四川省德阳市2022届高三下学期教学质量监测文科数学试题（原卷版+解析版）

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1.本试卷分第I卷和第II卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷､草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分，120分钟完卷.
第I卷（选择题共60分）
一､选择题（本大题共12个小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是付合题目要求的.）
1. 已知集合，集合，则的子集个数是（ ）
A. 8B. 7C. 4D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据并运算可得，即可根据子集个数公式求解.
【详解】,所以子集个数为，
故选：A
2. 如图茎叶图中，样本数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 84，84B. 84，86C. 84，85D. 86，84
【答案】C
【解析】
【分析】将数据按升序排列，结合众数、中位数的概念分析求解.
【详解】根据题意将样本数据按升序排列得：79，84，84，84，86，87，93，95，
显然84出现次数最多，所以众数为84；
且有8个数据，所以中位数为84，86的平均数85.
故选：C.
3. 在上随机取一个数，则事件“”发生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得的解，由几何概率的公式求解即可.
【详解】由，
所以，所以，
所求概率为：.
故选：C.
4. 已知回归直线的倾斜角为，样本点的中心为，则回归直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出回归直线斜率可排除A，C；再将代入可判断B，D.
【详解】因为回归直线的倾斜角为，
所以，故A，C不正确；
又因为样本点的中心为，
将代入和可知，B正确，D错误.
故选：B.
5. 双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定即可得双曲线方程.
【详解】双曲线的焦点坐标是和可得，
实轴长是2可得，
所以，
所以方程是.
故选：B.
6. 过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案.
【详解】由圆可知，，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
故以为直径的圆的方程为，
故选：D
7. 已知向量，则向量与夹角的大小等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.
【详解】向量，则，
而，则，
所以向量与夹角的大小等于.
故选：C
8. 函数有两个零点的充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出a的取值范围，结合选项判断哪个选项对应集合为其真子集，即可确定答案.
【详解】函数有两个零点，则有2个不等实数根，
即或，
由于，
故为函数有两个零点的充分不必要条件，
显然，均不能推出或，不符合题意；
或是函数有两个零点的充分必要条件，
故选：A
9. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，则该“阳马”的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图画出原图，然后确定球心位置，求出半径，进而可得表面积.
【详解】由三视图知该几何是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图：
其中，
因为面，且面，
所以，又，，面，
所以面，又面，
所以，同理，
故四棱锥的四个侧面均为直角三角形，
取线段的中点，根据直角三角形的性质得，
即点为该“阳马”外接球球心，
半径为，
所以外接球的表面积是.
故选：A.
10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合辅助角公式可得，进而可得，由三角函数的性质可得，化简即可得解.
【详解】设，
向左平移m个单位长度得，
∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴，
∴,
由可得m的最小值为.
故选：D.
11. 下列命题中是真命题的个数是（ ）
①命题“”的否定是“”
②设是向量，命题“若，则”的逆命题是真命题
③命题是奇函数；命题的最小值是2，则是真命题
④若直线平面，平面平面，则
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可判断①；逆命题“若，则”，向量的模相等，向量不一定相等，还有方向，可判断②；先判断命题与的真假，在判断的真假，可判断③；直线可能平行平面，也可在平面内，可判断④.
【详解】在①中，命题“”的否定是“”，即①错误；
在②中，命题“若，则”的逆命题为“若，则”，
若，只能说明与的模长相等，方向不知，是假命题，即②错误；
在③中，对于命题：，
定义域为，关于原点对称，
且，
所以为奇函数，命题为真命题；
对于命题：当时，
当时，
所以没有最小值，所以命题为假命题，则为真命题，
所以是真命题，即③正确；
在④中，若直线平面，平面平面，则或平面，即④错误；
故只有③是真命题.
故选：B.
12. 设直线过双曲线的右顶点A，且与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为与轴交于点.则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件设直线方程，进而求出，然后点到直线的距离公式求出，根据向量关系列出方程求解即可
【详解】因为双曲线，则右顶点，
一条渐近线为，
直线l与渐近线垂直，则l的斜率为
又直线l过点A，所以设直线l的方程为，
当时，，即，
根据点到直线的距离公式，得点A到渐近线的距离即，
点Q到渐近线的距离即，
又，所以，即，
又，所以，
故选：C
第II卷（非选择题共90分）
二､填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）
13. 函数，若，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】讨论a的取值范围，结合列式求解，即得答案.
【详解】若，则由得，此时无解；
若，则由得，符合题意，
故答案为：
14. 学校为了调查学生在消费项目上的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为100的样本，样本数据均属于，将其分为四组，其频率分布直方图如图所示，请估计该校学生在消费项目上支出的平均值是__________元.
【答案】44
【解析】
【分析】求出这一组频率，再根据平均数的估计方法，即可求得答案.
【详解】由题意可求这一组的频率为，
估计该校学生在消费项目上支出的平均值是，
故答案为：44
15. 正四面体中，、分别是和中点，则和所成角的大小是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】构造辅助线，利用中位线定理得到是和所成角，然后结合向量数量积的变形即可求解.
【详解】取中点，连接，令棱长为，
因为、分别是和的中点，
所以，，，，
所以是和所成角，
又，
，
，
所以 ，
，，
所以，
所以，即和所成角的大小为.

故答案为：
16. 抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线定义确定，结合已知条件有，由此解出点坐标，即可求解.
【详解】
因为，所以，抛物线的准线方程为，
设垂直于准线，垂足为，则，，
又因为，所以，又，
所以，所以，所以点横坐标为，
代入，则，，所以，
所以.
故答案为：
三､解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 某学校进行了垃圾分类知识普及的系列培训讲座及实践活动，现对高二学生进行综合检测，从中按比例抽取了30名学生的成绩，其频率分布表如图所示.
（1）求和，并估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率（分数在为合格），若合格率低于，将增加培训的次数，请根据抽样结果分析并判断是否增加培训次数.
（2）从样本中成绩在的学生中随机选2人，求恰有2人成绩位于的概率.
【答案】（1），合格率为，不需要增加培训的次数
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频数、频率之间的关系即可求得；由频率分布表可计算合格率，即可得结论；
（2）列举出随机选2人所有可能的情况，再确定恰有2人成绩位于的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得.
，
分数在的频率为.
样本中合格率达，估计高二年级全体学生本次垃圾分类综合检测的合格率达，不需要增加培训的次数.
【小问2详解】
成绩在有4人，记为，在内有3人，记为，
从成绩位于中的学生中任取2人，有，共21种取法.
恰有2人成绩位于的有共3种取法.
则恰有2人成绩位于的概率.
18. 等差数列的前项和为，等比数列中，.
（1）求和.
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的首项和公差分别为，由等差数列的前前项和公式求出，即可求出，再由等比数列的性质求出，即可求出；
（2）由（1）可得，再由裂项相消法求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的首项和公差分别为，设等比数列的公比为，
所以.
公差.
，公比.
【小问2详解】
.
19. 中，内角所对的边分别为.
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理可得，结合余弦定理可得的值，即可得的值；
（2）借助二倍角公式与两角和的余弦公式计算即可得.
【小问1详解】
由结合正弦定理可得：，
由余弦定理可得，
则；
【小问2详解】
，
，
.
20. 已知圆，圆心到抛物线的准线的距离为，圆截直线所得弦长为.
（1）求圆的方程.
（2）若、分别为圆与抛物线上的点，求、两点间距离的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程与圆心坐标，由圆心到焦点的距离求出，再由求出圆心到直线的距离，最后根据弦长求出，即可得解；
（2）设，则，表示出，结合二次函数的性质求出的最小值，即可求出的最小值.
【小问1详解】
抛物线的准线为：，
圆的圆心，
因为，所以，解得，
又到直线的距离，
所以，则，
所以圆
【小问2详解】
设，则，
所以，
当时，取最小值，
又圆的半径为，
所以圆与抛物线无公共点，且的最小值为.
21. 几何体中，是正方形，是直角梯形，，，，，，为的中点.

（1）若平面平面，求证：.
（2）求几何体的体积
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平面，根据线面平行的性质定理证明线线平行.
（2）采用切割法，把几何体切割成两个规则的几何体，再求它们的体积之和.
【小问1详解】
因为， ，所以，
又为的中点，得：，
故四边形是平行四边形，
平面平面，
所以：平面.
又平面，
平面平面，
所以：.
【小问2详解】
，即，
平面，所以平面.
平面，
又平面，所以：平面.
连接，则，
又平面得
平面，即三棱柱为直三棱柱且为三棱锥的高.

22. 已知椭圆的焦距为2，经过点.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）椭圆的左顶点为，过其右焦点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及椭圆过的点，列式求解，即可求得答案；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数的关系，表示出，结合根与系数的关系式化简，即可得结论.
【小问1详解】
由题意得，解之得，
椭圆的标准方程：.
【小问2详解】
由（1）知；
当斜率存在时，设.

联立得：，
由于l过椭圆右焦点，必有，
则
，
当斜率不存在时，的方程为，此时
，则；
所以总有（定值）.
【点睛】易错点点睛：解决此类定值问题，要注意利用联立方程，结合根与系数关系进行化简，在化简的过程中，基本都是字母参数的运算，一不小心很容易出错，要特别注意.分数段
频数
2
4
9
4
频率