湖北剩州市2023_2024学年高二数学上学期期中试题

这是一份湖北剩州市2023_2024学年高二数学上学期期中试题，共14页。试卷主要包含了在中，，，，则等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.如图，在三棱锥中，平面ABC，，且，则在方向上的
投影向量为( )
A. B. C. D.
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则( )
A. B.
C. A与B互为对立事件D. A与B互为互斥但不对立事件
5.在中，，，，则( )
A. 2B. C. D. 3
6.若，，，则点A到直线BC的距离为( )
A. B. C. D.
7.定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
8.已知实数x，y满足，则的最小值为( )
A. B. C. 108D. 117
9.已知一组数据x，，，，9的平均数为6，则( )
A. B.
C. 这组数据的第70百分位数为7D. 这组数据的第70百分位数为
10.已知点，，，若直线l经过点C，且A，B到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积可能为( )
A. B. 4C. D. 8
12.苏州博物馆图一是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正方形，E，F，G，H在底面ABCD的投影分别为AD，AB，BC，CD的中点，若，则下列结论正确的有( )
A. 该几何体的表面积为
B. 将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为
C. 直线CP与平面ABF所成角的正弦值为
D. 点M到平面BFG的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为__________.
14.若直线与垂直，则__________.
15.已知函数，若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为__________.
16.如图，在正方体中，，N为的中点，记平面CMN与平面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知直线与
当时，求直线与的交点坐标;
若，求a的值.
18.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.
求该圆弧所在圆的方程;
若某种汽车的宽约为米，高约为米，车辆行驶时两车的间距要求不小于米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?
将汽车看作长方体
19.甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
求第3回合由乙发球的概率;
求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.
20.如图，在正四棱锥中，E，F分别为PA，PC的中点，
证明：B，E，G，F四点共面.
记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值.
21.已知O为坐标原点，，P是平面内一动点，且，记动点P的轨迹为
求C的方程.
已知不经过原点且斜率存在的直线l与C相交于M，N两点，且，试问l是否经过定点?若经过，求出该定点坐标;若不经过，说明理由.
22.如图，在斜三棱柱中，是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，的中点，且
证明：
若，，求平面与平面夹角的余弦值.
湖北省荆州中学2023-2024学年第一学期期中考试试题
高二数学参考答案
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养，属于基础题.
【解答】
解：
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的分布的问题、含参数的交集运算问题，属基础题.
【解答】
解：因为，，所以，
则当，即时，，则，不合题意；
当，即时，方程有两个不等实根，
又二次函数的对称轴为，
则要使，只要，解得
综上可知，m的取值范围为
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，考查直观想象的核心素养.属于基础题.
【解答】
解：由题
，
，
在方向上的投影向量为
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查随机事件的关系，考查数学运算、逻辑推理，属于基础题.
【解答】
解：由题可知，A与B互为对立事件，且
故选：
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属基础题.
【解答】
解：由余弦定理知，，则，解得或舍去
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中点到直线的距离，考查数学运算的核心素养.
【解答】
解：由题，，
则在上的投影向量的模为，
则点A到直线BC的距离为
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，考查直观想象、逻辑推理的核心素养，属于中档题.
【解答】
解：因为定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，所以的图象大致如图所示.
由，得或
解得或或
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了点关于直线的对称问题，属中档题.
【解答】
解：因为，
所以表示直线上一点到，两点距离之和的最小值.
易知P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点，
则解得即，
故
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查统计，考查数学运算的核心素养.
【解答】
解：因为x，，，，9的平均数为6，
所以，解得，
则这组数据为3，5，6，7，由，
得这组数据的第70百分位数为
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查直线的位置，考查直观想象的核心素养，属于中档题.
【解答】
解：若A，B在l的同侧，则，因为，所以l的方程为若A，B
在l的两侧，则l经过线段AB的中点，此时l的方程为
故答案选：
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及圆中三角形的面积，属中档题.
【解答】
解：将直线l的方程转化为，
令解得
即直线l经过定点，则圆心O到直线l的距离，
设，则，故，即
则的面积
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查立体几何中直线与平面所成角的正弦值，考查直观想象的核心素养.
【解答】
解：因为F在平面ABCD的投影为AB的中点，且，，所以F到平面ABCD的距离为1，，P到平面ABCD的距离为2，则点B到FG的距离为，
则的面积为，的面积为根据对称性可知，该几何体的表面积为，A正确.
将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且A，B，C，D，N，P，Q，M均在球面上，设球心到下底面ABCD的距离为x，则，解得，则该球体的半径为，体积为，B不正确.
以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，平面ABF的一个法向量为，则，，故直线CP与平面ABF所成角的正弦值为，c正确.
设平面BFG的法向量为，则令，得，则点M到平面BFG的距离为，D正确.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的切线，考查直观想象的核心泰养，属于基础题.
【解答】
解：由图可知，
其中一条切线为x轴，切点为坐标原点.
因为，
则，直线AB的方程为
14.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了两条直线垂直的应用，属基础题.
【解答】
解：因为，所以，解得
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心泰养.
【解答】
解：，
由，
得
由，
得，
则，
解得
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线的夹角，考查直观想象、数学运算的核心泰养，属于较难题.
【解答】
解：设，连接NP，图略，则直线NP即直线易证得，由，N为的中点，得
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨令，则，，，，
，，
，，
故直线l与直线所成角的余弦值为
17.【答案】解：因为，所以，
联立方程组
解得
故直线与的交点坐标为
因为，所以，解得或
当时，与重合，不符合题意
当时，与不重合，符合题意.
故

【解析】本题考查了两条直线的交点坐标、两条直线垂直的应用，属基础题.
18.【答案】解：由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，
设该圆的半径为r米，则，解得，
故该圆弧所在圆的方程为
设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则，解得
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道能并排通过4辆该种汽车.
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.

【解析】本题考查圆的标准方程，及应用，属于中档题.
19.【答案】解：由题可知，第3回合由乙发球的概率为
前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3
甲赢的回合数为3的概率为，
甲赢的回合数为2的概率为，
故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为

【解析】本题考查了概率的计算，属于中档题.
20.【答案】证明：设为空间的一个基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，
所以，
又，所以
由向量共面的充要条件可知，、、共面，
又、、都过同一点B，
故B，E，G，F四点共面.
解：由正四棱锥的对称性知，，
设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得
由，得
则

【解析】本题考查了空间向量共面定理、空间向量的线性运算、棱锥的体积等知识，属中档题.
21.【答案】解：设，则，
由，得
整理得，
故C的方程为
经过定点，设，，
则由可知，则，
由，得，即①
同理可得，②
①-②得，则
设直线l与y轴交于，则由M，N，Q三点共线可知，
整理得
则，即l过定点

【解析】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系，属于中档题.
22.【答案】证明：因为是等边三角形，Q为的中点，所以
又，所以
因为，，所以平面
又平面，所以
解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得，则，且
由，得因为，所以，即，从而平面
以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，MQ所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，
设平面的法向量为，则
，得
由图可知，是平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，则

【解析】本题考查了面面角角的向量求法，线线垂直，属于中档题.