【二轮复习】中考数学 题型9 二次函数综合题 类型11 二次函数与正方形有关的问题（专题训练）

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(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，；(2)满足条件的E、F两点存在，，，；(3)当时，的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）满足条件的、两点存在，，，
解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.

过点作轴于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，
过点作轴于点，过点作于点

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
当时，，此时点在点右侧故舍去；
当时，.
综上所述：，，
（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线
当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴
在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．

(1)当时，求点的坐标；
(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；
(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)，见解析
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解．
（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在．
（3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为．
【详解】（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标．
∵，点和点关于直线对称．
∴．
（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，
∴，抛物线．
∴当时，可得．
①当时，如图1，过作轴，垂足为．
∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵，
∴．
∵直线轴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵点在图像上，
∴．
解得或．
∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意．
将代入，
得．

②当时，如图2，过作，交的延长线于点．
同理可得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵点在图像上，
∴．解得或．
∵，
∴．此时符合题意．
将代入，得．
③当时，此情况不存在．
综上，所对应的函数表达式为或．
（3）如图3，由（2）知，当时，，
此时
则，，则的面积为1，不合题意舍去．
当时，，
则，
∴，此时的面积为3，符合题意
∴．
依题意，四边形是正方形，
∴．
取的中点，在中可求得．
在中可求得．
∴当三点共线时，取最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．
3．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上．
①________；
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
【答案】(1)①1；②；③是，值为1；(2)或
【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1；
（2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，．
【详解】（1）①解：当，，
∴不在二次函数图象上，
将代入，解得，
故答案为：1；
②解：由①知，二次函数解析式为，
设菱形的边长为，则，，
由菱形的性质得，，，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的边长为；
③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，

由正方形的性质可知，为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，值为1；
（2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；
①当在轴右侧时，
∵，
同理（1）③，，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
化简得，
∵
∴；
②当在轴左侧时，
同理可求；
③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，
同理可求，
当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，
由正方形、二次函数的性质可得，；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
5．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
（3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标．
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，

抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．
，
．
，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
，在直线上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
点横坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．
6.（2022·浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
(1)①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②
(2)；
【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；
（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
(1)
解：①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；
②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c，
得，解得；
(2)
解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴，即．
整理，得，即．
∴当时，n的值最大，最大值是．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键．
7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．

(1)求点的坐标；
(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
【答案】(1)；(2)或或
【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答；
（2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：令，则有：，解得：或，
∴．
（2）解：∵抛物线过
∴抛物线的对称轴为，
设，
∵，
∴,
如图：连接，则，
∴，
∴切线为边长的正方形的面积为，
过点P作轴，垂足为H，则：，
∴
∵，
∴，

假设过点,则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即

∴，解得：或，
∵
∴；
②如图2：当点M在点N的上方，即

∴，解得：，
∵
∴；
综上，或．
∴当不经过点时，或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
8.（2022·山东泰安）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．
①若点N在线段上，且，求点M的坐标；
②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【答案】(1) (2)①；②
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为
根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解．
(1)解：二次函数的图象经过点，
．
又抛物线经过点，对称轴为直线，
解得∶
抛物线的表达式为．
(2)
解∶①设直线的表达式为．
点A，B的坐标为，，
∴， 解得∶ ，
直线的表达式为．
根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称，
．
设点N的坐标为．
轴，
．
∴
．
，
解，得．
点M的坐标；
②连接与交与点E．
设点M的坐标为，则点N的坐标为
四边形是正方形，
，，．
∵MN⊥x轴，
轴．
E的坐标为．
．
．
∴P的坐标．
点P在抛物线上，
．
解，得，．
点P在第四象限，
舍去．
即．
点M坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．
（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．
【解析】
【分析】
（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；
（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；
（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；
（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】
解：（1）将点代入
得，
解得b=1,；
（2）由（1）可得函数的解析式为，
∴,
∵于点，
∴,
∵是直线上的一点，其纵坐标为，
∴，
若点与点重合，则
，
解得；
（3）由（2）可得，，
当矩形是正方形时，
即，
即或，
解得，
解得，
又，
∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，
解得，故m的值为；
（4）①如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即且，
解得，
解得，
∴，
②如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即，解得，
∴；
③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图
当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，
即，解得或，
故，
综上所述或．
【点睛】
本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
10.如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．
【解析】
【分析】
（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【详解】
（1）抛物线过点和点
抛物线解析式为：
（2）当时，
直线BC解析式为：
过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F
设
即
（3）
为等腰直角三角形
抛物线的对称轴为
点E的横坐标为3
又点E在直线BC上
点E的纵坐标为5
设
①当MN=EM，,时
解得或（舍去）
此时点M的坐标为
②当ME=EN，时
解得：或（舍去）
此时点M的坐标为
③当MN=EN，时
连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，，
此时四边形CMNE为正方形
解得：（舍去）
此时点M的坐标为
在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．
【点睛】
本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2-x1|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=-143，c=-4；（2）D（-72，256）；（3）存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形，不能为正方形．
【解析】
试题分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用根与系数的关系及|x2-x1|=5，可求出b；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点；
（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=-23x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c=﹣4，
又∵由题意可知，x1、x2是方程-23x2+bx-4=0的两个根，∴x1+x2=32b，x1x2=6，由已知得(x2-x1)2=25，∴x12+x22-2x1x2=25，∴(x1+x2)2-4x1x2=25，∴94b2-24=25，解得：b=±143，
当b=143时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴b=-143；
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，又∵y=-23x2-143x-4=-23(x+72)2+256，∴抛物线的顶点（-72，256）即为所求的点D；
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与抛物线y=-23x2-143x-4的交点，∴当x=﹣3时，y=-23×(-3)2-143×(-3)-4=4，∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上．
考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．存在型；4．压轴题．
12.如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．
【答案】（1）；（2）点坐标为或或或时，为直角三角形；（3）最小值为.
【解析】（1）结合题意，用待定系数法即可求解；
（2）分3种情况讨论，用勾股定理即可求解；
（3）根据正方形的判定和勾股定理，即可得到答案.
【详解】（1）∵抛物线过点，，
∴，解得：，
∴这条抛物线对应的函数表达式为.
（2）在轴上存在点，使得为直角三角形．
∵，
∴顶点，
∴，
设点坐标为，
∴，，
①若，则.
∴，
解得：，
∴.
②若，则，
∴，
解得：，，
∴或.
③若，则，
∴，
解得：，
∴.
综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形．
（3）如图，过点作轴于点，于点，于点，
∵轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点为的内心，
∴，，，，
∴矩形是正方形，
设点坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴化简得：，
配方得：，
∴点与定点的距离为.
∴点在以点为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动，
∴当点在线段上时，最小，
∵，
∴，
∴最小值为.
【点睛】本题考查用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求二元一次方程、勾股定理和正方形的判定.
13.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA,OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线的顶点．
（1）当时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
【答案】（1）好点有：，，，和，共5个；（2），和；（3）.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时Dm的值，即可判断．
【详解】
解：（1）当时，二次函数的表达式为
画出函数图像（图1）
图1
当时，；当时，
抛物线经过点和
好点有：，，，和，共5个
（2）当时，二次函数的表达式为
画出函数图像（图2）
图2
当时，；当时，；当时，
该抛物线上存在好点，坐标分别是，和
（3）抛物线顶点P的坐标为
点P支直线上
由于点P在正方形内部，则
如图3，点，
图3
当顶点P支正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）
当抛物线经过点时，
解得：，（舍去）
当抛物线经过点时，
解得：，（舍去）
当时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题．
14.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或 .
【解析】
试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：
解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2＋x＋4；
（2）由题意可设P（t，4），则E（t，t2＋t＋4），
∴PB＝10﹣t，PE＝t2＋t＋4﹣4＝t2＋t，
∵∠BPE＝∠COD＝90°，
当∠PBE＝∠OCD时，
则△PBE∽△OCD，
∴，即BP•OD＝CO•PE，
∴2（10﹣t）＝4（t2＋t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），
∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
当∠PBE＝∠CDO时，
则△PBE∽△ODC，
∴，即BP•OC＝DO•PE，
∴4（10﹣t）＝2（t2＋t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）
综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，
∴∠CQO＋∠AQB＝90°，
∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，
∴∠OCQ＝∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴，即OQ•AQ＝CO•AB，
设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，
∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，
①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，
∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，
∴PM＝PC•sin∠PCQ＝t，PN＝PB•sin∠CBQ＝（10﹣t），
∴t ＝（10﹣t），解得t＝，
②当m＝8时，同理可求得t＝，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．
点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE∽△OCD是解题的关键，在（3）中利用Rt△COQ∽Rt△QAB求得CQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．