湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高一下学期5月期中测试数学试题（原卷版+解析版）

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时量：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A B.
C. D.
3. 如图所示，中，点D是线段中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，且，则的值是
A. 14B. 13C. 12D. 11
6. 已知向量，若，则实数m的值为（ ）
A. B. ﹣4C. 4D.
7. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
8. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为
C. 过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的范围为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图所示，是半圆直径，垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B 平面平面
C. 与所成的角为
D. 平面
10. 点O为所在平面内一点，则（ ）
A. 若，则点O为的重心
B. 若，则点O为的内心
C. 若，则点O为的垂心
D. 在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
11. 已知，定义域和值域均为的函数和的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（ ）
A. 方程有且仅有三个解B. 方程有且仅有二个解
C. 方程有且仅有五个解D. 方程有且仅有一个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为__________.
13. 如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为_____________.
14. 已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，且，
（1）求的值：
（2）求与的夹角.
16. 如图，如图，在四棱锥中，底面平行四边形，，，且底面．
（1）证明：平面；
（2）求到平面的距离．
17. 已知中，内角，，的对边分别为，，.
（1）若且，求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，，求面积的取值范围.
18. 如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
19. 已知.
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
（3）已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，求的值.