四川省成都市2024届高三下学期二诊考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省成都市2024届高三下学期二诊考试数学（理）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数(i是虚数单位),则( )
A.1B.C.D.
2．命题“,”的否定形式是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．如图,已知集合,,则阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
4．对变量x,y有观测数据,得散点图1;对变量u,v有观测数据,得散点图2.表示变量x,y之间的线性相关系数,表示变量u,v之间的线性相关系数,则下列说法正确的是( )
A.变量x与y呈现正相关,且B.变量x与y呈现负相关,且
C.变量x与y呈现正相关,且D.变量x与y呈现负相关,且
5．在平面直角坐标系xOy中,角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值为( )
A.B.C.D.
6．已知函数的值域为M.若,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．筒车亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具,唐陈廷章《水轮赋》:“水能利物,轮乃曲成.升降满农夫之用,低徊随匠氏之程.始崩腾以电散,俄宛转以风生.虽破浪于川湄,善行无迹;既斡流于波面,终夜有声.”如图,一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转一圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2m.在筒车转动的一圈内,盛水筒P距离水面的高度不低于4m的时间为( )
A.9秒B.12秒C.15秒D.20秒
8．现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色,其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为( )
A.B.C.D.
9．已知向量,是平面内的一组基向量,为内的定点,对于内任意一点,当时,称有序实数对为点P的广义坐标.若点A,B的广义坐标分别为,则“"是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10．已知点P是椭圆上的动点,若P到x轴与y轴的距离之和的范围是,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
11．在所有棱长均相等的直四棱柱中,,点P在四边形内(含边界)运动.当时,点P的轨迹长度为,则该四棱柱的表面积为( )
A.B.C.D.
12．已知P是抛物线上任意一点,若过点P作圆的两条切线,切点分别记为A,B,则劣弧AB长度的最小值为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．一个几何体的三视图的正视图是三角形,则这个几何体可以是___________.(写出一个你认为正确的答案即可)
14．已知函数,若,则实数a的取值范围为___________.
15．平面四边形ABCD中,,,,则AC的最大值为__________.
16．已知函数,.给出下列四个结论:
①;
②存在,使得;
③对于任意的,都有;
④对于任意的,都有.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
17．记.
（1）当时,为数列的前项和,求的通项公式;
（2）记是的导函数,求.
18．某省举办了一次高三年级化学模拟考试,其中甲市有10000名学生参考.根据经验,该省及各市本次模拟考试成绩(满分100分)都近似服从正态分布.
（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分,87分以上共有228人.甲市学生的成绩为76分,试估计学生在甲市的大致名次;
（2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人,记X表示在本次考试中化学成绩在之外的人数,求的概率及X的数学期望.
参考数据:
参考公式:若,有,
19．如图,在正四面体中,是棱的两个三等分点.
（1）证明:;
（2）求出二面角的平面角中最大角的余弦值.
20．已知双曲线的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F.过点F的直线与双曲线C相交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为S,且直线AM,BS的斜率之积为.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）直线BM,BN分别与直线相交于P,Q两点,求证:以PQ为直径的圆经过x轴上的定点,并求出定点的坐标.
21．已知函数.
（1）当时,判断的零点个数并说明理由;
（2）若存在,使得当时,恒成立,求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(为参数).
（1）求曲线C的普通方程;
（2）以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若A为曲线C上任意一点,将OA逆时针旋转得到OB,求线段AB中点M的轨迹的极坐标方程.
23．已知函数,不等式的解集为.
（1）求实数a,b的值;
（2）函数的最小值为t,若正实数m,n,p满足,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,所以.
故选:C
2．答案：C
解析：由命题“,”,
可知其否定为“,”,
故选:C.
3．答案：B
解析：因为,,
所以,,
即阴影部分表示的集合为,
故选:B
4．答案：C
解析：由题意可知,变量x,y散点图中,y随x的增大而增大,所以变量x与y呈现正相关;
再分别观察两个散点图,图1比图2点更加集中,相关性更好,所以线性相关系数.
故选:C.
5．答案：A
解析：因为终边经过点,所以,,则,
所以有,,
所以.
故选:A
6．答案：B
解析：当时,,符合题意;
当时,因为函数的值域为M满足,
由指数函数单调性可知,即二次函数的最小值小于或等于零;
若时,依题意有的最小值,即,
若时,不符合题意;
综上:,
故选:B.
7．答案：D
解析：假设A,O,B所在直线垂直于水面,且米,如下示意图,
由已知可得,,
所以,处在劣弧时高度不低于4米,
转动的角速度为/每秒,
所以水筒P距离水面的高度不低于4m的时间为秒,
故选:D.
8．答案：C
解析：根据题意,用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色,每个部分都有4种涂色方法,则有种涂色方法;
若其中任意有公共边的两块着不同颜色,有两种情况:①只用三种颜色涂这5个区域,则有种涂色方法;②用四种颜色涂这5个区域,则有种涂色方法,所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色,共有144种涂色方法,故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色,其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为.
故选:C
9．答案：D
解析：根据题意得:,.
因为,
所以,
则,即
因为向量,是平面内的一组基向量,
所以.
故“"是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
10．答案：D
解析：设,由椭圆的对称性,不妨设点P位于第一象限或x,y轴正半轴上,
由题意,,结合椭圆性质有且,其中;
所以,解得,椭圆C的离心率为.
故选:D.
11．答案：A
解析：设棱长为a,延长,过点作垂直于的延长线于O,
由,可得;
由直四棱柱的性质可得,平面,所以;
因为,所以.
在平面内,点P的轨迹是以为圆心,a为半径的圆夹在四边形内的部分,即图中圆弧EF.
因为,,,所以,
因为点P的轨迹长度为,所以,即.
四棱柱的表面积为.
故选:A.
12．答案：D
解析：如图所示,当劣弧AB长度的最小时,最小,即最小,
即最大,
即取的最小值,
设,则,
则,
当时,取最小值为,
即,
即,
,
即,
即劣弧AB长度的最小值为,
故选:D.
13．答案：三棱柱(答案不唯一)
解析：由三视图可知,正视图是三角形的几何体可以是三棱柱,三棱锥,圆锥等.
故答案为:三棱柱(答案不唯一)
14．答案：
解析：函数的定义域为R,且,
所以为奇函数,
又,所以在R上单调递增,
不等式,即,
等价于,解得或,
所以实数a的取值范围为.
故答案为:
15．答案：4
解析：如图所示,因为,设,,且,,
在中,可得,
即,可得,
在中,可得,
所以,
当时,即时,取得最大值,最大值为,
所以AC的最大值为4.
故答案为:4.
16．答案：②③④
解析：因为,所以,,
因为,,
所以,故①错误;
若,则,即,
,即,
令,因为,,
所以存在,使得,即,
所以存在,使得,故②正确,
因为,
因为在上单调递减,所以也单调递减,
所以,
,
因为在上单调递增,所以也单调递增,
所以,
即,即对于任意的,都有,故③正确;
由②可知,存在,使得,
结合③可知当,,,即,
可知当,,,即,
因为,,得,
即,
当,有,
因为,所以,所以,
所以,即,
当,有,
因为,所以,所以,
即,所以对于任意,都有,故④正确.
故答案为:②③④.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,.
当时,.
又当时,不满足上式,
所以
（2）
①
②
①-②得,
18．答案：（1）1587名
（2）0.0989;期望为0.104
解析：（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布,
由题意可得.
即,解得.
甲市学生A在该次考试中成绩为76分,且,
又,即.
学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名.
（2）在本次考试中,抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974.
抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026.
随机变量服从二项分布,即.
.
的数学期望为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AB的中点为T,连接PT,CT.四面体为正四面体,
为正三角形.又T为AB的中点,.同理可得.
,PT,平面PTC,平面PTC.
又平面PTC,.
（2）取PC的中点为Q,连接ET,FT,QT,设.
由（1）得平面PTC.,平面PTC,,.
为二面角的平面角,为二面角的平面角,
为二面角的平面角.由图形对称性可判断.
易得,.在中,.
在中,.同理可得.
,.
,.
二面角的平面角最大,其余弦值等于.
20．答案：（1）
（2）证明见解析,
解析：（1）设,,
,,
,
在双曲线上,
,
解得,
双曲线C的标准方程为;
（2）设,直线,
由,消去x得,
,,
,
直线,
令,解得,同理可得,
以PQ为直径的圆的方程为,
令,得,
,
,解得或,
以PQ为直径的圆恒过点.
21．答案：（1）两个零点,理由见解析
（2）
解析：（1）当时,,.
,令,则,
当时,,
函数在上单调递增.
由,,
,使得.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
又,,,
有两个零点.
（2）存在,使得当时,,
即存在,使得当时,.
设.
(i)当时,设.
.
在上单调递增,又,
在上单调递增.又,
在上恒成立.
.
当时,.
取,当时,恒成立.
当时满足题意.
(ii)当时,因为,,
,
设,
,
在上恒成立,在上单调递减.
又在上恒成立.
故恒成立,不合题意.
综上,a的取值范围为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）曲线C的参数方程为(为参数)可得,
平方相加,可得,
所以曲线C的普通方程为.
（2）曲线C的极坐标方程为.
设,,,
因为,,可得,,
所以,
所以点M的轨迹的极坐标方程为.
23．答案：（1）
（2）最小值为4
解析：（1）,易知,
.
的解集为,
,解得.
（2）由（1）得,
的最小值为1,即.
,
当且仅当时,等号成立.
的最小值为4.