福建省三明市大田县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 若，则下列四个不等式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质．
运用不等式的基本性质“不等式两边同时加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”，由此判定即可．
【详解】解：A、若，则，说法不成立；
B、若，则，故说法不成立；
C、若，则，故说法成立．
D、若，则，故说法不成立．
故选：C．
2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. （笛卡尔爱心曲线）B. （蝴蝶曲线）
C. （费马螺线曲线）D. （科赫曲线）
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．
3. 在中，，，，则的面积等于（ ）
A. 6B. C. 12D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的面积，由，得，根据即可求解．解题的关键是熟练掌握勾股定理求解．
详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出原不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解决即可．
【详解】解：，
．
表示在数轴上是：
故选：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
5. 在中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌据等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
，
，
故选：B．
6. 将平面直角坐标系中的点向右平移2个单位，得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与平移，根据点的坐标平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可确定．熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键．
【详解】解：将点向右平移2个单位后得到的点的坐标为，
故选：D．
7. 以下命题是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 全等三角形的对应边相等
C. 直角三角形的两个锐角相等D. 有一个角等于的三角形是等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
利用对顶角的定义、直角三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，符合题意；
C、直角三角形的两个锐角互补，故错误，是假命题，不符合题意；
D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
8. 下面是小明解不等式的过程：
解：去分母，得…①
移项，得…②
合并同类项，得…③
两边同时除以，得…④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1逐一判断即可．
【详解】解：小明的计算步骤①中，常数没有乘以2，此步骤错误；
步骤④中，两边同时除以，不等号的方向没有改变，此步骤错误；
综上分析可知，出错的步骤是①④．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，特别要注意系数化为1时，系数是负数的，不等号要改变方向．
9. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A. 没有内角大于B. 有一个内角大于
C. 有两个内角大于D. 三个内角都大于
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于．
故选：D．
10. 若关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解不等式组，先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，解得，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. “与3的和大于1”用不等式表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据列代数式的基本要求用不等式表示即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故答案为：．
12. 点关于原点对称的点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
14. 如图，已知直线，直线与直线a，b分别交于点，交直线于点．若，则__________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义，由两直线平行，内错角相等可得，由垂线的定义可得，最后由进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
∵，
，
，
故答案为：．
15. 已知实数a，b满足，则以a，b的值为两条边长的等腰三角形的周长是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，解题的关键是熟练利用三角形的三边关系进行判断．
根据非负数的性质列式求出、的值，再分是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意得，
解得，
①是底长时，三角形的三边分别为3、3、1，
∵3、3、1能组成三角形，
∴三角形的周长为7，
②是腰边时，三角形的三边分别为1、1、3，
，不能组成三角形．
综上所述，三角形的周长是7．
故答案为：7．
16. 如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，根据“SAS”证明，得出，得出，从而得出当A、G、E三个点在同一直线上时，的值最小，最后求出AG的值即可．
【详解】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解不等组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找．大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组的解集为．
18. 如图，点、、、在同一直线上，其中，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．根据已知求出，再证明，即可求解．
【详解】证明：，
，
即，
，，
，
．
19. 已知图1，图2均为的正方形网格，且A，B，C均为格点．备注：只需分别画出一个符合要求的图形．
图1 图2
（1）在图1中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查画轴对称图形，画中心对称图形．熟练掌握轴对称图形，中心对称图形是解题的关键．
（1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义作图即可；
（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义作图即可．
【小问1详解】
解：如图1，四边形是轴对称图形，不是中心对称图形，格点D即为所求；
【小问2详解】
解：如图2，四边形是平行四边形，四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形，即格点D即为所求；
20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别为．
（1）证明：；
（2）将绕点顺时针旋转得到．请在网格中画出，并写出点和的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）点
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，勾股定理逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理以及点的坐标．
（1）直接利用勾股定理逆定理进行证明即可．
（2）利用旋转的性质，先确定对应点，再顺次连接各对应点即可，在平面直角坐标系中利用网格直接得到坐标即可．
小问1详解】
解：的坐标分别为，
，，，
，
，
是直角三角形，
∴．
小问2详解】
如图所示：
根据图可知：点．
21. 如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
（1）若为的中点，求证：；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明全等；
（2）根据平分，得到，从而证明．
再根据三角形内角和定理以及，即可求解；
【小问1详解】
解：由沿射线的方向平移所得
，，
，
为的中点，
，
．
在和中
，
；
【小问2详解】
平分，
，
又，
．
，，
．
22. 已知一次函数．
（1）若该函数图象经过原点，求的值；
（2）在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）若，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关系，
（1）根据题意将原点代入计算即可；
（2）根据一次函数的性质列不等式计算即可；
（3）当时，此时，然后根据条件列不等式组解决问题即可；
掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键
【小问1详解】
解： 该一次函数的图象经过原点，
，
．
【小问2详解】
该一次函数的函数值y随x的增大而增大
，
．
【小问3详解】
当时，此时．
当时，
解得
此时x的取值范围为．
23. 证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
①在给定的图形中，以C为直角顶点，以线段为角所对的直角边，用尺规作出，不写作法，保留作图痕迹；
②写出已知、求证和证明过程．
【答案】①见解析；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图中垂直平分线的作法，定理的证明，熟练掌握线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
①延长到，使，过点作C作，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则是所求作的三角形；
②由作图知直线是线段的垂直平分线，推出，得到是等边三角形，据此即可证明．
【详解】解：①如图，是所求作的三角形；
②已知：如图，，，是所对的直角边．
求证：．
证明：由作图可知，，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
由作图可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
24. 黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A种，B种树木每棵各多少元；
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】(1) A种树每棵100元，B种树每棵80元；(2) 当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
【解析】
【分析】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；
（2）设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为（100-x）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得x的取值范围，结合实际付款总金额=0.9（A种树的金额+B种树的金额）进行解答．
【详解】解：（1）设A种树木每棵x元，B种树木每棵y元，根据题意，得
，解得 ，
答：A种树木每棵100元，B种树木每棵80元．
（2）设购买A种树木x棵，则B种树木（100－x）棵，则x≥3（100－x）．解得x≥75．
又100－x≥0，解得x≤100．∴75≤x≤100．
设实际付款总额是y元，则y＝0.9[100x＋80（100－x）]．
即y＝18x＋7 200．
∵18＞0，y随x增大而增大，∴当x＝75时，y最小为18×75＋7 200＝8 550（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，为8 550元．
25. 如图，在中，，分别垂直平分，交线段于的延长线交于点F，设O为中点，连接．
（1）求度数；
（2）证明：；
（3）连接，若的周长为12，求的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，整体代换的数学思想，等腰三角形三线合一的性质，三角形三边关系定理，利用两点之间，线段最短定理求最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，，从而得出角相等，再结合三角形内角和定理得出，即可求解；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得出，，证出，再根据点是的中点，即可求解；
（3）根据的周长为12，结合，，得出．在四边形中，根据四边形内角和算出，从而证明，同理，．即可算出，，根据直角三角形性质和勾股定理得出，，根据，即可解答；
【小问1详解】
解：分别垂直平分，
，，
，，
，
．
．
又，
．
【小问2详解】
连接．
分别垂直平分，
，．
．
在线段的垂直平分线上．
又点是的中点，
．
【小问3详解】
的周长为12，
．
由（1）知，，．
．
即．
在四边形中，，
，，
．
即．
，，
．
同理，．
则
，
是中点，且，
．
，
．
，
，
解得．
则．
，
且当在延长线上时，上式等号成立．
的最小值为．