2024学年广东省广州市九年级学业水平考试数学冲刺模拟练习试题解析（原卷+解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选A．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的性质，即可判断出．
【详解】解：A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，则此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．此图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．此图形旋转180°后不能与原图形重合，则此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．此图形旋转180°后能与原图形重合，则此图形是中心对称图形，且是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3. 第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故选：C．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：由数轴得：，，
故选项A不符合题意；
∵，∴，故选项B不符合题意；
∵，，∴，故选项C不符合题意；
∵，，∴，故选项D符合题意；
故选：D．
如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．
若，则的长为（ ）
A．8B．9C．10D．15
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．
【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
6. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故选：C．
7. 如图．AB、BC为⊙O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，
若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（ ）

A．130°B．124°C．114°D．100°
【答案】B
【分析】如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得．
【详解】解：如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，
∵∠CBD＝62°．

∴．
∴∠AOC＝2∠E＝124°．
故选：B．
8. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米B．米C．160米D．米
【答案】B
【分析】
过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
9. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【答案】C
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【详解】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
10. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）

A．22B．20C．18D．16
解：过点P作，垂足为G、H，

由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 在不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，
从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，那么白色棋子的个数是 ．
【答案】
【分析】设白色棋子的个数为x，利用概率公式得到
【详解】解：设白色棋子的个数为x，
根据题意得
解得x=8，
即白色棋子的个数为8．
故答案为8．
12. 已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
13. 代数式与代数式的值相等，则 ．
【答案】
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
14 .如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15 .甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．
乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）
之间的关系如图所示．时，两架无人机的高度差为 m．

【答案】20
【分析】本题主要考查求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
利用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面高度y与无人机上升的时间x之间的函数关系式，当时，分别求出两者的函数值，求出它们的差即可．
【详解】设甲无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间x之间的为，
当时，，
，解得，
；
设乙无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间x之间的为，
当时，；当时，，
，
解得：，
；
当时，，，
，
时，两架无人机的高度差为，
故答案为：20
如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，
小正方形的对角线向两边延长，分别交边于点，交边于点．
若是的中点，则的值为_______

【答案】
【分析】根据正方形的性质得到，，再利用锐角三角形函数得到，最后根据勾股定理及全等三角形判定与性质即可解答．
【详解】解：过点作于点，设，
∵是的中点，
∴，
∴,
∵在正方形中，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【分析】先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
18 .如图，四边形中，，，E，F是对角线上两点，且．
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据得，证明即可．
【详解】∵，
∴，
在和中
∴．
19. 先化简，再求值：，其中满足
【答案】，．
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，
测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，
并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据统计图中的信息解答以下问题；
本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，
并把条形统计图补充完整；
依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，
则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，
现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，
请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
21. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，
其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，
灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．经使用发现：
当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．
（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】点D到桌面AB的距离约为43.4cm
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题．
【详解】解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如图所示，

∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，
∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，
∴四边形BCFG为矩形，
∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm，
又∵∠DCB＝140°，
∴∠DCF＝50°，
∵CD＝33cm，∠DFC＝90°，
∴DF＝CD•sin50°≈33×0.77＝25.41（cm），
∴DG≈25.41+18≈43.4（cm），
答：点D到桌面AB的距离约为43.4cm．
如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，
反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．

(1)求点的坐标和反比例函数的解析式：
(2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，
使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为；
(2)存在，或或
【分析】（1）过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质分别求出、，求出点的坐标，进而求出反比例函数解析式；
（2）过点作轴于点，同（1）得出点的坐标，进而求得的解析式，设，，又，，根据分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，
则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入，
得，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，
同（1）可得，
∴
∴
设直线的解析式为，则
解得：，
∵点为直线上的一动点（不与点重合），点在轴
设，，又，
①当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：，则
综上所述：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
如图，以的边为直径作分别交，于点D，E，过点E作，垂足为F，
与的延长线交于点G．

(1)以下条件：
①E是劣弧的中点：②；③．
请从中选择一个能证明是的切线的条件，并写出证明过程：
(2)若是是的切线，且，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）选择：①连接，根据圆周角定理求得，
再根据垂径定理得，即可证明．
（2）先证明，再根据相似三角形的性质得到，即可解答．
【详解】（1）我选择的条件是第①个；
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
或（1）我选择的条件是第②个；
方法1：证明：连接BD，OE，
是直径，
，即，
，
，
∴，
又，
是的中位线，
，
，
是的切线．
方法2：证明：连接，
，
垂直平分线段，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）由（1）可知，
，
，
，
，
，即．
解得：．
问题背景：
如图（1），已知，求证：；
尝试应用：
如图（2），在和中，，，
与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：
如图（3），是内一点，，，，，
直接写出的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，
点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．
若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3；（3）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1CBP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
……
10
15
20
25
30
……
……
45
30
22.5
18
15
……