2024年中考数学精选压轴题之三角形全等练习附解析

这是一份2024年中考数学精选压轴题之三角形全等练习附解析，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，且∠OAB=90°，A(−1,3)则点B的坐标是（ ）
A．(1,4)B．(2,4)C．(3,4 )D．(4,4)
2．如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为．（ ）
A．32B．4C．25D．4.5
3．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠CAD交BD于点E.过点E作EF⊥AE，交BC于点F，若四边形AEFB的面积为1，则CD的长为（ ）
A．22B．1C．2D．2
4．如图，O是等边△ABC内一点，OA=6,OB=8,OC=10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO'=24+123；⑤S△BOC=12+163．其中正确的结论有（ ）个
A．5B．4C．3D．2
5．如图，已知 △ABC 和 △ADE 都是等腰三角形， ∠BAC=∠DAE=90° ， BD，CE 交于点F，连接 AF ，下列结论：①BD=CE ；②BF⊥CF ；③AF 平分 ∠CAD ；④∠AFE=45° .其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC2的值是（ ）
A．10B．13C．20D．26
7．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形ABCD，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2.若EG∥CF，EG=3，S1S2=16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23B．94C．32D．92
8．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF:FB=1:2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM，有如下结论：①DE=AF；②AN=24AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANF:S四边形CNFB=1:8．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③④⑤
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①④
11．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
①AD=BE ；②PQ∥AE； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60∘
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
12．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA.其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13． 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF，DC相交于点G，若DG=8，BC=12，则EH= ．
14．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，点E在边AB上，将△BCE沿CE叠至△FCE． 若EF的延长线经过点D，CF平分∠ACB，BE=1，则DEAE的值为 ，AB的长为 ．
15．如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝ .
16．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF=AG，则BE的长为 ．
17．如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6，∠EAF=45°，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若CE=4，则DN为 ．
18． 如图， 在 △ABC 中， ∠BAC=30°，AD 平分 ∠BAC， 点 E 在 BC 的延长线上， ∠CAE=75°， 若 CE=BA+AC， 则 ∠B的度数为 ．
三、解答题
19．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE2＝AD2+BE2（不必证明）；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上．
（1）若AC=3，BC=4，MD⊥AB(如图①)，求MD的长；
（2）过点M作ME⊥MD与边AC交于点E(如图②)，试探究：线段AE、ED、DB三者之间的数量关系，并证明你的结论．
21． 已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB=AC，AD=AE，若点D在BC边上运动时，总保持∠ADE=∠B，连接CE,DE与AC交于点F．
（1）①如图1，当点D为BC边中点时，则CEBC的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为BC边中点时，求证：CE=BD；
（2）如图3，当点D在BC边上运动中恰好使得AE∥BC时，若AB=5，BC=6，求DF的长．
22．Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6，点D是Rt△ABC直角边BC所在直线l上一点，连接AD，以AD为直角边向上作等腰△ADE，∠ADE=90°，AD=DE，过点E作EF⊥l，垂足为F．
（1）如图1，当点D在线段BC上，且CD=2时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出DF= ；EF= ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且CD=2时：
①请你由观察、猜想直接写出EF=_▲_；
②请你规范、严谨的证明：CD=BF．
（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，且BD=2时，点P为线段AD上任意一点，以CP为斜边向上做等腰Rt△CPG，CG=PG，∠CGP=90°，连接AG，已知AD=10，请你直接写出当AG长度最短时，线段AP的值为 ．
23．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．
（1）如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；
（2）如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；
（3）如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关 系，并证明你的猜想．
24．如图，CD为△ABC的中线，以CD为直角边在其右侧作直角△CDE，CD丄DE，BC与DE交于点F，∠CED=30°．
（1）如图1，若CF=EF=5，求CD的长；
（2）如图2，若将BC绕点C逆时针旋转120°得到CG，连接AG、AE，探究AG、AE的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=90°，AC=2，BC=23，直线CE上有一点M，连接MF，将△CFM沿着MF翻折到△ABC所在的平面内得到△NFM，取NF的中点P，连接AP，当AP最小时，请直接写出△APB的面积．
25．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，BC＝DC，在边BC、DC所在直线上分别有E、F两点，且始终有∠EAF=12∠BAD.
（1）如图1，当E、F在BC、DC上，AE＝AF时，求证：BE＋DF＝EF；
（2）如图2，当E、F在BC、DC上，AE≠AF时，（1）问中的结论是否仍成立请说理；
（3）如图3，当E、F在边BC、DC的延长线上时，直接写出BE、DF、EF之间的数量关系，不必证明.
26．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，点D是边AC上一点，连接DB，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E
（1）如图1，若AF⊥BD于点F，求证：CE=BF；
（2）如图2，在线段EC上截取EG=EB，连接AG交BD于点H，求证：CG=2EH；
（3）如图3，若点D为AC的中点，点M是线段BC延长线上的一点，连接DM，求CM，BM，DM的数量关系
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，
∵A（-1，3），
∴AD=3，OA=1，
∵BC⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AD⊥BC，
∴∠ADO=∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠BAC+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠CBA，
在△ADO与△BCA中，
∵∠BCA=∠ADO=90°，∠ABC=∠OAD，AB=AO，
∴△ABC≌△OAD（AAS）
∴BC=AD=3，AC=OD=1，
∴CD=AD+AC=4，
∵∠ADO=∠DOE=∠OEC=∠ECD=90°，
∴四边形DOEC是矩形，
∴CE=DO=1，
∴BE=BC-CE=2，
∴点B(2，4).
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，根据点A的坐标易得AD=3，OA=1，然后用AAS判断出△ABC≌△OAD，得BC=AD=3，AC=OD=1，则CD=AD+AC=4，进而证四边形DOEC是矩形，得CE=DO=1，则BE=BC-CE=2，从而即可得出点B的坐标.
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由旋转的性质得∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴∠ABC=∠OBO'，
∴∠ABO'=∠OBC，
在△BO'A和△BOC中，
BO'=BO∠O'BA=∠OBCBA=BC，
∴△BO'A≌△BOC(SAS)，
∴O'A=OC．
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；
如图1，连接OO'，根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，
∴点O与O'的距离为8，故②错误；
在△AOO'中，AO=6，OO'=8，AO'=10，
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°．
∴Rt△AOO'面积=12×6×8=24，
又等边△BOO'面积=12×8×43=163，
∴四边形AOBO'的面积为24+163，故④错误；
∵∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°，故③正确；
如图2，过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，
∵∠AOB=150°，
∴∠BOE=30°，
∵OB=8，
∴BE=4，
∴S△AOB=12×4×6=12，
∴S△BOC=S四边形AOBO'−S△AOB=24+163−12=12+163，故⑤正确，
综上，正确的有①③⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】先用SAS证明△BO'A≌△BOC，根据旋转的性质可得①正确；根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，则点O与O'的距离为8，故②错误；根据四边形AOBO'的面积=等边△BOO'面积+Rt△AOO'面积，进行计算即可得出④错误；由∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°可得③正确；过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，求出BE=4，然后根据SΔBOC=S四边形AOBO'−S△AOB计算，可得⑤正确．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC， ∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°，
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE，
∴12BD⋅AM=12CE⋅AN
∵BD=CE
∴AM=AN
∴AF 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD.
故③错误；
∵AF 平分∠BFE， BF⊥CF
∴∠AFE=45°
故④正确.
故答案为C.
【分析】①证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AF平分∠BFE，即可判定；④由AF平分∠BFE结合 BF⊥CF 即可判定.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：分别过A、C作l3的垂线AE、CF，垂足分别为E、F，CF交l2于M，如图所示：
∴∠AEB=∠BFC=90°.
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
又∵AB=BC，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=FC，BF=AE.
∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，
∴FC=CM+FM=1+2=3，AE=2，
∴BE=FC=3，BF=AE=2.
∴AB=AE2+BE2=22+32=13.
∴BC=AB=13.
∴AC2=BC2+AB2=132+132=26.
故答案为：D
【分析】作辅助线构建平行线的距离，由已知得：FC=1+2=3，AE=2，根据AAS证明△AEB≌△BFC，得BE=FC=3，先由勾股定理求得AB=BC长，再由勾股定理求得AC2的长.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：连接GF、HF，HE，
由题意可知：DE=CG=BF=AH，DG=CF=BH=AE，∠ADE=∠DCG=∠CBF=∠BAH，∠DAE=∠CDG=∠BCF=∠ABH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠EDG=∠GCF，
∴△EDG≌△GCF(SAS)，
∴EG=GF，
同理可证：△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，
则：EG=GF=FH=HE，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EG∥HF，
又∵EG∥CF，
∴C，F，H在同一直线上，
又∵∠CBA=∠ABH+∠FBH+∠CBF=∠BCF+∠FBH+∠CBF=90°，
∴∠BHC=90°，
∵△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE
∴∠BHC=∠CFG=∠DGE=∠AEH=90°，则∠GFH=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴D，G，F在同一直线上；A，E，G在同一直线上；B，H，E在同一直线上；
设DG=CF=BH=AE=x，
则S1=12AE⋅DG=12x2，S2=12EG⋅GF+12GF⋅CF=12×3×3+12×3x=9+3x2，
∵S1S2=16，即：12x29+3x2=16，
∴x=32，（负值已舍去）
∴S阴=4S1=4×12x2=4×12×32×32=92，
故答案为：D.
【分析】连接GF、HF、HE，由题意可得DE=CG=BF=AH，DG=CF=BH=AE，∠ADE=∠DCG=∠CBF=∠BAH，∠DAE=∠CDG=∠BCF=∠ABH，根据正方形的性质可得∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，推出∠EDG=∠GCF，利用SAS证明△EDG≌△GCF，同理可证△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，得到EG=GF=FH=HE，推出四边形EGFH为菱形，根据全等三角形的性质可得∠BHC=∠CFG=∠DGE=∠AEH=90°，得到四边形EGFH为正方形，设DG=CF=BH=AE=x，根据三角形的面积公式表示出S1、S2，结合S1S2=16可得x的值，然后根据S阴影=4S1进行计算.
8．【答案】C
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，
∵CE⊥DF
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∠ADF=∠DCE
∴△ADF≌△DCE(ASA)，
∴DE=AF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴AFCD=ANCN，
∵AF:FB=1:2，
∴AF:AB=AF:CD=1:3，
∴ANCN=13，
∴ANAC=14，
∵AC=2AB，
∴AN2AB=14，
∴AN=24AB，故②正确；
作GH⊥CB于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=10a，BG=32a，
∵∠DCE=∠DCM，∠CDE=∠CMD=90°，
∴△CMD∽△CDE，
∴CMCD=CDCE，
∴CM=91010a，
∵∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠HCG=90°，
∴∠DEC=∠HCG，
又∵∠CDE=∠CHG=90°，
∴△GHC∽△CDE，
∴CHDE=CGCE，
∴CH=91020a，
∴CH=MH=12CM，
∵GH⊥CM
∴GM=GC
∴∠GMH=∠GCH
∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠FMG=∠DCE
∵∠ADF=∠DCE，
∴∠ADF=∠GMF，故③正确；
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴AFCD=FNDN=13，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴S△ANF:S四边形CNFB=1:11，故④错误；
综上①②③正确，共3个，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质结合题意对①②③④逐一判断，进而即可求解。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∠ABC=60°，
∴∠ABP与∠PBC不一定相等，故①错误；
∵△PQB和△ABC都为等边三角形，
∴PQ=QB=PB，AB=CB=AC，∠Q=∠QBP=∠ABC=∠60°，
∴∠QBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=60°，
∴∠QBA=∠PBC，
∴△QBA≌△PBC(SAS)，
∴AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，
∴PC∥QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，△ABC的周长最小，
此时∠QBA=30°，∴∠QBC=∠QBA+∠ABC=30°+60°=90°，
即当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，故⑤正确．
故答案为：D．
【分析】根据点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∠ABC=60°，可知∠ABP与∠PBC不一定相等，可判断①；证明出△QBA≌△PBC(SAS)，可得AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，即可推出PC∥QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，即可判断⑤．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BF⊥BC，
∴∠CBF=90°，
∴∠ACD=∠CBF，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°
∴∠CAD+∠ACE=90°，
∵∠ACB=90°
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
在△ACD和△CBF中，
∠ACD=∠CBFAC=CB∠CAD=∠BCF，
∴△ACD≌△CBF，
故①正确；
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=12×90°=45°，
∵∠CBF=90°，
∠MBF=90°−45°=45°，
∴∠ABC=∠MBF
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∵△ACD≌△CBF，
∴BF=CD，∠F=∠ADC，
∴BD=BF，
在△BDM和△BFM中，
BD=BF∠ABC=∠MBFBM=BM，
∴△BDM≌△BFM(SAS)，
∴∠F=∠BDM，
∴∠BDM=∠ADC，
故②正确；
连接AF，
∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
在Rt△ACD中，AC