2024年河南省重点中学中考数学内部模拟试卷附解析

这是一份2024年河南省重点中学中考数学内部模拟试卷附解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2025的倒数是（ ）
A．﹣2025B．2025C．D．
2．（3分）“非学无以广才”，意为不学习就难以增长才干，出自诸葛亮《诫子书》．将“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“学”相对的字是（ ）
A．无B．以C．广D．才
3．（3分）2024年，为扎实落实国务院《政府工作报告》关于促进消费稳定增长等有关要求，河南省财政安排专项资金3.34亿元，“3.34亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．334×106B．33.4×107C．3.34×108D．0.334×109
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝a2B．a3﹣a＝a2
C．D．（﹣2a）2＝4a2
5．（3分）如图所示，某同学自制了一个测角仪：等腰直角三角板的底边和量角器直径平行．若重锤线OF与ON的夹角为55°，那么被测物体表面的倾斜角∠ACB的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
7．（3分）某区举办了创新技能操作赛，A，B两个学校各有五名选手，在首轮比赛中选手得分汇表如下，有关数据分析完全正确的是（ ）
A．，＝
B．，＞
C．，＝
D．，＜
8．（3分）如图所示，在▱ABCD中，点E在边AD上，且AE＝3DE，连接BE交AC于点O，则△AOB的面积与△BOC的面积之比为（ ）
A．9：16B．9：4C．3：4D．3：2
9．（3分）如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，点P是AD边上不与端点重合的一动点，连接BP、过点P作PQ⊥BP交正方形外角的平分线DF于点Q，则有关△PDQ面积的说法正确的为（ ）
A．有最大值为B．有最小值为
C．有最大值为D．有最小值为
10．（3分）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO1B1，按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点B2025的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（7，4）C．（7，3）D．（3，7）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图所示，从长a宽b的矩形纸片中剪去一个边长为c的正方形，余下纸片的面积为 ．
12．（3分）关于x的不等式组的解集是 ．
13．（3分）“学史明智”，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂和营养剂．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
14．（3分）如图所示，在圆内接正六边形ABCDEF中，，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点P为BC边上一定点且PC＝2，点Q为AD边上不与端点重合的一动点，将四边形PCDQ沿PQ翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连接BE，则BE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）书法作为中国传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化信息，被誉为“无言的诗”．某初级中学注重学生书法练习，并将其作为家庭作业的一项必查内容，为了解学生每周在家书法练习时间t（小时）的情况，随机抽取了部分学生进行调查并整理分析，共分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为0.3，0.3，0.5，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
学生每周在家书法练习时间的频数分布表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于 调查，本次调查的样本容量是 ；
（2）A组数据的中位数是 ，D组所在扇形的圆心角的度数是 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生每周在家书法练习时间超过1.5h的人数．
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中的y轴正半轴上取点A（0，3），x轴正半轴上取点B（a，0），以AB为边构造等腰直角△ABC，点P为AC的中点，反比例函数过P，C两点．
（1）求a的值及反比例函数的解析式；
（2）设直线AC为y＝mx+n，请依据图形直接写出不等式的解集．
19．（9分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
20．（9分）古希腊数学家欧几里得（约公元前325﹣公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．
某数学兴趣小组对该命题进行了论证，其作答共分为两个流程：尺规作图和论证推理．
（1）尺规作图步骤如下：①以点B为圆心，小于OB的长为半径作弧，分别交射线OB于P，Q两点；②分别以P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线BE，射线BE与射线DC交于点A；④可得直线AB为⊙O的切线．请按描述完成作图；
（2）依据所作图形，求证：AB2＝AC•AD．
21．（9分）随着电动车技术的日益发展和环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间．某公司用两种充电桩对目前电量为20%的新能源汽车充电．经测试，在用快速充电桩和普通充电桩对汽车充电时，其电量y与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB，AC．根据以上信息，回答下列问题：
（1）求线段AB和线段AC所代表的函数解析式；（写出取值范围）
（2）在某次出行之前，李梅要对余电10%的电车充电，先用快速充电桩充电，再用普通充电桩充电，要求用2.5小时完成充电，请你设计一个合理的充电方案．
22．（10分）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝10米，AB＝1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA的距离为10米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
23．（10分）【问题发现】
（1）如图1所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P为底边BC上一动点，在射线AP上取点D，作DE⊥BC，垂足为E．若AP＝PD，tanB＝1．则AB与DE的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P为底边BC上一动点，在射线AP上取点D，作DE⊥BC，垂足为E．若AP＝2PD，且，请探究AB与DE的数量关系；
【拓展应用】
（3）在（2）的前提下，若AB＝5，点P为线段BC的三等分点，请直接写出BE的长．
2024年河南省重点中学中考数学内部模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.）
1．（3分）2025的倒数是（ ）
A．﹣2025B．2025C．D．
【答案】C
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解．
【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故选：C．
2．（3分）“非学无以广才”，意为不学习就难以增长才干，出自诸葛亮《诫子书》．将“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“学”相对的字是（ ）
A．无B．以C．广D．才
【答案】C
【分析】根据相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即可得到答案．
【解答】解：由展开图可知，正方体中和“学”相对的字是“广”，
故选：C．
3．（3分）2024年，为扎实落实国务院《政府工作报告》关于促进消费稳定增长等有关要求，河南省财政安排专项资金3.34亿元，“3.34亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．334×106B．33.4×107C．3.34×108D．0.334×109
【答案】C
【分析】3.34亿写成334000000，然后再写成a×10n（其中1＜|a|＜10，n为整数）的形式即可．
【解答】解：3.34亿＝334000000＝3.34×108．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a＝a2B．a3﹣a＝a2
C．D．（﹣2a）2＝4a2
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、二次根式的性质、积的乘方等知识点逐项判断即可解答．
【解答】解：A．a2⋅a＝a3，故A选项不符合题意；
B．a3与a不是同类项，不能合并，故B选项不符合题意；
C． 不成立，故C选项不符合题意；
D． （﹣2a）2＝4a2，故D选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图所示，某同学自制了一个测角仪：等腰直角三角板的底边和量角器直径平行．若重锤线OF与ON的夹角为55°，那么被测物体表面的倾斜角∠ACB的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【答案】B
【分析】延长OF交BC于点G，由MN∥EC得∠GFC＝55°，在△FGC中由内角和定理即可求解．
【解答】解：延长OF交BC于点G，
由题意得：∠FON＝55°，OG⊥BC，MN∥EC，
∵MN∥EC，
∴∠GFC＝∠FON＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1，故A正确．
故选：A．
7．（3分）某区举办了创新技能操作赛，A，B两个学校各有五名选手，在首轮比赛中选手得分汇表如下，有关数据分析完全正确的是（ ）
A．，＝
B．，＞
C．，＝
D．，＜
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的定义计算，然后逐一判断即可．
【解答】解：A学校的平均数：（70+80+70+70+90）÷5＝76（分），
方差：×[3×（70﹣76）2+（80﹣76）2+（90﹣76）2]＝64，
B学校的平均数：（75+85+75+75+95）÷5＝81（分），
方差：×[3×（75﹣81）2+（85﹣81）2+（95﹣81）2]＝64，
∴＝，．
故选：D．
8．（3分）如图所示，在▱ABCD中，点E在边AD上，且AE＝3DE，连接BE交AC于点O，则△AOB的面积与△BOC的面积之比为（ ）
A．9：16B．9：4C．3：4D．3：2
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得，进而证得△AOE∽△COB，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝3DE，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴，
如图：过B作BF⊥AC于点F，
∴．
故选：C．
9．（3分）如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，点P是AD边上不与端点重合的一动点，连接BP、过点P作PQ⊥BP交正方形外角的平分线DF于点Q，则有关△PDQ面积的说法正确的为（ ）
A．有最大值为B．有最小值为
C．有最大值为D．有最小值为
【答案】C
【分析】如图：连接BD，过P作PG∥BD交AB于G，过Q作QK⊥AE于K，先证明△BGP≌△PDQ可得BP＝DQ，再证△ABP≌△KPQ（AAS），进而得到DK＝KQ＝AP，设PD＝x，则KQ＝DK＝AP＝1﹣x（0＜x＜1），进而得到，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．
【解答】解：如图：连接BD，过P作PG∥BD交AB于G，过Q作QK⊥AE于K，
∵四边形ABCD为正方形；
∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，∠A＝90°，
∵PG∥BD，
∴∠ABG＝∠ADB＝45°＝∠AGP＝∠ABD＝45°，
∴AG＝AP，
∴BG＝PD，
∵正方形外角的平分线DF，
∴∠KDQ＝∠CDQ＝45°，
∴∠PDQ＝135°，
∵∠AGP＝45°
∴∠BGP＝135°，即∠BGP＝∠PDQ，
∵∠B＝90°，BP⊥PQ，
∴∠ABP+∠APB＝90°，∠QPD+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠QPD，
∴△BGP≌△PDQ，
∴BP＝DQ，
∵QK⊥AE，
∴∠A＝∠PKQ＝90°，
∵∠ABP＝∠QPD，∠A＝∠PKQ＝90°，BP＝DQ，
∴△ABP≌△KPQ（AAS），
∴AP＝KQ，
∵∠KDQ＝∠CDQ＝45°，
∴DK＝KQ＝AP，
设PD＝x，则KQ＝DK＝AP＝1﹣x（0＜x＜1），
∴，
∴当时，即时，△PDQ面积有最大值．
故选：C．
10．（3分）如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO1B1，按此规律继续旋转，则第2025次旋转结束后，点B2025的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（7，4）C．（7，3）D．（3，7）
【答案】B
【分析】先依次求出B1，B2，B3，B4的坐标，以此发现规律为4次一循环，而第2025次后点B的坐标与B1重合，即可求解．
【解答】解：对于，当x＝0，y＝3，y＝0时，，解得x＝4，
∴AO＝4，OB＝3，
∴第一次旋转后，根据旋转的不变性得B1（4+3，4），即B1（7，4），
第二次旋转后B2（4+4，﹣3），即B2（8，﹣3），
第三次旋转后B3（4﹣3，﹣4），即B3（1，﹣4），
第四次旋转后与点B重合，B4（0，3），
发现4次一循环，而2025÷4＝506⋯1，
∴第2025次旋转结束后，点B2025与点B1（7，4）重合，∴B2025（7，4），
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）如图所示，从长a宽b的矩形纸片中剪去一个边长为c的正方形，余下纸片的面积为 ab﹣c2 ．
【答案】ab﹣c2．
【分析】根据图形列出余下纸片的面积为ab﹣c2即可解答．
【解答】解：由图形可得余下纸片的面积为ab﹣c2．
故答案为：ab﹣c2．
12．（3分）关于x的不等式组的解集是 ﹣2＜x≤1 ．
【答案】﹣2＜x≤1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由x+2＞0得：x＞﹣2，
由x﹣1≤0得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
故答案为：﹣2＜x≤1．
13．（3分）“学史明智”，历史是最好的教科书，也是最好的清醒剂和营养剂．在如图所示的四张无差别卡片上分别写有不同的历史事件，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张，则所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为 ．
【答案】．
【分析】先画出树状图，从而可得所有可能结果，再找出抽取事件都发生于新中国成立以后的结果，然后利用概率公式进行计算即可得．
【解答】解：设①商鞅变法，②改革开放，③虎门销烟，④香港回归，
画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中所抽取事件都发生于新中国成立以后的有2种结果，
所以所抽取事件都发生于新中国成立以后的概率为．
故答案为：．
14．（3分）如图所示，在圆内接正六边形ABCDEF中，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【分析】如图：连接OA，OF，OF交AE于G，由圆的内接四边形的性质可得OA＝OF，∠AOF＝60°，；然后再证△OAF是等边三角形，进而得到OA＝EF、AO＝2OG，再运用勾股定理可得，即OA＝3，再证明△AOG≌△EFG（HL）可得S△AOG＝S△EFG，结合图形可得即可解答．
【解答】解：如图：连接OA，OF，OF交AE于G，
∵在圆内接正六边形ABCDEF中，
∴OA＝OF，∠AOF＝60°，AE⊥OF，AG＝GE＝，AF＝FE，
∴△OAF是等边三角形，∠OAG＝30°，
∴OA＝AF，AO＝2OG，
∴OA＝EF，
在Rt△AOG中，AO2﹣OG2＝AG2即：，
解得：OG＝，
∴OA＝OF＝3，
∵AE⊥OF，AG＝GE，
∴△AOG≌△EFG（HL），
∴S△AOG＝S△EFG，
∴S阴影＝S△AOF＝OF•AG＝＝．
故答案为：．
15．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．点P为BC边上一定点且PC＝2，点Q为AD边上不与端点重合的一动点，将四边形PCDQ沿PQ翻折，使得点D的对应点E落在矩形的边上，连接BE，则BE的长为 2或 ．
【答案】2或．
【分析】分点E在边AD上，点E在边AB上，点E在边BC上三种情况讨论，并分别利用轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理即可求出BE的长．
【解答】解：分三种情况：
①点E在边AD上，如图，
由折叠可知：PQ⊥AD，QE＝QD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDQP是矩形，
∴QD＝PC＝2，
∴QE＝2，AE＝AD﹣QE﹣QD＝5﹣2﹣2＝1，
在Rt△ABE中，
由勾股定理，得BE＝＝＝，
②点E在边AB上，如图，连接DE，PD，PE，
由折叠可知，PD是DE的垂直平分线，
∴PE＝PD，
在Rt△DPC中，
由勾股定理，得PD＝＝＝，
∴PE＝，
在Rt△PBE中，
由勾股定理，得BE＝＝＝2，
③点E在边BC上，
此时∵PE＝PD＞CD，即PE＞3，而PB＝BC﹣PC＝5﹣2＝3，
∴点E一定落在CB的延长线上，即点E不可能在边BC上，
综上，BE的长为：2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可；
（2）直接运用分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝
＝
＝．
17．（9分）书法作为中国传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化信息，被誉为“无言的诗”．某初级中学注重学生书法练习，并将其作为家庭作业的一项必查内容，为了解学生每周在家书法练习时间t（小时）的情况，随机抽取了部分学生进行调查并整理分析，共分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为0.3，0.3，0.5，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
学生每周在家书法练习时间的频数分布表
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于 抽样调查 调查，本次调查的样本容量是 60 ；
（2）A组数据的中位数是 0.3 ，D组所在扇形的圆心角的度数是 90° ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生每周在家书法练习时间超过1.5h的人数．
【答案】（1）抽样调查、60；
（2）0.3，90°；
（3）460．
【分析】（1）用B的频数除以B所占的百分比即可确定样本容量；
（2）利用中位数的定义即可确定A组数据的中位数，先求出D组所占的百分比，然后再乘以360°即可；
（3）用总人数乘以样本中学生劳动时间超过1.5h的人数所占百分比即可解答．
【解答】解：（1）根据“随机抽取了部分学生进行调查”可知调查方式为：抽样调查；
本次调查的样本容量是12÷20%＝60．
故答案为：抽样调查、60．
（2）A组的数据从小到大排列为：0.3，0.3，0.3，0.4，0.5，
所以A组数据的中位数为：0.3．
D组数据的频数为：m＝60﹣5﹣12﹣20﹣8＝15．
所以D组所在扇形的圆心角的度数是：
故答案为：0.3，90°．
（3）该校学生每周在家书法练习时间超过1.5h的人数为：．
答：该校学生每周在家书法练习时间超过1.5h的人数为460．
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中的y轴正半轴上取点A（0，3），x轴正半轴上取点B（a，0），以AB为边构造等腰直角△ABC，点P为AC的中点，反比例函数过P，C两点．
（1）求a的值及反比例函数的解析式；
（2）设直线AC为y＝mx+n，请依据图形直接写出不等式的解集．
【答案】（1）a＝1，；
（2）2＜x＜4．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥CE于点F，先证明△AOB≌△BDC，继而用a的代数式表示出点C坐标，再根据点P为中点，通过△CFP∽△CEA表示出点P坐标，最后代入求解即可；
（2）转化为直线AC在反比例函数图象上方，所对应点的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥CE于点F，
∴∠CDB＝90°，
∵等腰直角△ABC，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠O＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠2+∠3+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠2，
又∵∠O＝∠CDB＝90°，BA＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝AO＝3，OB＝CD＝a，
∴点C（a+3，a），
∵CE⊥PF，CE⊥AO，
∴PF∥AE，
∴△CFP∽△CEA，而P为AC的中点，
∴，
而AE＝3﹣a，
∴，，
∴点
将C（a+3，a），分别代入得：
，
解得，
∴反比例函数的解析式为，a＝1；
（2）∵a＝1，
∴P（2，2），C（4，1），
∵，
∴直线AC：y＝mx+n在反比例函数图象上方，
∴2＜x＜4．
19．（9分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
【答案】点A位于最高点时到地面的距离约为4.7米．
【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点O作OC⊥AE，垂足为C，根据题意可得：OM＝CE＝3米，∠COM＝90°，从而可得∠AOC＝37°，再根据已知易得：OA＝AB＝2.8米，然后在Rt△AOC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点O作OC⊥AE，垂足为C，
由题意得：OM＝CE＝3米，∠COM＝90°，
∵∠AOM＝127°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠COM＝37°，
∵AB＝4.2米，OA：OB＝2：1，
∴OA＝AB＝×4.2＝2.8（米），
在Rt△AOC中，AC＝AO•sin37°≈2.8×0.6＝1.68（米），
∴AE＝AC+CE＝1.68+3≈4.7（米），
∴点A位于最高点时到地面的距离约为4.7米．
20．（9分）古希腊数学家欧几里得（约公元前325﹣公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．
某数学兴趣小组对该命题进行了论证，其作答共分为两个流程：尺规作图和论证推理．
（1）尺规作图步骤如下：①以点B为圆心，小于OB的长为半径作弧，分别交射线OB于P，Q两点；②分别以P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线BE，射线BE与射线DC交于点A；④可得直线AB为⊙O的切线．请按描述完成作图；
（2）依据所作图形，求证：AB2＝AC•AD．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）如图，连接BC，BD，延长BO交⊙O于点T，连接CT．证明△ABC∽△ADB，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：如图，连接BC，BD，延长BO交⊙O于点T，连接CT．
∵AB⊥BT，
∴∠ABC+∥CBT＝90°，
∵BT是直径，
∴∠BCT＝90°，
∴∠CBT+∠T＝90°，
∴∠ABC＝∠T，
∵∠T＝∠D，
∴∠ABC＝∠D，
∵∠CAB＝∠CAD，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
∴AB2＝AC•AD．
21．（9分）随着电动车技术的日益发展和环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间．某公司用两种充电桩对目前电量为20%的新能源汽车充电．经测试，在用快速充电桩和普通充电桩对汽车充电时，其电量y与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB，AC．根据以上信息，回答下列问题：
（1）求线段AB和线段AC所代表的函数解析式；（写出取值范围）
（2）在某次出行之前，李梅要对余电10%的电车充电，先用快速充电桩充电，再用普通充电桩充电，要求用2.5小时完成充电，请你设计一个合理的充电方案．
【答案】（1）线段AB解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）；线段AC解析式为y＝x+20%（0≤x≤6）；
（2）快速充电0.85小时，普通充电1.65小时．
【分析】（1）观察图象，用待定系数法可得答案；
（2）结合（1）列方程可得答案．
【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝kx+20%，把（1，100%）代入得：
100%＝k+20%，
解得k＝80%，
∴线段AB解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）；
设线段AC解析式为y＝k'x+20%，把（6，100%）代入得：
100%＝6k'+20%，
解得k'＝，
∴线段AC解析式为y＝x+20%（0≤x≤6）；
（2）设快速充电m小时，则普通充电（2.5﹣m）小时，
根据题意得：80%m+（2.5﹣m）＝100%﹣10%，
解得m＝0.85，
∴2.5﹣m＝2.5﹣0.85＝1.65，
答：快速充电0.85小时，普通充电1.65小时．
22．（10分）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝10米，AB＝1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA的距离为10米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
【答案】（1）y＝﹣（x﹣5）2+10；（2）米．
【分析】（1）依据题意，可得P、B的坐标，再结合待定系数法计算可以得解；
（2）依据题意，由平行线段EF与BC之间的距离为8米，AB＝1米，可得E、F的纵坐标为9，又抛物线为y＝﹣（x﹣5）2+10，令y＝9，可得9＝﹣（x﹣5）2+10，进而求出x后可判断得解．
【解答】解：（1）由题意可得，顶点P为（5，10），
∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+10．
又过点B（10，1），
∴1＝a×52+10．
∴a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+10．
（2）由题意，∵平行线段EF与BC之间的距离为8米，AB＝1米，
∴E、F的纵坐标为9．
又抛物线为y＝﹣（x﹣5）2+10，
∴令y＝9，可得9＝﹣（x﹣5）2+10．
∴x＝或x＝．
∴点E与隧道左壁OC之间的距离为米．
23．（10分）【问题发现】
（1）如图1所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P为底边BC上一动点，在射线AP上取点D，作DE⊥BC，垂足为E．若AP＝PD，tanB＝1．则AB与DE的数量关系为 AB＝DE ；
【类比探究】
（2）如图2所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P为底边BC上一动点，在射线AP上取点D，作DE⊥BC，垂足为E．若AP＝2PD，且，请探究AB与DE的数量关系；
【拓展应用】
（3）在（2）的前提下，若AB＝5，点P为线段BC的三等分点，请直接写出BE的长．
【答案】（1）AB＝DE；
（2）DE＝；理由见解析；
（3）或6．
【分析】（1）过点A作AF⊥BC于点F，证明△APF≌△DPE（AAS），得出AF＝DE，则可得出结论；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，证明△APF∽△DPE，得出，证出，则可得出答案；
（3）分两种情况，由（2）中的结论可得出答案．
【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵tanB＝1，
∴∠B＝45°，
∴AB＝AF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFP＝∠DEP＝90°，
∵∠APF＝∠DPE，AP＝DP，
∴△APF≌△DPE（AAS），
∴AF＝DE，
∴AB＝DE，
故答案为：AB＝DE；
（2）DE＝．
理由：过点A作AF⊥BC于点F，
∵tanB＝，
∴，
设AF＝4x，BF＝3x，
∴AB＝＝5x，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴AF∥DE，
∴△APF∽△DPE，
∴，
∴DE＝2x，
∴，
即DE＝；
（3）若点P为靠近B点的三等分点，如图2，
∵AB＝5，AB＝AC，
由（2）知AF＝4，BF＝3，
∴BC＝2BF＝6，
∴BP＝2，
∴PF＝BF﹣BP＝3﹣2＝1，
由（2）知PF＝2PE，
∴PE＝，
∴BE＝BP﹣PE＝2﹣＝．
若点P为靠近C点的三等分点，
∴BP＝4，CP＝2，
同理可得PF＝2，CP＝1，
∴PE＝1，
此时点E与点C重合，
∴BE＝6．
综上所述，BE的长为或6．
学校
1号
2号
3号
4号
5号
A学校
70分
80分
70分
70分
90分
B学校
75分
85分
75分
75分
95分
组别
时间t/h
频数
A
0＜t≤0.5
5
B
0.5＜t≤1
12
C
1＜t≤1.5
20
D
1.5＜t≤2
m
E
t＞2
8
课题
古代典籍数学文化探究
工具
计算器、纸、笔等
示意图


说明
图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆．OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝4.2米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°．
参考数据
sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75
计算
求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米）
过程

命题解读：直线AP为⊙O的切线，直线AC为圆的割线，以AP为边构造正方形APDE，以AB、AC为边构造矩形ACGF，可得正方形APDE的面积等于矩形ACGF的面积，由此可得AP2＝AB•AC．

学校
1号
2号
3号
4号
5号
A学校
70分
80分
70分
70分
90分
B学校
75分
85分
75分
75分
95分
组别
时间t/h
频数
A
0＜t≤0.5
5
B
0.5＜t≤1
12
C
1＜t≤1.5
20
D
1.5＜t≤2
m
E
t＞2
8
课题
古代典籍数学文化探究
工具
计算器、纸、笔等
示意图


说明
图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆．OM＝3米，AB是杠杆，且AB＝4.2米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°．
参考数据
sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75
计算
求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米）
过程

命题解读：直线AP为⊙O的切线，直线AC为圆的割线，以AP为边构造正方形APDE，以AB、AC为边构造矩形ACGF，可得正方形APDE的面积等于矩形ACGF的面积，由此可得AP2＝AB•AC．