天津市重点校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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出题学校：蓟州一中 杨村一中
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
2. 若的二项式展开式中的系数为10，则（ ）
A. 1B. -1C. ±1D. ±2
【答案】A
【解析】
【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.
【详解】由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，
则得，解得
故选：A.
3. 曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用导数的定义与几何意义可求得正确答案
【详解】设，
所以
.
因为，
所以曲线在点处的切线的方程为，即.
故选：C.
4. 函数的最大值为1，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数可判断在上的单调性，可得，据此可得答案.
【详解】，.
则在上单调递减，在上单调递增，则
.
故选：D
5. 演讲社团里现有水平相当的4名男生和4名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ）
A. 44种B. 56种C. 48种D. 70种
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论，选出3名同学分别为1男2女，2男1女两种情况，即可得解.
【详解】选出3名同学既有男生又有女生有两种情况：
1男2女，则,
2男1女，则，
所以共有种不同选法.
故选：C.
6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （ ）

A. 在上单调递增
B. 在上单调递减
C. 在上单调递减
D. 在上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断，
【详解】时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.
故选：C.
7. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果.
【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；
又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；
又，则，画出的模拟草图如下所示：

当时，，则，数形结合可知，此时；
当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；
当，，则，数形结合可知，此时；
综上所述：的解集为.
故选：A.
8. 甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者被分配到3个不同的岗位参加志愿者工作，每个岗位至少分配一人，丁与戊在同一岗位，则不同的分配方案有（ ）
A. 18种B. 21种C. 24种D. 36种
【答案】D
【解析】
【分析】根据丁与戊个人为一堆，以及选择1人与丁与戊构成一堆分为两类，再分配即可.
【详解】先把5人分成3堆，共有两类：
第一类：丁与戊个人为一堆，其它人分为一堆1人，一堆2人，所有分堆方式有：种，
再将三堆分配至3个岗位，共有：种；
第二类：从除去丁与戊的3人种，选择1人与丁与戊构成一堆，其它2人分为一堆1人，另一堆也是1人，
所有分堆方式共有：种，再将三堆分配至3个岗位，共有：种；
综上所述，所有的分配方案有：种.
故选：D.
9. 若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意转化为与和共有两个交点，利用导数研究单调性极值，数形结合得解.
【详解】因为，所以不是的零点，
当时，令，得，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
且当趋近正无穷时，趋近2，如图所示，
所以当时，与的图象有且仅有四个交点，
此时函数恰好有四个零点.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
10. 的展开式中的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据通项公式中指数为3，列方程解得，从而可得展开式中的系数.
【详解】展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.
11. 函数的单调递减区间是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】求出导数，令导数，求得单调递减区间.
【详解】由，且，则，
令，即，解得或
所以函数的单调递减区间是，.
故答案为：，.
12. 由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有___________．（用数字作答）
【答案】120
【解析】
【分析】根据部分元素定序，采用倍缩法，即可直接求得结果.
【详解】根据题意，这个数字构成的没有重复数字的六位数共有：种，
因为奇数数字顺序确定，故满足题意的六位数共有：种.
故答案为：.
13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数即可得解.
【详解】，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
分离参数得，
当，即时，取得最小值，
所以.
故答案为：.
14. 一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有____________种．
【答案】72
【解析】
【分析】根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可.
【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同.
那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色.
由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和.
如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种.
综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种.
而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.
故答案为：.
15. 已知，函数有两个极值点，则下列说法正确的序号为_________．
①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数；
③；④若存在，使得，则．
【答案】①④
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求切线方程判断说法①；由极值点的性质求m的范围判断说法②；解出极值点，计算判断说法③；由不等式有解，代入函数解析式，求m的范围判断选项④.
【详解】①若，则，，
，，
所以函数在处的切线方程为，即，说法①正确．
②，有，则，说法②错误．
③，当时，，单调递减，没有极值，
当时，由，解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，
所以为定值，说法③错误．
④若存在，使得，
即，得，
即，即，
由于，所以必存在，
对于，则有，
即，解得，所以说法④正确.
故答案为：①④
【点睛】方法点睛：
导数研究函数的极值，可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
三、解答题（共5题，共75分）
16. 已知.求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）-1 （2）2187
（3）-1094
【解析】
【分析】（1）令，代入计算即可得结果；
（2）令，代入计算即可得结果；
（3）结合（1）（2）两式作差，化简求得结果.
【小问1详解】
令，得
【小问2详解】
令，得
由的展开式的通项为，知，，，为负数
所以
【小问3详解】
由，
得，
所以
17. 设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
（1）求实数的值；
（2）设函数，求函数的单调区间．
【答案】（1）；
（2）单调递减区间为，单调递增区间为．
【解析】
【分析】（1）求出导数，根据导数的几何意义列式求得；
（2）求出，判断的正负即可求得的单调区间.
【小问1详解】
由题意得的定义域为，又，
因为．所以，解得．
所以实数的值为1.
【小问2详解】
因为，，
则，
令，得，
与在区间上的情况如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
18. 从A，B，C等7人中选5人排成一排．
（1）若A必须在内，有多少种排法?
（2）若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法?
（3）若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法?
【答案】（1）1800
（2）360 （3）144
【解析】
【分析】（1）A必须在内，则在其余6人中选出4人，再与A全排列即可.
（2）先选出其余的三人，再将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列即可.
（3）先在其他4人中选出2人，再将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，排好后，安排C插空（且不与A、B相邻）即可.
【小问1详解】
根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法.
【小问2详解】
先选出其余的三人，将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，
再将另外两人一起排列，
所以一共有360种排法．
小问3详解】
根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，
将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法，
排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况，
所以共有种不同的排法．
19. 已知函数，，令函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当为正数时，讨论函数的单调性；
（3）若不等式对一切都成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）分类讨论，答案见解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，对求导，求出，由点斜式方程即可得出答案；
（2）对求导，分类讨论，和，讨论与的大小，即可求出函数的单调性；
（3）将不等式变形为，令，即在上单调递增，分类讨论和，使得在恒成立，求解即可.
【小问1详解】
当时，，，
故，则，
故函数在处的切线方程为，即；
【小问2详解】
因为，，
则，
时，在，上为正，上为负，
所以的单增区间为，，单减区间为，
时，在上恒，所以在上单调递增，
时，在，上为正，上为负，
所以的单增区间为，，单减区间为，
综上：时，的单增区间为，，单减区间为，
时，在上单调递增，
时，的单增区间为，，单减区间为.
【小问3详解】
由，，变形，
令，则在上单调递增，
其中，，
则，
若，此时在上恒成立，
则在上单调递增，满足要求，
若，此时要满足在恒成立，
令，对称轴为，
故要满足，解得，
综上：，即的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键点是将不等式变形为，令，将题意转化为在上单调递增，分类讨论和，使得在恒成立，求解即可.
20. 已知函数．
（1）若，讨论的单调性．
（2）已知关于的方程恰有个不同的正实数根．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调性；
（2）（i）将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；
（ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论.
【小问1详解】
当时，，则；
令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
（i）由得：，
恰有个正实数根，恰有个正实数根，
令，则与有两个不同交点，
，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，又，
当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；
则图象如下图所示，
当时，与有两个不同交点，
实数的取值范围为；
（ii）由（i）知：，，
，，
，
不妨设，则，
要证，只需证，
，，，则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，
，
在上单调递增，，
当时，恒成立，原不等式得证.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于的不等式恒成立.0

0
+
递减
极小值
递增