：∵直线为线段的垂直平分线，且，，
∴；
故选：B．
7. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．
8. 如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A. 点A与点是对称点B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性质一一判断即可．
【详解】解：与关于点成中心对称，
点与点是对称点，，，
，，正确，
故选：D．
9. 如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质．根据一次函数的性质得出随的增大而增大，当时，，即可求出答案．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大，
当时，，即，
不等式的解为．
故选：B．
10. 如图，、是网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为，以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理的应用，分两种情况：①，②，找出符合的点即可．掌握网格结构的特点是解题的关键．
【详解】解：∵网格中的每个小正方形边长都为，
∴，
当时，得：
，，，，，的长都是：，
∴以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有个；
当时，得：
，，，，，的长都是：，
∴以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有个；
综上所述，以、、为顶点的三角形是等腰三角形的格点的位置有个．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. “与4的和是正数”，用不等式表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式．根据正数大于0列出不等式即可．
【详解】解：根据题意得：用不等式表示为．
故答案为：
12. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．
【详解】根据题意，从点A平移到点，横坐标是，
故点的坐标是
故答案为：．
13. 如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与重合，那么这一旋转的旋转角等于__________度．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了旋转的相关概念，要求学生能找出旋转过程中的旋转中心和旋转角等，对学生的空间想象能力有一定的考查，涉及到了数形结合的思想，利用旋转的性质，进行求解即可．
【详解】解：由旋转中，点的对应点为它本身，因此可以判定旋转中心是点；
又，，
∴，
∵点D斜边上
∴旋转角为．
故答案为：40．
14. 如图，在中，，，是腰上的高，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质．由，，可知，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：，，
，
，
又是腰上的高，即，
，
故答案为：．
15. 如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为的值，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
17. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，求的度数.
【答案】.
【解析】
【分析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答．
【详解】解：∵，，
∴.
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
18. 请补充完成以下证明过程：
如图，已知在等边三角形中，D、E分别是上的点，且．
求证：．
证明：
为等边三角形，（已知）
，（ ）
（ ）
（已知）
（ ）
．（ ）
【答案】等边三角形的性质，等边三角形的性质，，全等三角形的性质
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】证明：
为等边三角形，（已知）
，（等边三角形的性质）
（等边三角形的性质）
（已知）
（）
．（全等三角形的性质）
故答案为：等边三角形的性质，等边三角形的性质，，全等三角形的性质．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 小明､小华､小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组．
小明：它的所有解为非负数；
小华：其中一个不等式的解集为；
小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向．
请你试着写出符合上述条件不等式组，并解这个不等式组．
【答案】这样的不等式组很多，如或其解集为
【解析】
【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可．
【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数，
∴其中一个不等式的解集必为，
∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，
∴其中一个不等式中的系数为负数，
∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）．
解不等式①，得：，
结合不等式②的解集知．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质，此题属开放性题目，答案不唯一．
20. 如图，已知村庄A，B分别在道路、上．
（1）尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）作图的基础上，连接、，过D作，，垂足分别为点E和点F，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查基本作图（线段的垂直平分线、角平分线）以及它们的性质．
（1）根据要求分别作出的角平分线和线段的垂直平分线即可，
（2）根据线段垂直平分线性质可得，角平分线的性质可得，进而证明，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示：是的角平分线，是线段的垂直平分线，与交于点D；
【小问2详解】
证明：如图，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
又∵是的角平分线，，，
∴，
∴
∴
21. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形．
（1）写出各顶点的坐标；
（2）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，写出，的坐标．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）过B作于C，根据三线合一可得，再根据勾股定理求出的长度，即可得出点B的坐标；
（2）先根据图象，画出图形，可得与B重合，求出点的坐标即可．
【小问1详解】
如图1，过B作于C，
∵是等边三角形，且，
∴，
由勾股定理得：，
∴；
【小问2详解】
如图2，∵，
∴与B重合，
∴，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换、等边三角形性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是关键，并注意点所在象限的符号问题．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 小高和小新兄弟俩进行100米赛跑，哥哥小高先让弟弟小新跑12米，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑4米，哥哥每秒跑5米．
（1）分别列出小高、小新赛跑时所跑的距离s1、s2与弟弟赛跑时间t的函数关系式，并画出函数图象．
（2）何时弟弟跑在哥哥的前面？
（3）谁先跑过50米？谁先到达终点？
【答案】（1）s1＝5t−15，s2＝4t；图见解析
（2）当t＜15时，弟弟跑在哥哥的前面
（3）小新先跑过50米，小高先到达终点．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以分别写出s1、s2与t的函数关系式，并画出函数图象；
（2）由弟弟跑在哥哥的前面，可得s2＞s1，从而可以解答本题
（3）根据s1、s2与t的函数关系式，即可解答本题．
【小问1详解】
解：由题意可得，
s1＝5（t−）＝5t−15，
s2＝4t，
即s1、s2与t的函数关系式分别是：s1＝5t−15，s2＝4t；
函数图象如图：
【小问2详解】
4t＞5t−15，
解得，t＜15，
答：当t＜15时，弟弟跑在哥哥的前面．
【小问3详解】
s1＝5t−15＝50，解得t＝13，
s2＝4t＝50，解得t＝12.5，
12.5＜13，
∴小新先跑过50米，
s1＝5t−15＝100，解得t＝23，
s2＝4t＝100，解得t＝25，
23＜25，
∴小高先到达终点．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
23. 在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
（1）如图1，当时，则______°；
（2）当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
【答案】（1）100；
（2）①时等边三角形，证明见解析；
②．证明见解析．
【解析】
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【小问1详解】
解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
小问2详解】
解：①结论：时等边三角形．
理由：∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时等边三角形；
②结论：．
理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，，．
∵
则，点在的延长线上时，的值最大，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．