2024年天津市九年级中考数学三模冲刺卷（原卷+解析）

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．若（ ），则括号内的数为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】已知积与一个因数求另一个因数，用除法，再列式计算即可．
【详解】解：由（ ），
可得括号内的数为：，
故选C．
2.估计的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义估计无理数的大小，即可得出答案．
【详解】，
，
即，
故选：B．
3. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间有一个小正方形，
故选：B．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称的定义判断即可；
【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意；
故选： C．
为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，清洁能源将发挥重要作用．
风能是一种清洁能源，我国陆地上风能储量就有兆瓦，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法是把一个数表示成与的次幂相乘的形式（）的记数法即可解答．
【详解】解：，
故选．
6. 方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：
①②得，
把代入①得

故选：C．
7. 计算 = （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先通分，然后根据分式的减法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的增减性进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，，
∴，
故选A．
9. 若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣C．a≥﹣D．a≤﹣且a≠0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，
∴，
解得：且．
故选A．
10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）

A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
∴三点在以为圆心直径的圆上，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：D．
如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，
点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
12. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】由题意可知：，，，
，
，即，得出，故①正确；
，
对称轴，
，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．
从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．
14. 计算的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
15. 计算：的结果等于 ．
【答案】4
【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】解：
=（）2-（）2
=6-2
=4，
故答案为：4．
16.将直线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的直线解析式是 ．
【答案】
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【详解】解：将直线y=-2x先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=-2（x-1）+2，即y=-2x+4，
故答案为y=-2x+4．
如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，
与相交于点G，则的长等于 ．
【答案】
【分析】连接FB，作交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出FB为的中位线，进而求出FB，利用勾股定理求出AF，再证明，得出．
【详解】解：如图，连接FB，作交AB的延长线于点G．
∵四边形是边长为2的菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∵E为的中点，
∴，
∴，即点B为线段EG的中点，
又∵F为的中点，
∴FB为的中位线，
∴，，
∴，即是直角三角形，
∴．
在和中，
，‘
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．

（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；
（Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可．
【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1，
∴，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接并延长，与半圆相交于点E，连接并延长，与的延长线相交于点F，则OE为中位线，且，连接交于点G，连接并延长，与相交于点P，因为，则点P即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
【答案】（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）x≤1．
【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【详解】解：，
（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为x≤1．
20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2），请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次随机抽查的学生人数为_______，在图（2）中，“①”的描述应为“7分”，其中的值为__________；
(2)抽取的学生实验操作得分数据的平均数为__________分，众数为__________分，中位数为__________分；
(3)若该校九年级共有1280名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？
【答案】(1)；
(2)；；
(3)
【分析】（1）把各个分数段的人数相加，得出调查的总人数，再用整体1减去其它分数段所占的百分比，即可得出的值；
（2）平均数为40名学生成绩总和除以40，众数从条形图中能直接得到是9分，中位数需将得分从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；
（3）用总人数乘以理化生实验操作得满分的学生所占的百分比即可．
【详解】（1）解：本次随机抽查的学生人数为：（人），
∴．
故答案为：；．
（2）平均数为：（分），
由图表得知，众数是9分，
40名同学，中位数为从小到大排名第20和第21名同学的平均数，
由图表得知，排名后，第20和第21名同学得分均为8分，
∴平均数为8分．
故答案为：；；．
（3）根据题意得：
（人）．
答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人．
21. 已知内接于，点D是上一点．

（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知，，即可推出；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而求出．
（Ⅱ）连接，由平行线的性质可知．由圆内接四边形的性质可求出．再由三角形内角和定理可求出．从而由圆周角定理求出．由切线的性质可知．即可求出．
【详解】（Ⅰ）为的直径，
∴．
∵在中，，
∴；
∵，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵，
∴．
∵四边形是圆内接四边形，，
∴．
∴．
∴．
∵是的切线，
∴，即．
∴．
22 .如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，
向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）30°；（2）9m．
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．
周末，小亮从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍，
给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为_______．
②小亮从食堂到图书馆的速度为_______．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______．
④当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为_______．
（Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（Ⅰ）0.5，0.7，1；（Ⅱ）①0.3；②0.06；③0.1；④6或62；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，．
【分析】（Ⅰ）根据函数图象分析计算即可；
（Ⅱ）①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可；
③据速度等于路程除以时间进行计算即可；
④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂的过程，也有可能是从学校回宿舍；
（Ⅲ）分段根据函数图象，结合“路程=速度时间”写出函数解析式.
【详解】解：（Ⅰ）从宿舍到食堂的速度为0.22=0.1，
0.15=0.5；
离开宿舍的时间为23min时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为0.7km；
离开宿舍的时间为30min时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为1km
故答案依次为：0.5，0.7，1，
（Ⅱ）①1-0.7=0.3，
∴食堂到图书馆的距离为0.3；
故答案为：0.3；
②（1-0.7）（28-23）=0.06km/min,
∴小亮从食堂到图书馆的速度为0.06
故答案为：0.06；
③1（68-58）=0.1km/min,
∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1；
故答案为：0.1；
④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为，
则此时的时间为
当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为0.6km,
则从学校出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km)，
0.4 0.1=4(min)
58+4=62(min)
故答案为：6或62．
（Ⅲ）当时，；
当时，
当时，设，将（23，0.7）（28，1）代入解析式
，解得
∴．
24.如图，四边形OABC为直角梯形，已知AB∥OC，A点坐标为（3，4），AB＝6．
（1）求出直线OA的函数解析式；
（2）求出梯形OABC的周长；
（3）若直线l经过点D（3，0），且直线l将直角梯形OABC的面积分成相等的两部分，试求出直线l的函数解析式．
（4）若直线l经过点D（3，0），且直线l将直角梯形OABC的周长分为5：7两部分，
试求出直线l的函数解析式．
【解答】解：（1）设OA的解析式为y＝kx，
则3k＝4，
∴k＝．
∴OA的解析式为y＝x．
（2）如图，延长BA交y轴于点D．
∵BA∥OC，
∴AD⊥y轴．且AD＝3．
∴AO＝5，∴DB＝8+6＝9．
∴OC＝4，又BC＝OD＝4．
∴COABC＝OA+AB+BC+OC＝5+5+4+9＝24．
（3）如图
设点E的坐标为（a，3），
∴AE＝a﹣3，
由（2）得AB＝6，OC＝3，
∴S梯形OABC＝（AB+OC）×BC＝，
∵直线l经过点D（3，7），
∴OD＝3，
∵直线l将直角梯形OABC的面积分成相等的两部分，
∴S梯形OAED＝S梯形OABC＝×30＝15，
∴S梯形OAED＝（AE+OD）×BC＝，
∴a＝，
∴E（，4），
∵D（4，0），
∴直线解析式为y＝x﹣8．
（4）∵COABC＝24，故被l分成的两部分分别为10和14．
若l左边部分为10，则s＝10﹣3＝6，
∴P（5，4）．
设PD为：y＝mx+n，则，
∴，
∴y＝6x﹣6；
若l左边部分为14，则s＝14﹣3＝11，
∴P（4，4）．
∴，
∴，
∴y＝x﹣2．
已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点
点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，
过点作，垂足为．
（1）若．
①求点和点的坐标；
②当时，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．
【答案】（1）①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；
②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；
（2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：①由，得抛物线的解析式为．
∵，
∴点的坐标为．
当时，．解得．又点在点的左侧，
∴点的坐标为．
②过点作轴于点，与直线相交于点．

∵点，点，
∴．可得中，．
∴中，．
∵抛物线上的点的横坐标为，其中，
∴设点，点．
得．即点．
∴．
中，可得．
∴．又，
得．即．解得(舍)．
∴点的坐标为．
【小问2详解】
∵点在抛物线上，其中，
∴．得．
∴抛物线的解析式为．
得点，其中．
∵，
∴顶点的坐标为，对称轴为直线．
过点作于点，则，点．
由，得．于是．
∴．
即．解得(舍)．
同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，
则点，点，点．
∵，
∴．
即．解得(舍)．
∴点的坐标为．

离开宿舍的时间/
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/
0.2
0.7