河北省唐山市滦南县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试题满分120分， 考试时间90分钟
一、选择题（每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请将正确答案的序号填写在答题表中，每小题3分，共48分）
1. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
2. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入，解出的值，即可作答．
【详解】解：依题意，把代入，
∴，
解得，
故选：A．
3. 泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A. 同角的余角相等；B. 同角的补角相等；
C. 等角的余角相等；D. 等角的补角相等．
【答案】B
【解析】
【分析】如图：先画出图形，然后再根据邻补角的性质、等量代换、同角的补角相等即可解答．
【详解】解：如图：∵，
∴（同角的补角相等）．
故选B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质、邻补角的性质等知识点，根据题意正确画出图形是解答本题的关键．
4. 若成立，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 可得，从而可得答案．
【详解】解：


故选：D．
【点睛】本题考查零次幂的含义，掌握零指数幂底数不等于0，是解题的关键．
5. 如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
6. 关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A. 3x﹣x﹣5＝8B. 3x+x﹣5＝8C. 3x+x+5＝8D. 3x﹣x+5＝8
【答案】A
【解析】
【分析】把①代入②，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②得：.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组得解法——代入消元法，加减消元法是解题的关键．
7. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 同位角相等，两直线平行
C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D. 平行于同一条直线两条直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可．
【详解】解：因为，
∴．
所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
故选：C．
【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键．
8. 已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】将表格中的数据带入方程列出关系式，计算即可求出p的值．．
【详解】根据题意得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键．
9. 对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．命题的“真”与“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【详解】解：A、当，时，
满足，也满足，故不符合题意；
B、，，不满足条件，也不满足结论，故不符合题意；
C、，，不满足条件，也不满足结论，故不符合题意；
D、当时，满足条件，不满足结论，故符合题意；
故选D．
10. 下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等或同位角相等或同旁内角互补等都可以证明两直线平行，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、是对顶角，无法证明两直线平行，故该选项是错误的；
B、不是内错角，同位角，同旁内角等关系，无法证明两直线平行，故该选项是错误的；
C、结合图形，证明，但无法证明，故该选项是错误的；
D、结合图形，证明，故该选项是正确的；
故选：D．
11. 已知，，那么a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查乘方，零指数幂和负整指数幂的运算，掌握相关运算法则是解题关键．
根据幂的运算法则计算出a，b，c的值即可求解．
【详解】，，
，
故选：B．
12. 如图，直线，则直线a，b之间的距离是（ ）
A. 线段AB的长度B. 线段CD的长度C. 线段AD的长度D. 线段CE的长度
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据平行线间的距离的定义解答即可．
【详解】解：∵直线a//b，CD⊥b，
∴线段CD的长度是直线a，b之间距离．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离，掌握平行线间的距离的定义成为解答本题的关键．
13. 在解二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则和满足下列条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据加减消元法，即可求解．
【详解】解：①②得，
∵①②可直接消去未知数，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键．
14. 如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则的度数为（ ）
A. 63°B. 54°C. 72°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据长方形的性质可得AB//CD，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠3的度数，然后根据折叠的性质列等式即可求出．
【详解】如图，由长方形的性质得：AB//CD
∴∠1+∠3=180°
∵∠1=126°
∴∠3=180°−∠1=54°
由折叠的性质得：2∠2+∠3=180°，即2∠2+54°=180°
解得∠2=63°
故选：A
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，掌握理解折叠的性质是解题关键．
15. 2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进个玩偶，个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，利用总价单价数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，
∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，
∴；
∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，
∴．
根据题意可列出方程组．
故选：C．
16. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）

A. 128B. 64C. 32D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
二、填空题（17-18每小题4分，19-20每小题3分，共14分）
17. 如图，用一个钉子（点）将两根木条，钉在一起，已知．
（1）的度数为______；
（2）调整的大小，使，则图中的的度数减少______．
【答案】 ①. 120°##120度 ②. 75°##75度
【解析】
【分析】（1）根据邻补角的定义可知，又因为，可求得；
（2）由图可知与为对顶角，即，可知的度数减少为：120°-45°=75°．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
故答案 ：120°；
（2）∵与为对顶角，
∴，
∴的度数减少：120°-45°=75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查的是相交线中的领补角及对顶角的应用，数形结合是解题的关键．
18. 已知二元一次方程组的解是
（1）的值为______；
（2）的值为______．
【答案】 ①. 1 ②. 2
【解析】
【分析】将y=1代入方程组求得：x=1，将x=1代入①得：m=2．
【详解】解：将y=1代入方程组得：，
①+②得：4x=4，
解得：x=1，
将x=1代入①得：m=2，
故答案为：1；2．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，考查重点为：利用适当的方法解方程组．
19. 如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，礼盒的单价是__________元．
【答案】5
【解析】
【分析】首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒=143元；②买了2束花+1个礼盒=121元，根据等量关系列出方程组，求解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒多少元．
【详解】解：设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，依题意得：

解得：
所以礼盒的单价是5元．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂图中的信息，根据图给出的条件，找出等量关系，列出方程组．
20. 如图所示，是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点O作OP∥AB，则AB∥OP∥CD．所以根据平行线的性质将（∠1+∠2）转化为（∠AOP+∠POC）来解答即可．
【详解】解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1=∠AOP．
∵AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠2=∠POC，
∵刀柄外形是一个直角梯形，
∴∠AOP+∠POC=90°，
∴∠1+∠2=90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．平行线性质定理：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．
三、解答题（本题含6道小题，共58分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 解方程组，下面是两同学的解答过程：
小敏：解：把方程变形为，
再将代入方程①得…．
小川：解：将方程的两边乘以3得，再将两个方程相加，得到…．
（1）小敏的解法依据是________，运用的方法是________；
小川的解法依据是________，运用的方法是________；
①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．
（2）请直接写出原方程组的解．
【答案】（1）②、④；②、⑤
（2）
【解析】
【分析】本题考查了代入法和加减法消元解二元一次方程组．
（1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入法消元解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；
小川的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；
故答案为：②、④；②、⑤；
【小问2详解】
解：把方程变形为，
再将代入方程①得，
解得，
将代入，得，
∴方程组的解为．
22 （1）计算：
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）8
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答．
（2）先整理，再代入，，即可作答．
（3）先整理以及，再把代入，进行运算，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）；
（3）∵
∴
．
23. 完成下面推理填空：
如图，、分别在和上，，与互余，于，求证：．
证明：∵
∴（ ）
∵（已知）
∴____________（ ）
∴（ ）
∵（平角的定义）
∴．
∵与互余（已知），
∴（同角的余角相等）
∴（ ）
【答案】垂直的定义；、；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成推理填空．
【详解】证明：∵
∴（垂直的定义）
∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义）
∴．
∵与互余（已知），
∴（同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直的定义；、；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
24. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．
小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组．
小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值．
（1）按照小云的方法，求出的值；
（2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立①③，可得出关于，的二元一次方程组，运用加减消元法，解之即可得出，的值；
（2）利用，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组．
【小问1详解】
解：联立①③得：，
由整理得，解得
将代入③得：，
解得：，
原方程组的解为．
【小问2详解】
解：，
得：
则，
∵
∴
则，
．
25. 某校准备购进21套桌椅来筹建一间多功能数学实验室，现有两种桌椅可供选择：甲类桌椅是三角形桌，每桌可坐3人，乙类桌椅是五边形桌，每桌可坐5人，学校分两次进行采购，第一次采购甲、乙桌椅均是原价．第二次采购时，甲因原材料上涨提价了，乙因促销活动恰好降价两次采购的数量和费用如下表：
（1）求第一次购买时，甲、乙类桌椅每套的购买价格．
（2）若该校每班有学生42人，问：该多功能数学实验室最多能同时容纳几个班级开活动？
（3）某班42位同学需使用该实验实，为了合理分配学习资源，管理员规定每套桌椅必须坐满，且桌子的使用数量尽量少，请你设计人员分配方案．
【答案】（1）第一次购买时，甲类套装为150元，乙类套装为210元；（2）最多可容纳2个班；（3）使用4张甲类桌椅，6张乙类桌椅．
【解析】
【分析】（1）设第一次购买时，甲类桌椅每套的购买价格为x元，乙类桌椅每套的购买价格为y元，根据图表和题设可以列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
（2）根据两次采购的甲乙两类座椅的数量，结合每桌可坐的人数，列式计算出可容纳的总人数，结合每班42个学生，从而求得答案，
（3）为满足桌子的使用数量尽量少，应尽量多用乙类桌子，结合每套桌椅必须坐满，分类讨论即可．
【详解】解：（1）设第一次购买时，甲类套装为元，乙类套装为元，
由题意，可得，
解得，
答：第一次购买时，甲类套装为150元，乙类套装为210元．
（2）方法一：甲类桌椅共9套，共坐人．
乙类桌椅共12套，共坐人．
∴可坐人数：
答：最多可容纳2个班．
方法二：由题意得：甲类桌椅两次采购了9套，乙类采购了12套，
可容纳的总人数为（人），
．
（3）方法一：设使用了甲桌椅套，乙类桌椅套．
由题意，可得，
，为整数，
可得，，
又因为桌子使用数尽量少，所以使用4张甲类桌椅．6张乙类桌椅．
方法二：若使用8张乙类桌子，则剩2名学生，甲类桌子坐不满，不合题意，
若使用7张乙类桌子，则剩7名学生，甲类桌子坐不满，不合题意，
若使用6张乙类桌子，则剩12名学生，甲类桌子正好坐满4张，符合题意，
答：应使用4张甲类桌子，6张乙类桌子．
【点睛】本题考查二元一次方程组应用，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
26. 如图，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．

（1）如图2，现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，请直接写出 ， （结果用含的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，若恰好是的倍，求的值．
（3）如图1三角板的放置，现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）12或48．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，再求出，最后根据邻补角互补求出对应角的度数即可；
（2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解；
（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．
【小问1详解】
，，
，，
，，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
恰好是的倍，
，
解得，
的值是；
【小问3详解】
存在，理由如下：
如图：则，，

，
，
，
解得；
如图：

，
，
，
解得，
综上所述，的值为12或48．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角板中交点的特点，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
x
m
y
n
t
5
p
购买甲类桌椅（套）
购买乙类桌椅（套）
购买总费用（元）
第一次采购
6
5
1950
第二次采购
3
7
1716