上海市崇明区2024届高三二模数学试卷(含答案)

这是一份上海市崇明区2024届高三二模数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若集合，或，则___________.
2．不等式的解为___________.
3．已知向量，，若，则___________.
4．若复数z满足（i为虚数单位），则___________.
5．若等差数列的首项，前5项和，则___________.
6．已知幂函数的图象经过点，则___________.
7．若的二项式展开式中的系数为10，则___________.
8．已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，是母线.若直线与所成角的大小为，则___________.
9．已知函数为奇函数，则___________.
10．某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是___________.（默认每月天数相同，结果精确到0.001）
11．已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是___________.
12．已知实数，，，满足：，，，则的最大值是___________.
二、选择题
13．若，，则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
14．某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则( )
A.，B.，
C.，D.，
15．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为( )
A.B.C.D.π
16．已知函数的定义域为D，，.
命题p：若当时，都有，则函数是D上的奇函数.
命题q：若当时，都有，则函数是D上的增函数.
下列说法正确的是( )
A.p、q都是真命题B.p是真命题，q是假命题
C.p是假命题，q是真命题D.p、q都是假命题
三、解答题
17．如图，在三棱锥中，，，O为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点M在棱上，且，求点C到平面的距离.
18．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.
（1）求的值；
（2）若，，求的周长.
19．某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示.
（1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？
（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值；
（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望.
附：，.
20．已知椭圆，A为的上顶点，P、Q是上不同于点A的两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若F是椭圆的右焦点，B是椭圆下顶点，R是直线上一点.若有一个内角为，求点R的坐标；
（3）作，垂足为H.若直线与直线的斜率之和为2，是否存在x轴上的点M，使得为定值？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
21．已知.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：；
（3）若，，数列满足，.求证：当时，.
参考答案
1．答案：/
解析：根据题意，.
故答案为：.
2．答案：
解析：因为，所以.
故答案为：.
3．答案：
解析：已知向量，，若，则，解得.
故答案为：.
4．答案：
解析：由，得.
故答案为.
5．答案：9
解析：因为等差数列的首项，前5项和，
由等差数列的求和公式，可得，解得.
故答案为：9.
6．答案：9
解析：依题意，设，将，代入解得：，故，则.
故答案为：9.
7．答案：1
解析：由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得.
故答案为：1.
8．答案：
解析：如图所示，因为，且，
则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得,
在直角中，可得，即.
故答案为：.
9．答案：/
解析：令，则由题意为奇函数，
所以当时，，
此时，
故，所以.
故答案为：.
10．答案：0.996
解析：设事件“至少有2名学生在同一月份出生的”，
，
故答案为：0.996.
11．答案：
解析：由正弦定理可得，所以，
所以，且，则或，
则或，
当时，，
所以
，，则，
当时，即时，取得最小值；
当时，，
所以
，，则，
则无最值；
综上所述，的最小值是.
故答案为：.
12．答案：6
解析：因为，，
故令，，且，，
因为，
所以，
所以
，仅当时等号成立.
13．答案：A
解析：对于A.，，则，成立
对于B.，，；
对于C.，；
对于D.若，，，则不成立
故选A.
14．答案：C
解析：根据频率分布条形图可知，，即；
显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即.
故选：C.
15．答案：B
解析：当时，有，所以.
在区间上总存在唯一确定的，使得，
所以存在唯一确定的，使得.
，，所以，.
故选B.
16．答案：C
解析：对于命题，令函数，
则，此时，当函数不是奇函数，
所以命题p为假命题，
对于命题q，当时，都有，即，不可能，
即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题q为真命题.
故选：C.
17、
（1）答案：证明见解析
解析：因为，O为AC的中点，所以，且.
连结OB.因为，，所以为等腰直角三角形，且，.由知，.
由，，，知平面ABC.
（2）答案：
解析：法一：作，垂足为H.又由（1）易知平面，从而，
所以平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知，，.
所以，.
所以点C到平面POM的距离为.
法二：设C到平面的距离为h，由（1）知即为P到平面的距离，且.又，在中，，，，则由余弦定理得，
则，即，则.即点C到平面POM的距离为.
法三：如图，以O为原点，建立直角坐标系，设，，，，，，，.
设平面的一个法向量，则，令，则，所以，点C到平面的距离为.
18、
（1）答案：
解析：由为在方向上的投影向量，则，
又，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得（负值舍去）.
（2）答案：
解析：由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，
所以，所以，
由（1）可知，，则，
由，则，解得（负值舍去），
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
19．答案：（1）有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关
（2）
（3）
解析：（1）假设：患慢性气管炎与吸烟无关，
根据的列联表中的数据，可得，从而否定原假设，
所以有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.
（2）根据表格中的数据，可得：
.
（3）根题意，按分层抽样，得到不吸烟者人，吸烟者人，
这7人里再随机选取3人，可得随机变量X的可能值为0，1，2，3，
则，，
，，
则随机变量X的分布列为：
所以，随机变量X的数学期望为.
20．答案：（1）
（2）或
（3）存在，
解析：（1）由题意，，，所以离心率.
（2）由题意，，，，所以直线的方程为：，
设，显然有或两种情况，
①当时，直线的倾斜角为，其与x轴的交点为，则，
因为，，
由，得：，解得（舍去）或，
所以，点R的坐标是.
②当时，此时，则，
因为，，
由，得：，
解得（舍去）或
综上所述，点R的坐标是或.
（3）假设存在定点满足题意，
当的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由得，
由题意，，即①.
，，
，
所以，代入①，得：，
所以或，即存在直线使得直线与直线的斜率之和为2，
直线的方程为，直线的方程为，
由，得：，即，
所以，
所以当时，为定值，
当直线斜率不存在时，设，，
则，，此时，满足题意.
所以存在定点，使得为定值且定值为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由，得：，令，则，
原方程可化为：①，则，是方程①的两个不同的根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以.
（3）由题意可知，，所以，
当时，，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以函数在区间上严格增，
因为，所以，，
以此类推，当时，，
又，
所以函数在区间上严格减，
当时，，所以，
所以，即，故.
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
120
160
280
患慢性气管炎者
15
45
60
总 计
135
205
340
X
0
1
2
3
P