贵阳市第六中学2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)

这是一份贵阳市第六中学2024届高三下学期一模考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．的展开式中含x项的系数为( )
A.24B.28C.20D.32
2．已知是椭圆M的两个焦点，过点且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且，则椭圆M的离心率为( )
A.B.C.D.
3．已知（为虚数单位），则( )
A.B.C.D.
4．已知为等差数列，为其前n项和，若，则( )
A.36B.24C.18D.32
5．已知，满足，，则( )
A.B.C.D.
6．已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为，B是山坡SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为( )
A.B.C.D.
8．如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD，BC于点E，F．当点P在劣弧EF上运动时，的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A.频率分布直方图中a的值为0.005
B.估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
C.估计这200名学生竞赛成绩的众数为78
D.估计总体中成绩落在内的学生人数为150
10．如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点．则下列结论正确的是( )
A.存在点Q．使得B.存在点Q，使得平面
C.三棱锥的体积不是定值D.存在点Q．使得
11．已知，则实数x，y满足( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知集合，，则______．
13．如图，点M，N在双曲线上，且MN的中点A在直线上，线段MN的中垂线AB与x轴交于点，则双曲线的方程可以为______．
14．函数的部分图象如图所示，已知，且，则______．
四、解答题
15．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）设的图象在点处的切线与的图象相切，求a的值．
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若，，求的面积．
17．如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面ABC．
（1）证明：平面平面．
（2）若，且，求二面角的余弦值．
18．某中学开展劳动主题德育活动，高一某班统计了本班学生1至7月份的人均月劳动时间（单位：小时），并建立了人均月劳动时间y（单位：小时）关于月份x的经验回归方程，y与x的原始数据如表所示：
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知．
（1）求m，n的值；
（2）如果该月人均劳动时间超过13（单位：小时），则该月份“达标”．从表格中的7组数据中随机选5组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望．参考公式：在经验回归方程中，．
19．如图，抛物线，A，B，M，N为抛物线上四点，点T在y轴左侧，且M，N，D分别为线段TA，TB和AB的中点．
（1）证明：直线TD与x轴平行或重合．
（2）设圆，若T为圆C上的动点，设的面积为S，求S的最大值．
参考答案
1．答案：B
解析：设展开式中第项含x项，则，
令，解得，因此，
所以的展开式中含x项的系数为28.
故选：B
2．答案：A
解析：依题意，设椭圆方程为，则，
直线，由，解得，则，于是，
所以椭圆M的离心率为.
故选：A
3．答案：A
解析：由，得，即，
所以.
故选：A
4．答案：B
解析：等差数列中，由，得，
所以.
故选：B
5．答案：B
解析：由，得，
所以.
故选：B
6．答案：C
解析：因为方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点，
当时，，所以，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，，
又当时，；当时，，所以图象如图；
当时，，
所以，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，，
又当时，；当时，，所以图象如图，
所以当即时函数有三个零点，
即方程存在三个不相等的实根，
故选：C.
7．答案：D
解析：依题意，半径为，山高为，则母线，
底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角，
如图，是圆锥侧面展开图，
显然，
由点S向AB引垂线，垂足为点H，此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值，
即点H为公路的最高点，AH段为上坡路段，HB段为下坡路段，
由直角三角形射影定理知，即，解得，
所以公路上坡路段长为．
故选：D
8．答案：B
解析：依题意，以点C为原点，直线DC，BC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
设点，而，，
则，，
因此，
由，得，则，
因此，
所以的取值范围为.
故选：B
9．答案：ABD
解析：对于A，由，得，A正确；
对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为，，，，.
前三组的频率和为，因此这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，B正确；
对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误；
对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确.
故选：ABD
10．答案：BCD
解析：对于A，在正方体中，，，
则四边形为平行四边形，所以，，
而P为线段中点，四边形为正方形，
所以P为的中点，所以，
若存在点Q，使得，且、PQ不重合，
又，所以，
这与矛盾，假设不成立，A错误；
对于B，若Q为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
因为，、平面，则平面，
所以存在Q使得平面，B正确；
对于C，在正方体中，，，
所以，四边形为平行四边形，则，
而面，故与面APD不平行，
所以Q在线段上运动时，Q到面APD的距离不是定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积不是定值，C正确；
对于D，因为，，
BD，平面，，
所以平面，又平面，
所以，
所以若点Q与点B重合，则，D正确，
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：因为，
所以，，
所以，A正确；
，B正确，
，C错误，
由，可得，D正确，
故选：ABD.
12．答案：
解析：由集合，得或，而，
所以.
故答案为：
13．答案：（答案不唯一，）
解析：设点，，依题意，，线段MN的中点，
因为线段MN的中垂线与x轴交于点，显然直线MN的斜率存在且不为0，
则，即，
又点M，N在双曲线上，则，即有，
于是，双曲线方程为，
取，双曲线的方程为.
故答案为：(答案不唯一，)
14．答案：1
解析：由函数的部分图象得，函数的周期，，
即，由，得，，而，
于，，由，得，
整理得，
因此，或，，
即，或，与矛盾，
于是，，，，
所以.
故答案为：1
15．答案：（1）递减区间是，递增区间是；
（2）或3
解析：（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由，知点在的图象上，而，
因此函数的图象在点处的切线方程为，
当在上时，，解得，则，
求导得，则，
则在处的切线方程为，符合题意，因此；
当不在函数的图象上时，设切点为，
求导得，则，
由函数在处的切线方程为，得，
解得，，经检验符合题意，因此，
综上，a的值或3.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，由及正弦定理得：，
而，则，
于是，又，即，则，又，
所以.
（2）由（1）知，，由余弦定理，
得，解得，
所以的面积是.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）由，D为BC的中点，得，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）显然四边形是边长为2的菱形，且，连接，则，
又平面平面，且平面平面，面平面，则平面，
以D为坐标原点，直线DC，DA，DB分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
由为边长是2的等边三角形，得，而，
则，，，，，，，
设平面法向量为，则，令，得，
设平面的法向量为，则，令，得；
因此，显然二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
18．答案：（1），；
（2）分布列见解析，.
解析：（1），，
，则，
而，
所以，整理得，由，得，
于是，，则，又，所以，.
（2）依题意，可能取1，2，3，
，，，
的分布列为
所以.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）48.
解析：（1）设，，，则，
因为点M在抛物线上，所以，
又，所以，
整理得：，
同理可得：，
故，为方程的两根，
所以，，
所以点D的纵坐标为，
故直线TD的斜率为0，即直线TD与x轴平行或重合.
（2）因为，
所以，
所以
.
因为T在圆C上，所以，
所以，
所以当时，.
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y
8
9
n
12
m
19
22
1
2
3
P