2024年四川省成都市郫都区中考数学一诊试卷(含答案)

这是一份2024年四川省成都市郫都区中考数学一诊试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）实数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
2．（4分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从左面看得到的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．（﹣3x3）2＝﹣3x6
C．x3÷x2＝1D．2x•3x＝6x2
4．（4分）2023年10月26号，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时27000千米，数据27000用科学记数法表示为（ ）
A．2.7×106B．2.7×105C．2.7×104D．27×103
5．（4分）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有x个人，物品价格为y钱，则下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）如表是某跳水比赛时运动员获得的分数，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．9.75，9.8B．9.7，9.8C．9.8，9.7D．9.8，9.8
7．（4分）如图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF．添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D＝90°B．∠ACB＝∠DFEC．∠B＝∠ED．AB＝DE
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②c＞0；③2a+b＝0；④4a﹣2b+c＜0．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）因式分解：a3﹣9a＝ ．
10．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥BA．若∠B＝54°，则∠ACD的度数为 ．
11．（4分）如图，直线y＝kx+b不经过第三象限．若点M（x1，y1）、N（x2，y2）在该直线上，且y1、y2的大小关系为y1＞y2，则x1、x2的大小关系为 ．
12．（4分）已知关于x的分式方程﹣2＝有正数解，则k的取值范围为 ．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，CD＝5，∠B＝60°，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE．由作图的结果可得△ABE的周长为 ．
三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现需从D类的4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，这四人中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
16．（8分）如图，无人机从A处测得大楼CD底端点D处的俯角∠EAD＝45°，测得大楼CD顶端点C处的俯角∠EAC＝37°．已知点A、B、C、D都在同一平面上，无人机所处高度AB＝80m．求该大楼CD的高度．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，延长AB至点D，使得∠BCD＝∠CAB，点E为的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若CD＝2，，求CF•CE的值．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线y＝2x交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作BD∥AC，交y轴于点D，连接BC、CD．
（1）如图1，求点A、B的坐标；
（2）如图2，若四边形ABDC是平行四边形，求BD长；
（3）如图1，当四边形ABDC的面积为4时，求直线AC的解析式．
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）化简：＝ ．
20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则OP的长为 ．
21．（4分）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，则k＝ ．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与双曲线交于点A、点B，将直线AB向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D．M是第二象限内一点，连接MA、MB，若以M为位似中心的△MCD与△MAB位似，位似比为，则b的值为 ．
23．（4分）如图，菱形ABCD中，．若点P是菱形内一点，且PA＝10，PB＝5，PC＝8，则菱形ABCD的边长为 ．
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+80．
（1）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线y＝mx2+nx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴负半轴交于点C，且经过定点D（3，﹣2）．连接CD、OD，已知S△OCD＝3．
（1）如图1，求m与n的数量关系及c的值；
（2）如图2，当时，连接AC．将△AOC绕平面内某一点逆时针旋转90°后得到对应的△A′O′C′，并且点A′、C′刚好落在抛物线上，画出图象，求点O′的坐标；
（3）如图3，若过点E（0，2）的直线与抛物线交于F、G两点．试探究：是否存在常数m，使得FD⊥GD始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是射线AB上的动点，点E是边AC上的动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折到△ABC所在平面得△FDE，点F恰好落在直线DC上．
（1）如图1，当点F与点C重合时，若BC＝4，求AE长；
（2）如图2，当∠FEA＝90°时，求tan∠CDB的值；
（3）如图3，设直线DE与直线BC交于点M，当最小时，求的值．
2024年四川省成都市郫都区中考数学一诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（4分）实数a、b、c、d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【分析】首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最小的是哪个数即可．
【解答】解：根据图示，可得3＜|a|＜2，0＜|b|＜1，1＜|c|＜2，2＜|d|＜3，
所以这四个数中，绝对值最大的是b．
故选：B．
2．（4分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，从左面看得到的形状图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】从左面看到的图形是两列，其中第一列有两个正方形，第二列有1个正方形，作出判断即可．
【解答】解：从左面看是两列，其中第一列有两个正方形，第二列有1个正方形，
故选：A．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．（﹣3x3）2＝﹣3x6
C．x3÷x2＝1D．2x•3x＝6x2
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，故本选项计算错误，不符合题意；
B、（﹣3x3）2＝9x6，故本选项计算错误，不符合题意；
C、x3÷x2＝x，故本选项计算错误，不符合题意；
D、2x•3x＝6x2，计算正确，符合题意；
故选：D．
4．（4分）2023年10月26号，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时27000千米，数据27000用科学记数法表示为（ ）
A．2.7×106B．2.7×105C．2.7×104D．27×103
【分析】根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为a×10n，其中1≤|a|＜10，n的值为整数位数少1．
【解答】解：27000大于1，用科学记数法表示为a×10n，其中a＝2.7，n＝4，
∴27000用科学记数法表示为2.7×104，
故选：C．
5．（4分）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有x个人，物品价格为y钱，则下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据每人出8钱，则多出3钱，可得8x﹣3＝y，根据每人出7钱，则还差4钱，可得7x+4＝y，从而可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
6．（4分）如表是某跳水比赛时运动员获得的分数，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．9.75，9.8B．9.7，9.8C．9.8，9.7D．9.8，9.8
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的中位数为＝9.8，众数为9.8，
故选：D．
7．（4分）如图，点B、F、C、E都在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF．添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D＝90°B．∠ACB＝∠DFEC．∠B＝∠ED．AB＝DE
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BC＝EF，根据HL能判定Rt△ABC≌Rt△DEF，故不符合题意；
B、∵∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，BC＝EF，根据SAS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不能判定△ABC≌△DEF，故符合题意；
D、∵AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，根据SSS能判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
故选：C．
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②c＞0；③2a+b＝0；④4a﹣2b+c＜0．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再根据函数图象上点的坐标特征对所给结论依次进行判断即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
抛物线与x轴有2个不同的交点，
所以b2﹣4ac＞0．
故①正确．
因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
所以c＞0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以，
即2a+b＝0．
故③正确．
当x＝﹣2时，函数值小于零，
即4a﹣2b+c＜0．
故④正确．
故选：A．
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（4分）因式分解：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案为：a（a+3）（a﹣3）．
10．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥BA．若∠B＝54°，则∠ACD的度数为 36° ．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数，由CD∥BA，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
又∵CD∥BA，
∴∠ACD＝∠A＝36°．
故答案为：36°．
11．（4分）如图，直线y＝kx+b不经过第三象限．若点M（x1，y1）、N（x2，y2）在该直线上，且y1、y2的大小关系为y1＞y2，则x1、x2的大小关系为 x1＞x2 ．
【分析】由直线 y＝kx+b 经过第一、二、四象限，可得出 k＞0，b＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合 y1＞y2，即可得出 x1＞x2．
【解答】解：∵直线 y＝kx+b 经过第一、二、四象限，
∴，
∴y随x的增大而增大，
又∵点 M（x1，y1）、N（x2，y2） 在直线 y＝kx+b上，且 y1＞y2，
∴x1＞x2，
故答案为：x1＞x2．
12．（4分）已知关于x的分式方程﹣2＝有正数解，则k的取值范围为 k＜6且k≠3 ．
【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解；﹣2＝，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x＝2（x﹣3）+k，
解得x＝6﹣k≠3，
关于x的方程﹣2＝有正数解，
∴x＝6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，CD＝5，∠B＝60°，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE．由作图的结果可得△ABE的周长为 15 ．
【分析】由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，可得AE＝BE，又由于∠B＝60°，可得△ABE是等边三角形，即可得出答案．
【解答】解：由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵∠B＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∵在平行四边形ABCD中，CD＝5，
∴AB＝CD＝5，
∴AE＝BE＝5，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝15．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值、化简二次根式、代入三角函数值，再去括号，最后计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（5﹣）+2﹣3
＝1﹣5++2﹣3
＝﹣4；
（2）解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3．
15．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 40 人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是 108° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现需从D类的4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，这四人中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【分析】（1）用A类别的人数除以其所占的百分比可得参加这次调查的学生总人数．
（2）用360°乘以本次调查中B类别的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）求出C类别的人数，补全条形统计图即可．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的2名学生来自不同年级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%＝40（人）．
故答案为：40．
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是360°×＝108°．
故答案为：108°．
（3）C类别的人数为40﹣6﹣12﹣4＝18（人）．
补全条形统计图如图所示．
（4）将1名来自七年级的学生记为A，1名来自八年级的学生记为B，2名来自九年级的学生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共10种，
∴抽到的2名学生来自不同年级的概率为＝．
16．（8分）如图，无人机从A处测得大楼CD底端点D处的俯角∠EAD＝45°，测得大楼CD顶端点C处的俯角∠EAC＝37°．已知点A、B、C、D都在同一平面上，无人机所处高度AB＝80m．求该大楼CD的高度．
参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【分析】过C作CH⊥AB于H，根据矩形的性质得到CD＝BH，CH＝BD＝80m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABD＝90°，∠ADB＝∠EAD＝45°，
∴BD＝AB＝80m，
过C作CH⊥AB于H，
则四边形CDHB是矩形，
∴CD＝BH，CH＝BD＝80m，
在Rt△ACH中，∵∠ACH＝∠EAC＝37°，
∴AH＝CH•tan37°＝80×0.75＝60（m），
∴CD＝AB﹣AH＝80﹣60＝20（m），
答：大楼CD的高度为20m．
17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，延长AB至点D，使得∠BCD＝∠CAB，点E为的中点，连接CE交AB于点F，连接BE．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若CD＝2，，求CF•CE的值．
【分析】（1）根据等腰三角形性质，同角的余角相等得出∠DCB+∠OCB＝90°，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）利用直角三角形半径关系可求出AC，BC，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质得出CE•CF＝AC•CB，代入计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：∵∠DAC＝∠DCB，∠D＝∠D，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝＝tan∠A＝，
∵CD＝2，
∴BD＝CD＝1，AD＝2CD＝4，
∴AB＝AD﹣BD＝3，
在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝2BC，
∵AC2+CB2＝AB2，
即 （2CB）2+CB2＝32，
∴BC＝，AC＝，
∵点E为 的中点，
∴∠ACF＝∠ECB，
又∵∠CAF＝∠CEB，
∴△ACF∽△ECB，
∴，
∴CE•CF＝AC•CB
＝
＝．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线y＝2x交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作BD∥AC，交y轴于点D，连接BC、CD．
（1）如图1，求点A、B的坐标；
（2）如图2，若四边形ABDC是平行四边形，求BD长；
（3）如图1，当四边形ABDC的面积为4时，求直线AC的解析式．
【分析】（1）联立两个函数表达式得：＝2x，即可求解；
（2）求出直线AC的表达式为：y＝﹣x+，得到直线BD的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣2，由AC＝BD，即可求解；
（3）由四边形ABDC的面积＝S四边形AOMC+S△OBD+S△ODM＝++＝4，即可求解．
【解答】解：（1）联立两个函数表达式得：＝2x，
解得：x＝±1，
即点A、B的坐标分别为：（1，2）、（﹣1，﹣2）；
（2）设点C（m，），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+，
∵BD∥AC，
则直线BD的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣2，
令x＝0，即y＝﹣（x+1）﹣2＝﹣，
即点D（0，﹣），
则BD2＝1+（﹣2+﹣）2＝，
同理可得：AC2＝＝BD2，
即＝，
整理得：m（m2+1）（m﹣2）＝0，
解得：m＝0（舍去）或2，
经检验m＝2是方程的根，
则BD2＝＝2，
则BD＝；
（3）设直线AC交x轴于点F，CD交x轴于点M，
令y＝﹣x+＝0，
解得：x＝m+1，则点F（m+1，0），
由（2）知，D（0，﹣），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣，
令y＝0，则x＝，
则点M（，0），
则S四边形AOMC＝S△AOF﹣S△CMF＝OF×yA﹣MF×yC＝（m+1）×2﹣（m+1﹣）＝，
同理可得：S△OBD＝，S△ODM＝，
则四边形ABDC的面积＝S四边形AOMC+S△OBD+S△ODM＝++＝4，
整理得：2m3+2m2﹣4m＝0，即m（m﹣2）（m+1）＝0，
解得：m＝0（舍去）或1或﹣2（舍去），
即m＝1，
则直线AC的表达式为：y＝﹣2x+4，
联立y＝﹣2x+4和y＝得：﹣2x+4＝，
解得：x＝1，
即点A、C重合，
故四边形ABDC的面积为4时，不存在直线AC表达式．
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．（4分）化简：＝ ．
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
故答案为：．
20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则OP的长为 ．
【分析】过P作PM⊥OB于M，ON⊥OA于N，判定四边形MONP是矩形，得到PM＝ON，由垂径定理OM得到＝OB＝，ON＝OA＝，由勾股定理求出OP＝＝．
【解答】解：过P作PM⊥OB于M，ON⊥OA于N，
∵∠MON＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM＝ON，
∵，，
∴OA＝2，OB＝2，
由垂径定理得：OM＝OB＝，ON＝OA＝，
∴PM＝ON＝，
∴OP＝＝．
故答案为：．
21．（4分）有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程x2﹣4x+k＝0的两根，则k＝ 3或4 ．
【分析】分类讨论：当腰长为3时，根据韦达定理求得k的值；当腰长不为3时，关于x的方程的判别式Δ＝0，据此可以求得k的值．
【解答】解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知
3+x2＝4，
∴x2＝1，
∴x1•x2＝3＝k，即k＝3；
当该等腰三角形的腰长不是3时，Δ＝16﹣4k＝0，
解得，k＝4；
综上所述，k＝3或k＝4．
故答案为：3或4．
22．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与双曲线交于点A、点B，将直线AB向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D．M是第二象限内一点，连接MA、MB，若以M为位似中心的△MCD与△MAB位似，位似比为，则b的值为 9 ．
【分析】根据直线解析式先求出点A、B坐标和线段AB长，根据相似比可得CD长，设直线CD的解析式为y＝2x+m，点C（x1，2x1+m），D（x2，2x2+m），根据两点间距离公式得到＝，整理得＝，则（x1+x2）2﹣4x1x2＝，联立得到方程2x+m＝，即2x2+mx﹣4＝0，由根与系数的关系得：（﹣）2﹣4×（﹣2）＝，解得m＝﹣7，再根据与y轴两交点的纵坐标相减即可得到b值．
【解答】解：联立方程组得，
解得：或，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∴AB＝＝3，
∵△MCD与△MAB位似，位似比为，
∴，
∴CD＝，
∵AB∥CD，
∴设直线CD的解析式为y＝2x+m，点C（x1，2x1+m），D（x2，2x2+m），
∴＝，
整理得＝，则（x1+x2）2﹣4x1x2＝，
∵点C、D恰好在反比例函数图象上，
∴CD与反比例函数的交点方程为：
2x+m＝，即2x2+mx﹣4＝0，
由根与系数的关系得：（﹣）2﹣4×（﹣2）＝，
解得m＝﹣7或7（舍去），
∵直线y＝2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
∴b＝2﹣（﹣7）＝9．
故答案为：9．
23．（4分）如图，菱形ABCD中，．若点P是菱形内一点，且PA＝10，PB＝5，PC＝8，则菱形ABCD的边长为 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠ABC，将△BPC绕点B逆时针旋转使点C与点A重合，点P的对应点为点E，连接EP，过点E作EF⊥PB于F，过点B作BH⊥PE于H，设PE与AB交于点O，由旋转的性质得EB＝PB＝5，EA＝PC＝8，根据tan∠D＝得tan∠ABC＝＝，设EF＝24k，BF＝7k，由勾股定理得k＝，则EF＝24k＝，BF＝7k＝，PF＝PB﹣BF＝，由勾股定理得PE＝6，再由三角形的面积公式求出BH＝4，则EH＝PH＝3，再证∠AEP＝90°，进而得△AOE和△BOH相似，则AO：BO＝OE：OH＝AE：BH＝2，进而得AO＝2BO，EO＝2OH，则EO＝2，OH＝1，再由勾股定理得BO＝，则AO＝2BO＝，据此可得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠ABC，
将△BPC绕点B逆时针旋转使点C与点A重合，点P的对应点为点E，连接EP，过点E作EF⊥PB于F，过点B作BH⊥PE于H，设PE与AB交于点O，如下图所示：
由旋转的性质可知：△BEA≌△BPC，
∴EB＝PB＝5，EA＝PC＝8，
∵tan∠D＝，∠D＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝，
在Rt△BEF中，tan∠ABC＝，
∴＝，
设EF＝24k，BF＝7k，
由勾股定理得：EF2+BF2＝BE2，
即（24k）2+（7k）2＝52，
解得：k＝，k＝（不合题意，舍去），
∴EF＝24k＝，BF＝7k＝，
∵PF＝PB﹣BF＝5﹣＝，
在Rt△EFP中，EF＝，PF＝，
由勾股定理得：PE＝＝6，
∵S△BEP＝PE•BH＝PB•EF，
∴PE•BH＝PB•EF，
即，
∵BH＝4，
∵EB＝PB＝5，BH⊥PE，
∴EH＝PH＝PE＝3，
∵AE＝8，PE＝6，PA＝10，
∴PE2+AE2＝PA2，
∴△PAE为直角三角形，即∠AEP＝90°，
∴∠AEO＝∠BHO＝90°，
又∵∠AOE＝∠BOH，
∴△AOE∽△BOH，
∴AO：BO＝OE：OH＝AE：BH＝8：4＝2，
∴AO＝2BO，EO＝2OH，
∵EH＝3，
∴EO＝2，OH＝1，
在Rt△BOH中，OH＝1，BH＝4，
由勾股定理得：BO＝＝，
∴AO＝2BO＝，
∴AB＝AO+BO＝，
∴菱形ABCD的边长为．
故答案为：．
二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+80．
（1）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，利用单本利润乘以销售数量等于总利润列方程求解即可；
（2）根据题意，利用单本利润乘以销售数量等于总利润列函数解析式，再化成顶点式即可得解．
【解答】解：（1）依题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
解得：x1＝25，x2＝35，
∴每本纪念册的销售单价为25元或35元，
（2）由题意得：w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，即开口向下，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为200，
∴当该纪念册销售单价定为30元时，才能使该纪念册所获利润最大，最大利润为200元．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线y＝mx2+nx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴负半轴交于点C，且经过定点D（3，﹣2）．连接CD、OD，已知S△OCD＝3．
（1）如图1，求m与n的数量关系及c的值；
（2）如图2，当时，连接AC．将△AOC绕平面内某一点逆时针旋转90°后得到对应的△A′O′C′，并且点A′、C′刚好落在抛物线上，画出图象，求点O′的坐标；
（3）如图3，若过点E（0，2）的直线与抛物线交于F、G两点．试探究：是否存在常数m，使得FD⊥GD始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由S△OCD＝3＝×CO×xD得到OC＝2，则点C（0，﹣2），进而求解；
（2）由题意得：AO＝1＝O′A′，CO＝C′O′＝2，设点O′（s，t），则点A′、C′的坐标分别为：（s，t﹣1）、（s+2，t），将点C′、A′的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（3）由tan∠DFN＝tan∠MDG，即，得到m2st＝﹣1，由直线GF的表达式得到mst＝﹣4，即可求解．
【解答】解：（1）∵S△OCD＝3＝×CO×xD＝CO×3，
则OC＝2，则点C（0，﹣2），
即c＝﹣2，
由点C、D的坐标知，抛物线的对称轴为直线x＝（0+3）＝﹣，
则n＝﹣3m；
（2）当m＝时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2，
由抛物线的表达式知，点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣2），
即AO＝1＝O′A′，CO＝C′O′＝2，
图象如图2，
设点O′（s，t），则点A′、C′的坐标分别为：（s，t﹣1）、（s+2，t），
将点C′、A′的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
则点O′的坐标为：（1，﹣2）；
（3）存在，理由：
如图3，设点G、F的坐标分别为：（s，ms2﹣3ms﹣2）、（t，mt2﹣3mt﹣2），
过点G、F分别作y轴的平行线分别交直线CD于点M、N，
∵FD⊥GD，
∴∠GDM+∠FDN＝90°，
∵∠DFN+∠FDN＝90°，
∴∠DFN＝∠MDG，
∴tan∠DFN＝tan∠MDG，即，
即＝，
整理得：m2st＝﹣1，
由点G、F的坐标得，直线GF的表达式为：y＝m（s+t﹣3）（x﹣s）+m2﹣3ms﹣2，
当x＝0时，y＝m（s+t﹣3）（0﹣s）+m2﹣3ms﹣2＝2，
整理得：mst＝﹣4，
而m2st＝﹣1，即﹣4m＝﹣1，
解得：m＝．
26．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是射线AB上的动点，点E是边AC上的动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折到△ABC所在平面得△FDE，点F恰好落在直线DC上．
（1）如图1，当点F与点C重合时，若BC＝4，求AE长；
（2）如图2，当∠FEA＝90°时，求tan∠CDB的值；
（3）如图3，设直线DE与直线BC交于点M，当最小时，求的值．
【分析】（1）利用勾股定理和轴对称的性质解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系定理和轴对称的性质得到CE＝AE，过点F作FG⊥AD，交AC于点H，利用全等三角形的判定与性质得到CE＝EH，CF＝HF，则EH＝AE，设GH＝x，则AG＝2x，利用勾股定理求得AH，EF，CF，HF，再利用相似三角形的判定与性质求得BC＝3GH＝3x，CD＝CF＝5x，利用勾股定理求得BD，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
（3）过点E作EK⊥FC于点K，利用轴对称的性质，直角三角形的边角关系定理得到当CE⊥CF时，的最小值为；延长FE交AB于点H，由于点C，K重合，则FH⊥AD，可得BC∥EH，则；设EC＝a，则EF＝AE＝a，FC＝2a，CD＝a，代入运算则结论可求．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝2BC，BC＝4，
∴AB＝8，
∴，
∵将△ADE沿DE翻折得△FDE，
∴DE垂直平分AF，
∵F点与C点重合，
∴；
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝2BC，
∴，
∵将△ADE沿DE翻折得△FDE，
∴AE＝EF，∠A＝∠EFC，
∵EF⊥CE，
∴．
∴CE＝AE．
过点F作FG⊥AD，交AC于点H，如图，
则：∠AGH＝∠FEH＝90°，
∵∠GHE＝∠A+∠AGH＝∠EFH+∠FEH，
∴∠A＝∠EFH，
∴∠EFH＝∠EFC，
在△EFH和△EFC中，
，
∴△EFH≌△EFC（ASA），
∴CE＝EH，CF＝HF，
∴EH＝AE，
∴AH＝HE＝CE＝AC，
∵，
∴设GH＝x，则AG＝2x，
∴，
∴，，，
∴FG＝FH+HG＝6x，
∵∠AGH＝∠ABC＝90°，
∴HG∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴，
∴BC＝3GH＝3x，
∵HG∥BC，
∴△DBC∽△DGF，
∴，
∴，
∵∠CBD＝90°，
∴，
∴；
（3）过点E作EK⊥FC于点K，如图，
∵将△ADE沿DE翻折得△FDE，
∴∠A＝∠CFE，AE＝EF，
∴≥．
∵CE≥EK，≥，
当点C，K重合时，取等号，即的最小值为．
延长FE交AB于点H，
由于点C，K重合，则EC⊥DF，
∵∠A＝∠F，∠FEC＝∠AEH，
∴∠AHF＝∠ACF＝90°，
即FH⊥AD．
∵BC⊥AD，
∴BC∥EH．
∴．
设EC＝a，则EF＝AE＝a，FC＝2a，CD＝a，
∴＝＝＝﹣1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/6 18:07:53；用户：岳建林；邮箱：cd49zx018@xyh.cm；学号：22260143成绩
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