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北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试题（原卷及解析版）
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制卷人：宁少华 王鼎 审卷人：吴中才
说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 在平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角终边上一点，若，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C D.
5. 把函数图象按向量平移后，得到新函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在人大附中节活动的入场券中有如下图形，单位圆与轴相切于原点，该圆沿轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应轴的位置正好是，若在整个运动过程中当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为），此时小猫头鹰位于处，圆与轴相切于，则劣弧AB所对应的扇形面积是（ ）
A. 1B. 2C. D.
7. 已知函数，则“”是“为偶函数”（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知为坐标原点，是终边上一点，其中，非零向量的方向与轴正方向相同，若，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 函数图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，下列结论错误的是（ ）
A. 的图像有对称轴B. 当时，
C. 有最小值D. 方程在上无解
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11. 若，则______．
12. 能使“”成立的一个的值为______.
13. 四边形ABCD中，，且，若，则______．
14. 已知函数的部分图像如图所示，则______，______．
15. 已知．在中，
设，
定义：．
设或．给出下列四个结论：
①
②；
③若，则；
④，都有，则最多有个元素．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16. 已知函数的最大值为2，将其图像向右平移得到函数的图像；把图像上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图像．
（1）求的解析式和最小正周期；
（2）求在区间上的单调递减区间．
17. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值.
条件①：；条件②：；条件③：在区间上至少2个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，．
（1）求的坐标；
（2）已知，且，求的值．
第Ⅱ卷（共11道题，满分50分）
一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19. 如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
20. 古希腊数学家帕普斯（Pappus，约－）利用如图所示的几何图形，由直观简洁地证明了当为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ）
A. B.
C. D.
21. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图像关于原点对称，且最小值为0
B. 图像关于原点对称，且最大值为2
C. 图像关于轴对称，且最小值为0
D. 图像关于轴对称，且最大值为2
22. 下列函数中，满足“，”的是（ ）
A. B. C. D.
23. 若在恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
24. 已知三点共线，其中，点关于轴的对称点为点，给出下面四个结论：
①不可能为等边三角形；
②设，则当最大时，；
③；
④当AB不与轴垂直时，直线过定点．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
25. 一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则______，______．
26. 若的最大值为3，则______．
27. 已知向量，则集合中所有元素之和为______．
28. 在现实生活中，一个符合实际的函数模型经常是将不同的函数组合得到的，如听音乐家演奏音乐时，我们听到的声音常常就是多种不同乐器产生的声波叠加的结果．在学习了向量和三角函数后，人大附中某研学小组利用所学知识研究若干振幅相同，同频同向的简谐波叠加后，得到新的简谐波的振幅和初相规律，该小组把（N为正整数）叠加，研究中的和，其中．
（1）当时，______，______．
（2）当时，______，______．
三、解答题（本小题10分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
29. 已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．
（1）设，直接写出的所有可能结果；
（2）求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
（3）设，求的聚数的所有可能结果．
制卷人：宁少华 王鼎 审卷人：吴中才
说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（共18题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 在平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角终边上一点，若，则的值为（ ）
A. B. 2C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C D.
5. 把函数图象按向量平移后，得到新函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在人大附中节活动的入场券中有如下图形，单位圆与轴相切于原点，该圆沿轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应轴的位置正好是，若在整个运动过程中当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为），此时小猫头鹰位于处，圆与轴相切于，则劣弧AB所对应的扇形面积是（ ）
A. 1B. 2C. D.
7. 已知函数，则“”是“为偶函数”（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知为坐标原点，是终边上一点，其中，非零向量的方向与轴正方向相同，若，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 函数图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，下列结论错误的是（ ）
A. 的图像有对称轴B. 当时，
C. 有最小值D. 方程在上无解
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11. 若，则______．
12. 能使“”成立的一个的值为______.
13. 四边形ABCD中，，且，若，则______．
14. 已知函数的部分图像如图所示，则______，______．
15. 已知．在中，
设，
定义：．
设或．给出下列四个结论：
①
②；
③若，则；
④，都有，则最多有个元素．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16. 已知函数的最大值为2，将其图像向右平移得到函数的图像；把图像上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图像．
（1）求的解析式和最小正周期；
（2）求在区间上的单调递减区间．
17. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值.
条件①：；条件②：；条件③：在区间上至少2个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，．
（1）求的坐标；
（2）已知，且，求的值．
第Ⅱ卷（共11道题，满分50分）
一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19. 如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
20. 古希腊数学家帕普斯（Pappus，约－）利用如图所示的几何图形，由直观简洁地证明了当为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ）
A. B.
C. D.
21. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图像关于原点对称，且最小值为0
B. 图像关于原点对称，且最大值为2
C. 图像关于轴对称，且最小值为0
D. 图像关于轴对称，且最大值为2
22. 下列函数中，满足“，”的是（ ）
A. B. C. D.
23. 若在恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
24. 已知三点共线，其中，点关于轴的对称点为点，给出下面四个结论：
①不可能为等边三角形；
②设，则当最大时，；
③；
④当AB不与轴垂直时，直线过定点．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸上的相应位置．）
25. 一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则______，______．
26. 若的最大值为3，则______．
27. 已知向量，则集合中所有元素之和为______．
28. 在现实生活中，一个符合实际的函数模型经常是将不同的函数组合得到的，如听音乐家演奏音乐时，我们听到的声音常常就是多种不同乐器产生的声波叠加的结果．在学习了向量和三角函数后，人大附中某研学小组利用所学知识研究若干振幅相同，同频同向的简谐波叠加后，得到新的简谐波的振幅和初相规律，该小组把（N为正整数）叠加，研究中的和，其中．
（1）当时，______，______．
（2）当时，______，______．
三、解答题（本小题10分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
29. 已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．
（1）设，直接写出的所有可能结果；
（2）求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
（3）设，求的聚数的所有可能结果．
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