2024年广东省深圳市九年级学业水平考试数学三模冲刺练习试卷（原卷+解析）

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第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 两千多年前，中国人就开始使用负数 . 某班期末考试数学的平均成绩是83分，
小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【答案】D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，与距地约400000米的空间站核心舱成功对接，
数据400000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据400000用科学记数法可表示为，
故选：A．
4. 小强同学投掷30次实心球的成绩如下表所示：
由上表可知小强同学投掷30次实心球成绩的众数与中位数分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】解：∵成绩为的频数为10，出现的次数最多，
∴众数为，
把这30次成绩从低到高排列，处在第15名和第16名的成绩分别为，
∴中位数为，
故选D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
测得，，，则点到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于点D，根据解直角三角形，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：

在中，，
故选：A．
7. 如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC =（ ）

A．120°B．110°C．105°D．100°
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圆周角定理即可得出．
【详解】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故选：D．
8 .“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重和公民的文明素质．
如图，在某路口的斑马线路段中，米．当绿灯亮时，
小刚通过共用时10秒，其中通过的速度是通过速度的1.3倍，
求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米/秒，则根据题意列方程为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由通过速度是通过的1.3倍可得出小刚通过的速度为米秒，利用时间路程速度，结合小刚共用时10秒通过，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：米，
米．
小刚通过的速度为米秒，通过的速度是通过的1.3倍，
小刚通过的速度为米秒．
又小刚共用时10秒通过，
．
故选：B．
如图，在中，，，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，
则下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．垂直平分线段
【答案】B
【分析】根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，根据作图可知，，垂直平分，得到，推出，进而得到，三线合一，推出垂直平分线段，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，进行判断即可．
【详解】由作图可知：，
∴垂直平分，
又∵点E在上，
∴B，故A正确，但不合题意；
∵
∴，又
∴，又
∴
∵垂直平分，
∴是等腰三角形，
∴
又，
∴，
∴，故C正确，但不符合题意．
由可知，垂直平分线段，
故D正确，但不符合题意．
由点A在线段的垂直平分线上知，
，
∴．
故B不正确，但符合题意．
故选：B．
边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，
连接CF交BD于H，则下列结论：
①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，
其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；
②通过证明，可得；
③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论；
④通过证明，可得，即可求解．
【详解】如图，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
又，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，故④正确，
故选：．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11 .若a2﹣b2＝80，a+b＝10，则a﹣b＝ ．
【答案】8
【分析】先根据平方差公式进行变形，再求出a﹣b即可．
【详解】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝80，a+b＝10，
∴a﹣b＝＝8，
故答案为：8．
12.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
13. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
14. 如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出则，即可求解．
【详解】解：方法一：∵，
∴
设，则，
∴
∵矩形的面积是6，是对角线，
∴的面积为，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵对角线轴，则，
∴,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
设，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：．
如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于__________．

【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点Q，根据菱形性质可得，根据折叠所得，结合三角形的外角定理得出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点A作于点Q，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵由沿折叠所得，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．

三、解答题（本题共7小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16 .计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
17. 先化简：，再从中选择一个合适的数作为x代入求值．
【答案】，当时，值为2
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的除法，再计算分式的减法，然后根据分式有意义的条件选择合适的数代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴将代入得：原式．
18. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得；
（2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得；
（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
19 .某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件？
(2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
解：（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得，，
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件．
（2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，
∴，
由题意得，
解得，
∵ ， ，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大利润元，
∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．
20. 如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，．
（1）求证：为的切线；
（2）延长交于点E，连接，若且，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意连接，利用全等三角形判定及性质即可判定切线；
（2）根据题意判定为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：连接，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，
则，，，
在和中，和，
即，
解得：，
∴的半径为．
21．随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．

(1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
①以O为原点，以为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
②求喷灌器底端O到点B的距离；
(2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱经过上一点（包含两点），求h的取值范围．
【答案】(1)①画图见解析，；②7m
(2)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是借助图形正确分析题意．
（1）①先以点为原点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意可设抛物线的顶点式，然后将点A的坐标代入即可求得抛物线的解析式．
②由于点B在x轴上，所以令，可求得与x轴的两个交点，取其正值即可求得喷灌器底端O到点B的距离；
（2）从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，可设分别经过点D、E的抛物线方程，然后用待定系数法将点D、E的坐标分别代入抛物线方程，可求得抛物线方程，分别令时可求得的最小值与最大值，于是可求得h的取值范围．
【详解】（1）①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，把代入得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
②令，得，解得：，，
∴，则，
∴喷灌器底端O到点B的距离为7m；
（2）如图所示：
∵，，
∴
∴，，
设，把代入得，
解得：，
∴，
当时，，
∴的最小值为，
∴；
设，把代入得，，
解得：，
∴，当时，，
∴的最大值为，
∴，
∴使水柱落在花坛的上方边上，
h的取值范围为．
22. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，
连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，
以为腰作等腰，使，，连接，
判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，
以为边作正方形，是正方形的中心，连接．
若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
解：（1）问题发现：
∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解决问题：连接、，
如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，
即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．成绩（）
12
频数
1
6
9
10
4
批发价（元）
零售价（元）
红色文化衫
25
45
蓝色文化衫
20
35