湖北省武汉市东西湖区2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份湖北省武汉市东西湖区2023-2024学年七年级下册期中数学试题（含解析），共21页。
1、本试卷由选择题和非选择题两部分组成，三大题，24小题，全卷共6页，考试时间120分钟，满分120分.
2、试卷选择题及非选择题答案均写在答题卡上，写在试卷上无效.
预祝你取得优异成绩!
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑.
1．在下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若是方程的一个解，则a的值是（ ）
A．8B．4C．3D．0
4．如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．东西湖区几处景点分布如图所示．若分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示极地海洋世界的点的坐标是，表示五环体育中心的点的坐标是，则表示园博园的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．在实数，3.14159265，，，，0，，中，无理数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）

A．B．C．D．
8．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（ ）
A．B．C．D．
9．若实数满足，则，，和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．2024年2月，“顺遂安康 龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置两盏激光灯（如图所示），灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转.两灯不间断照射；灯先转动2秒，灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．3或6秒D．1或8.5秒
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11． ．
12．在方程中，用含有的式子表示，则 ．
13．点到轴的距离是 ．
14．如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，则A，D两点之间的距离为 ．

15．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元法来解决”．参考他们的讨论，该方程组的解是 .
16．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算或解方程
(1)计算：；
(2)解方程：．
18．解下列二元一次方程组.
(1)
(2)
19．如图,在三角形ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点, ∠ADE=60°, ∠B=60°，∠AED=40°；
(1)求证:DE//BC;(2)求∠C的度数；
20．如图，于点，于点，如果，那么和相等吗?请阅读以下证明过程，并补全所空内容．
证明：，理由如下.
，（已知）
_______（___________________）
（___________________）
________（___________________）
又（已知）
________（同位角相等，两直线平行）
________（___________________）
（等量代换）
21．如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形
(1)画出平移后的三角形，写出，，的坐标；
(2)求三角形的面积；
(3)若点M在y轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，则点M的坐标为________.
22．【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦公顷和公顷.
（1）用的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦___公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦___公顷；
（2）建立模型，解决实际问题.求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
【方案决策】
（3）随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作，连续土作20天，共收割小麦420公顷.为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案.
23．，点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且
(1)如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
24．如图1，在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应）且四边形的面积为8．
(1)直接写出的值及点的坐标；
(2)连接与轴交于点，求的值；
(3)如图2，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值?如果是定值，请求出它的值：如果不是定值，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查的是对顶角和邻补角的概念和性质，掌握有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解题的关键，根据对顶角的概念解答即可．
【解答】解：利用对顶角的定义可得出：
符合条件的只有B，
故选B．
2．D
【分析】本题考查平面直角坐标系中，各个象限中点的坐标特征，熟记各个象限中点的坐标特征是解决问题的关键．根据平面直角坐标系各个象限中点的坐标特征，结合横坐标、纵坐标情况即可得到答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴点位于第四象限，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是本题的关键．将代入方程即可求a．
【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】根据垂线的定义可得，根据，根据对顶角的定义，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了垂线及对顶角的性质，熟练掌握垂线的意义及对顶角的性质进行求解是解决本题的关键．
5．C
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标建立平面直角坐标系，进而即可得出园博园的点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键．
【解答】解：表示极地海洋世界的点的坐标是，表示五环体育中心的点的坐标是，
建立如图所示的平面直角坐标系，
，表示园博园的点的坐标是，
故选：C．
6．C
【分析】根据无理数的定义即可解答．
【解答】解：，
在，3.14159265，，，，0，，中，，和是无理数，共3个，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了无理数的定义，熟知无理数是无限不循环小数，无理数的三种形式是解决问题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查平行线的性质，理解题意，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据平行线的性质，，即可得到答案．
【解答】解：由平行线的性质可得，
，，
，
，
故选B．
8．A
【分析】设鸡有x只，兔有y只，然后根据从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚列出方程组即可．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
由题意得：，
故选A．
【点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据题意得出，，再结合，即可得出，从而得解．
【解答】解：，
，，
，，
，
，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，设灯旋转的时间秒，根据灯光束的运动情况得出，分情况，根据平行线的判定，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握平行线的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【解答】解：设灯旋转的时间秒，
灯光束第一次达到需要（秒），
，即，
由题意，满足以下条件时，两灯的光速能互相平行，
如图，，
，
此时，
解得：；
如图，，
，
此时，
解得：；
综上所述，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是1或8.5秒，
故选：D．
11．9
【分析】根据算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根求解即可．
【解答】解：，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
12．##
【分析】本题考查了解二元一次方程，移项即可得出答案，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【解答】解：在方程中，用含有的式子表示，则，
故答案为：．
13．3
【分析】根据到x轴的距离等于点的纵坐标的长度是解题的关键．
【解答】解：点（2，-3）到x轴的距离为|-3|=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了点的坐标，熟记到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
14．4
【分析】根据平移的性质可得，再根据线段的和差进行计算即可．
【解答】解：由平移的性质得：，
，
，
∴，
即A，D两点之间的距离为4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平移的性质、线段的和差，熟练掌握平移的性质是解题关键．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键．所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【解答】解：，
方程组中两个方程的两边都除以7，得，
∵方程组的解是，
∴，
∴，
故答案为．
16．255
【分析】根据[a]表示不超过a的最大整数，对81只需进行3次操作后变为1，由此分别对82，182，255，282进行操作，可得到只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的整数
【解答】解：.
；
；
；
；
∵只需进行3次操作后变为1的所有正整数，
∴最大的数是255.
故答案为：255.
【点拨】本题考查取整函数及估算无理数的大小，正确理解取整含义是求解本题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用立方根的定义解方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减即可得出答案；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：，
，
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次程组的解法，解题关键是掌握方程组解法中的代入消元法．
（1）把方程①代入②消去y，解得，再代入求y，答案可求；
（2）整理方程②，得，代入方程①得，把代入③，解得答案可求；
【解答】（1）解：，
把方程①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
方程组的解是；
（2），
由②得：，
把③代入①，得：，
解得：，
把代入③，得：，
方程组的解是；
19．(1)见解析;(2) 40°
【解答】（1）∵∠ADE=∠B=60°
∴DE∥BC
（2）∵DE∥BC
∴∠C=∠AED
又∵∠AED =40°
∴∠C=40°．
20．；垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂线的定义，根据垂线的定义得出，推出，由平行线的性质得出，由平行线的判定得出，推出，即可得证．
【解答】证明：，理由如下.
，（已知）
（垂线的定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换），
故答案为：；垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等．
21．(1)图见解析，，，
(2)11
(3)或
【分析】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离，并掌握平移变换的定义及其性质，据此得到变换后的对应点．
（1）由点经平移后对应点为知，向右平移4个单位、向上平移3个单位即可得到，据此得出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）设点M坐标为，根据三角形的面积等于三角形的面积得出，解之可得答案．
【解答】（1）解：点经平移后对应点为，
向右平移4个单位、向上平移3个单位即可得到，
即为所求，
，，；
（2）三角形的面积；
（3）设点M坐标为，
，，
，
解得：或．
22．（1），；（2）1台大收割机每小时各收割小麦公顷，1台小收割机每小时收割小麦公顷；（3）共有种引进收割机的方案
【分析】本题考查了列代数式、二元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列出二元一次方程组，解方程即可得出答案；
（3）设引进台大收割机，台小收割机，根据“每台收割机每天工作，连续土作20天，共收割小麦420公顷”列出二元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦公顷，
故答案为：，；
（2）由题意得：，
解得：，
1台大收割机每小时各收割小麦公顷，1台小收割机每小时收割小麦公顷；
（3）设引进台大收割机，台小收割机，
由题意得：，
整理得：，
，均为非负整数，
或或或，
共有种引进收割机的方案．
23．(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．
（1）如图1，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质分别求得，，再根据，即可求出①②结论；
（2）如图2，过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到，再根据角平分线的性质，得到，，进而可求出的值；
（3）如图3，设直线交于点，与相交于点，由得到，根据三角形外角与内角关系得到，进而得到，再由三角形外角与内角关系求得，即可得到与的关系，即，再由题意可求得，，然后由，化简可得方程，求解即可．
【解答】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，
①，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：如图2，过点作，过点作，
，
，
，，，
，
平分，平分，
，，
又由（1）得，
，
．
（3）解：如图3，设直线交于点，与相交于点，
，
，
，
，
，
，
即，
，在内，，
，
，
，
，
，
即，
，
解得．
24．(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)
(3)的值是定值
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形—平移变化，三角形面积公式，灵活运用所学知识点是解此题的关键．
（1）先根据点坐标的平移特征得出点的坐标，再根据四边形的面积得出，由平移的性质可得，即可得解；
（2）由求出，再得出，从而得解；
（3）分两种情况：当点在线段上时，连接；当点在上时，连接；分别求出的值即可．
【解答】（1）解：点向右平移4个单位得到点，
点的坐标为，
，，
，
，
由平移的性质可得：，
点的坐标为；
（2）解：，
，即，
解得：，
，
；
（3）解：的值是定值，
理由如下：
①如图，当点在线段上时，连接，
，
设运动时间为秒，
由题意得：，，
，，
，
，
；
②如图，当点在上时，连接，
，
由①可得，
；
综上所述，的值是定值．