【三轮冲刺】中考数学 专题03 折叠存在性及最值大全(填空压轴)（重难点突破练习）

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1．如图，在菱形中，，，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为______．
【答案】或
【分析】存在两种情况①当点F在线段AB上时，由题意得出AE的长，在中可求出AG的长，由根据折叠的性质，可知
在中，可求出GF的长，即可得出AF的长．②当点F在线段AB延长线上时，由得出
由中，求出由得出即可得出结果．
【详解】解：如图1所示：当点F在线段AB上时，过点E作于G，
∵四边形是菱形，
∵点E是AD的中点，
如图2所示：当点F在线段AB延长线上时，过点E作交AD于点H，
∵四边形是菱形，
∵点E是AD的中点，
又
故答案为：或
【我思故我在】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的知识，区分点F的位置在线段AB上和在线段AB的延长线上是解本题的关键．
2．如图，菱形的边长，M是边上一点，，N是边上一动点，将梯形沿直线折叠，C对应点．当的长度最小时，的长为__________．
【答案】14
【分析】作于H，如图，根据菱形的性质可求得，，在中，利用勾股定理计算出，再根据两点间线段最短得到当点在上时，的值最小，然后证明即可．
【详解】解：作于H，如图，
∵菱形的边，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∵梯形沿直线折叠，C对应点，
∴，
∵，
∴，
∴当点在上时，的值最小，
由折叠的性质得，而，
∴，
∴，
∴．
故答案为：14．
【我思故我在】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小．
3．如图，在四边形纸片ABCD中，ADBC，AB＝10，∠B＝60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE＝45°，则BF的长为______．
【答案】
【分析】由折叠的性质知，，再由∠BFE＝45°得到，过点A作于点H，在中求出的长度，再证明四边形是矩形，从而得出，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作于点H，
由折叠的性质知，，
，
，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质，根据已知角度和折叠的性质得出是解题的关键．
4．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是________.
【答案】1.2
【分析】过点F作FG⊥AB，垂足为G，过点P作PD⊥AB，垂足为D，根据垂线段最短，得当PD与FG重合时PD最小，利用相似求解即可．
【详解】∵，，，
∴AB=10，
∵，将沿直线翻折，点落在点处，
∴CF=PF=2，AF=AC-CF=6-2=4，
过点F作FG⊥AB，垂足为G，过点P作PD⊥AB，垂足为D，
根据垂线段最短，得当PD与FG重合时PD最小，
∵∠A=∠A，∠AGF=∠ACB，
∴△AGF∽△ACB，
∴，
∴，
∴FG=3.2，
∴PD=FG-PF=3.2-2=1.2，
故答案为：1.2．
【我思故我在】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形相似，垂线段最短，准确找到最短位置，并利用相似求解是解题的关键．
5．如图，在矩形中，，，点是线段上的一点（不与点，重合），将△沿折叠，使得点落在处，当△为等腰三角形时，的长为___________．
【答案】或
【分析】根据题意分，，三种情况讨论，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴，
∵将△沿折叠，使得点落在处，
∴
，，
设，则
①当时，如图
过点作，则四边形为矩形
，
在中
在中
即
解得
②当时，如图，设交于点，
设
垂直平分
在中
即
在中，
即
联立，解得
③当时，如图，
又
垂直平分
垂直平分
此时重合，不符合题意
综上所述，或
故答案为：或
【我思故我在】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键．
6．如图，在矩形中，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．
【答案】2或
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：，，
，
当点落在上时，
将沿直线折叠，
，
，
，
；
当点落在上时，如图2，连接，过点作于，
，
，
，
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
【我思故我在】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
7．在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接AM，过点M作交CD于点N．将沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中，，那么BM的长为_______．
【答案】4或
【分析】设BM=x，则CM=BC-BM=6-x，根据三角函数可得tan∠CMN=tan∠BAM=，tan∠CMN=，FN=CF-CN=，由折叠可知∶C"N=CN=，tan=tan∠CMN=，由tan=，可求，在Rt△中，由勾股定理， ，代入相关数据求解即可．
【详解】解：矩形ABCD中，AB=DC=4，BC=6，∠B=∠BCD=90°
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠BAM，
∵小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，
∴CF=DC=2，
设BM=x，则CM=BC-BM=6-x，
在Rt△ABM中，tan∠BAM
∴tan∠CMN=tan∠BAM=
在Rt△CMN中，
∴tan∠CMN=
CN=
∴FN=CF-CN=2-
由折叠可知∶C"N=CN=
连接，如图∶
由折叠知∶MN垂直平分 ，
∴+∠CMN=90°，
而=90°，
∴=∠CMN，
∴tan=tan∠CMN=
在Rt△CFC'中，
tan=
∴
在Rt△ 中，由勾股定理，得
，即

∴
整理，得 ，
解得
∴BM的长为4或
故答案为：4或．
【我思故我在】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知识，运用三角函数将边长表示出来，借助勾股定理建立方程是解题的关键．
8．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______．
【分析】连接AF交PE于O，连接DF,先由矩形的性质可得BC=AD=6、CD=AB=4，再由折叠的性质和垂直平分线的性质可得AF=2OA，AE=ED=EF=3；设AP=x，则PF=AP=x,BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，运用勾股定理可求得x，然后再运用勾股定理求得PE的长，再运用等面积法求得AO的长，最后根据AF=2AO解答即可．
【详解】解：连接AF交PE于O，连接DF，
∵矩形ABCD，
∴BC=AD=6,CD=AB=4，
∵线段DF被CE垂直平分时，
∴CF=CD=4,ED=EF，
∵将△APE沿PE折叠得到△FPE，
∴PE是线段AF的垂直平分线，
∴AE=EF,AF=2OA，
∴AE=ED=EF，
∵AD=AE+ED=6，
∴AE=ED=EF=3，
设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，
∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62
∴x=，
∵PE=，
∴，
即，
解得：AO=，
∴AF=2AO=．
故答案为．
【我思故我在】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是AB上一个动点，F是AD上一个动点（点F不与点D重合），连接EF，把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A′总落在DC边上．若△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则A′D的长为______．
【答案】或
【分析】分两种情形分别画出图形，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图1中，当EA′＝CE时，过点E作EH⊥CD于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠B＝90°，
设AE＝EA′＝EC＝x，则BE＝2﹣x，
在Rt△EBC中，则有x2＝12+（2﹣x）2，
解得x＝，
∴EB＝2﹣x＝，
∵∠B＝∠BCH＝∠CHE＝90°，
∴四边形CBEH是矩形，
∴CH＝BE＝，
∵EC＝EA′，EH⊥CA′，
∴HA′＝CH＝，
∴DA′＝CD﹣CA′＝2﹣＝．
如图2中，当A′E＝A′C时，设AE＝EA′＝CA′＝y．
则CH＝EB＝2﹣y，A′H＝CA′﹣CH＝y﹣（2﹣y）＝2y﹣2，
在Rt△A′EH中，则有y2＝12+（2y﹣2）2，
解得y＝或1（舍弃），
∴CA′＝，
∴DA′＝2﹣＝，
∴DA′为或，
故答案为或．
【我思故我在】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则 ________
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．
【详解】解：根据题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，
①如图1，当点E在线段CD上时，
∵，
∴三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴在中，；
②如图2，当点E在射线CD上时，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
∴在中，．
综上所述，AE的值为或．
故答案为：或．
【我思故我在】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
11．如图，已知中，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为___________．
【答案】或
【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．
【详解】解：分两种情况：
如图，
当时，是直角三角形，
在中，，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
当时，是直角三角形，
由题可得，，
，
，
又，
，
过作于，则，
，
由折叠可得，，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：或．
【我思故我在】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点，且，将沿对折，若点恰好落到了的外部，则折痕的长度范围是______．
【答案】
【分析】把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，根据折叠的性质得到，，证明，同理可得，于是可得的长，然后根据勾股定理计算的长，由正切的定义可得和的长，计算的长，再计算当与重合时的长，从而得结论．
【详解】解：把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，如图1，
，，
，，
，
而，
，
，
同理可得，
，
，
在中，，，，
，
，
在中，，即，
，
在中，，即，
，
；
如图2，当与重合时，，即，
，
，
折痕的长度范围是：．
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数．
13．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
14．如图，矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠，得到，则当最小时，折痕长为______．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系得出：当最小时的图形，利用勾股定理列出方程，求出的长度，进行解答即可．
【详解】连接AC，依题意可知：，
如图，当A、C、F三点共线时，取得最小值，
在矩形中，，，,
∴，
由折叠可知：,设，
∴,，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次根式的运算，掌握勾股定理进行求线段长度是解题的关键．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E是CD上一点，且DE＝2，F是AD上一动点，连接EF，若将△DEF沿EF翻折后，点D落在点处，则点到点B的最短距离为______．
【答案】8
【分析】连接、，当B、、E三点共线的时候点到B点的距离最短，根据DE求出CE，再利用勾股定理求出BE，即可求解．
【详解】如图，连接、，
当B、、E三点共线的时候点到B点的距离最短，
在正方形ABCD中，AB=8，E是CD上一点，且DE=2，
∴CE=CD-DE=8-2=6，BC=AB=8，
∴，
根据折叠的性质有，
∵B、、E三点共线
∴，
即点到B点的距离最短为8，
故答案为：8．
【我思故我在】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的知识，找到B、、E三点共线的时候点到B点的距离最短是解答本题的关键．
16．如图，已知在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是_______________．
【答案】1或
【分析】存在三种情况：当时，连接ED，利用勾股定理可以求得ED的长，可判断三点共线，根据勾股定理即可求解；当时，可以证得四边形是正方形，即可求解；当时，连接EC，FC，证明三点共线，再用勾股定理，即可求解．
【详解】解：①当时，连接ED，如图，
∵点E是的中点，，，四边形是矩形，
∴，
由勾股定理可得，，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②当时，如图，
∵，
∴点在线段CD的垂直平分线上，
∴点在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是的中点，
∴是AB的垂直平分线，
∴，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，
∴四边形是正方形，
∴；
综上所述，AF的长为1或．
故答案为：1或．
【我思故我在】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．
17．如图，在中，，，，为边的中点，点是边上的动点，把沿翻折，点落在处，若是直角三角形，则的长为______．
【答案】或
【分析】在图中构造正方形，在中即可解决问题，在图中也要证明四边形是正方形解决问题．
【详解】解：如图，
当时，作垂足为，作于．
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在中，，，
，，
在中，，，
，
设，在中，，，，
，
，
．
如图
当时，，
、、共线，
在中，，，
，
，
，
易证全等
，
，，，
≌，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
故答案为：或．
【我思故我在】本题考查图形翻折、正方形、勾股定理、全等三角形等知识，构造正方形是解决这个题目的关键．
18．如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = ____
【答案】
【分析】根据轴对称、矩形、直角三角形斜边中线的性质，得，根据轴对称的性质，得、；再根据矩形和勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ
∴，
∵点F是线段AQ的中点
∴
设
∴
∵将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，
∴，
∴
设，
如图，过点F作，交CD于点G，过点F作，交AD于点K，延长KF，交BC于点H
∴四边形、为矩形
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
在直角中，
∴
∴
在直角中，
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【我思故我在】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．