2024年浙江省杭州市中考数学二模练习试卷（原卷+解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，
小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【答案】D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 如图所示的几何体，它的左视图正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：根据题意，
从左面看易得上面有1个竖起来的长方形，下面有2个横着的长方形；
故选：D．
第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，
杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：C．
4. 某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，16B．15，15C．15，15.5D．16，15
【答案】A
【详解】∵14岁有1人，15岁有4人，16岁有3人，17岁有2人，18岁有2人，
∴出现次数最多的数据时15，
∴队员年龄的众数为15岁；
∵一共有12名队员，
∴因此其中位数应是第6和第7名同学的年龄的平均数，
∴中位数为（16+16）÷2=16，
故中位数为16．
故选A．
某校共有名学生，为了解假期阅读情况，随机调查了名学生，并绘制成如图所示的统计图．
图中表示阅读量的数据中，众数是（ ）

A．1本B．2本C．3本D．4本
【答案】A
【分析】本题考查了调查与统计中众数的概念，理解并掌握众数的概念和识别是解题的关键．
根据众数的概念，一组数据中出现次数最多的即为众数，由此即可求解．
【详解】解：根据条形统计图可知，1本的有人，2本的有14人，3本的有20人，4本的有16人，5本的有6人，
∴出现次数最多的是1本，
∴众数是1本，
故选：A ．
6 .已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
2024年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．15B．16C．17D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解，
【详解】解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选:．
8 .如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，
已知，，则四边形的周长是（ ）

A. 32B. 24C. 16D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
9. 对于二次函数．下列说法不正确的是（ ）
A．对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点和两点
B．该函数图象与x轴必有交点
C．若，当时，y随x的增大而减小
D．若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么
【答案】D
【分析】将二次函数解析式进行变形可得该二次函数的图象经过和两点，则A、B正确；求出抛物线对称轴，根据，结合二次函数的性质可得C正确；求出时，，，可知该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点时，则D错误．
【详解】解：A、∵，
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过和两点，故A正确；
B、∵该二次函数的图象过点，
∴该函数图象与x轴必有交点，故B正确；
C、∵二次函数的对称轴是直线，
∴若，则，该函数图象开口向下，
∴若，当时，y随x的增大而减小，故C正确；
D、∵，
∴当时，，，
∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么，故D错误；
故选：D．
10 .如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，
连结并延长交于点K，若平分，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点K作，设，先证得，可得，再证，可得，即，解出，再证，列比例式求解即可．
【详解】解：过点K作，设，
∵平分，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， 得到正方形与正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵
∴，
∴，
故选：C
二、填空题（有6小题，每小题4分，共24分）
11. 要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【解析】
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，．
12 .围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是 ．
【答案】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：
13.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到，且，求解即可,
本题考查了，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是：熟记一元二次方方程成立的条件．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故答案为：且．
14. 如图，四边形内接于，如果的度数为，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角是解题关键．先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
，
，
故答案为：．
如图，点，在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，
连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为2，则的值为 ．
【答案】36
【分析】先求解的坐标，再表示的坐标，利用 表示的坐标，再利用在的图像上，列方程解方程即可得到答案．
【详解】解： 的横坐标为2，且在的图像上，


轴，



在的图像上，


（不合题意舍去），
故答案为：
16.如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于_______

A．22B．20C．18D．16
解：过点P作，垂足为G、H，

由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：20
解答题：本题共8小题，共66分。其中：第17-19题6分，第20-21题8分，
第22-23题10分，第24题12分。
17.（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查了整式的混合运算以及解不等式组，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式以及单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，即可作答；
（2）先分别解出每个不等式，再取它们的公共部分解集，即可作答．
【详解】解：（1）原式．
（2）
解①式得，
解②式得，
．
18. 如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明，得到，利用，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴（）．
∴，
∴，即．
某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中
随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），
并将测试成绩分为四个等第：
基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），
制作了如图统计图（部分信息未给出）．

由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【答案】（1）见解析；（2）144°；（3）这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）估计该校获得优秀的学生有300人
【分析】（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题；
（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可；
（3）根据中位数的定义判断即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】解：（1）30÷15%＝200（人），
200﹣30﹣80﹣40＝50（人），
直方图如图所示：
；
（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°；
（3）这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80分-90分之间，
∴这次测试成绩的中位数的等第是良好；
（4）1500×＝300（人），
答：估计该校获得优秀的学生有300人．
20. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)点P的坐标为；
(3)或．
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
21 . 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图Ⅲ－10①是政府给贫困户新建的房屋，
如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，
为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为37°，
此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，
又测得屋檐E点的仰角为45°，房屋的顶层横梁，，交于点G
（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，）

(1)求屋顶到横梁的距离．
(2)求房屋的高（结果精确到1m）．
【答案】(1)屋顶到横梁的距离约为米
(2)房屋的高约为米．
【分析】（1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
（2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
（米）；
答：屋顶到横梁的距离约为米；
（2）过作于，
设，

在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，
，
解得：（米），
∴，
（米），
答：房屋的高约为米．
22.随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．

喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，
且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以O为原点，以为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），
其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，
使水柱经过上一点（包含两点），求h的取值范围．
【答案】(1)①画图见解析，；②7m
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是借助图形正确分析题意．
（1）①先以点为原点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意可设抛物线的顶点式，然后将点A的坐标代入即可求得抛物线的解析式．
②由于点B在x轴上，所以令，可求得与x轴的两个交点，取其正值即可求得喷灌器底端O到点B的距离；
（2）从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，可设分别经过点D、E的抛物线方程，然后用待定系数法将点D、E的坐标分别代入抛物线方程，可求得抛物线方程，分别令时可求得的最小值与最大值，于是可求得h的取值范围．
【详解】（1）①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
②令，得，解得：，，
∴，则，
∴喷灌器底端O到点B的距离为7m；
（2）如图所示：
∵，，
∴
∴，，
设，把代入得，
解得：，
∴，
当时，，
∴的最小值为，
∴；
设，把代入得，，
解得：，
∴，当时，，
∴的最大值为，
∴，
∴使水柱落在花坛的上方边上，
h的取值范围为．
定义，
若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，
这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，
若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．

(1)判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
(2)如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
如图②，中，以为直径的分别交、于点、，
已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
【答案】(1)①√；②×
(2)
(3)①；②
【分析】（1）①根据平行四边形的性质可知对角线平分的两个三角形全等，则平行四边形是倍分四边形；
②根据梯形的对角线不一定平分成两个面积相等的三角形，即可判断②
（2）根据题意得到，过点作于点，则，，勾股定理得出，即可得出，然后在中，勾股定理即可求解；
（3）①连接，，， 设交于点，根据四边形是倍分四边形．得出是倍分线，则，证明得出，设，则，得出，过点作于点，根据，勾股定理得到，即可求解；
②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得，则四边形是平行四边形，得出，证明得出，即可求解．
【详解】（1）解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，
∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴．
24 .综合与实践．
【问题发现】
如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，
过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．
【类比探究】
如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，
过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，
连接，．若，则当是直角三角形时，请求出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）证明，可得；
（2）通过证明，可得；
（3）求出，设，则，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，，
，
；
（2）解：，，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：由（2）知：，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
由（2）知，
，
，
又是直角三角形，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去），
当或时，点不存在，
当在延长线上时，设，则，
，，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
年龄(单位：岁)
14
15
16
17
18
人数
1
4
3
2
2