广东省深圳市宝安区十校联考2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为米，若用科学记数法表示正确的结果是（ ）．
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法的性质，从而完成求解．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，根据完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
3. 下列各图中，与是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
B．选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
C．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
D．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
故选：B．选项
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
4. 如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，这样做的理由是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 两点确定一条直线
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了垂线段的性质，直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，据此进行解答即可.
【详解】解：现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，这样做的理由是垂线段最短，
故选：B
5. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据，，即可得到，再根据，即可得出．
详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6. 在中，作出边上的高，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【详解】解：A．此图形中不是边上的高，不符合题意；
B．此图形中不是边上的高，不符合题意；
C．此图形中不是边上的高，不符合题意；
D．此图形中是边上的高，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点
7. 有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得,结合题意计算选择即可，本题考查了三角形外角性质，直角三角形的特征，熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】根据题意，得,
∵，
∴，
∴，
故选B．
8. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系：
下列说法错误的是（ ）
A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B. 弹簧不挂重物时的长度为
C. 当时，物体质量每增加，弹簧长度y增加
D. 当时，x与y满足的关系式是
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义，一次函数的解析式，k的意义，计算即可，本题考查了函数的定义，一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确；不符合题意；
B. 弹簧不挂重物时的长度为，错误，符合题意；
C. 当时，物体质量每增加，弹簧长度y增加，正确；不符合题意；
D. 当时，x与y满足的关系式是，正确；不符合题意；
故选B．
9. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ）
A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行
B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧
C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等
D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．
根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可．
【详解】解：A．图1的作图是作，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意；
B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意；
C．图2的作图是作，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意；
D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意，
故选：C．
10. 我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）

A. 1B. 5C. 16D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】根据公式规律，写出展开式，计算即可，本题考查了规律探索，正确找到规律是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
当时
，
含项的系数是，
故选D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 一个角的余角是这个角的2倍，则这个角的度数____°．
【答案】30
【解析】
【分析】利用题中“一个角的余角是这个角的2倍”作为相等关系列方程求解即可．
【详解】解：设这个角是x，
则90°-x=2x，
解得x=30°．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
12. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个等腰三角形，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形三边关系，等腰三角形的性质分类计算即可，本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．
【详解】当时，三边分别为，
∵，与两边之和大于第三边矛盾，
不成立；
当时，三边分别为，
∵，与两边之和大于第三边一致，
成立；
故，
故答案为：5．
13. 若，则=______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则的面积为__________平方厘米

【答案】16
【解析】
【分析】三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，且两个三角形面积相等，据此进行求解，即可得到答案．
【详解】解：点F为边的中点，
，
，
，
点D为边的中点，
，
点E为边的中点，
，，
，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了利用三角形中线求面积，解题关键是掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，且两个三角形面积相等．
15. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的度数是_______．

【答案】##15度
【解析】
【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据折叠的性质及角的和差关系可进行求解．
【详解】解：如图①，∵，，
∴，，
∴图②中的，
∴图③中的；
故答案为：．
三、计算题：本大题共1小题，共7分．
16. 先化简，再求值：，其中x=1，y=2．
【答案】5x-y，3
【解析】
【分析】原式中括号中利用平方差公式，完全平方公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
=（9x2-y2+x2-2xy+y2）÷2x
=（10x2-2xy）÷2x=5x-y，
当x=1，y=2时，原式=5-2=3．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，单项式的乘除法运算，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键．
（1）分别化简计算每一项，再进行相加减；
（2）根据积的乘方，幂的乘法，单项式的乘除法进行化简计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18. 如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴ ，（ ）
∵（已知），
∴ （同角的补角相等）
∴ ，（内错角相等，两直线平行）
∴（ ）．
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，由条件可先证明，再利用平行线的性质可得到，可证明，可证得，据此填空即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴，（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知），
∴（同角的补角相等）
∴，（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；；；两直线平行，同位角相等
19. 如图所示，在中，是角平分线，是高．
（1）若，求：①的度数；②的度数．
（2）已知，则 （用表示）．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，
①根据计算即可；②，结合三角形内角和定理，角的平分线解答即可．
（2）根据(1)的解答，推理一般化解答即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
①∴；
②．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
∴；
∴．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的高，角的平分线，内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握内角和定理，直角三角的性质是解题的关键．
20. 如图，，两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发骑往地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程和时间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）甲出发______小时，乙才开始出发；
（2）乙比甲早到______小时；
（3）甲从下午2时到5时平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时；
（4）请你根据图象上的数据，求乙出发后用多长时间就追上甲？
【答案】（1）1；（2）2；（3）10；50；（4）0.5小时
【解析】
【分析】（1）由图象横轴上甲、乙出发时间即可解答；
（2）由甲、乙到达B的时间即可解答；
（3）根据速度=路程÷时间求解即可；
（4）设乙出发后x小时就追上甲，根据（3）中求得速度结合图象列方程求解即可．
【详解】解：（1）由图象知，甲下午1时出发，乙下午2时出发，
∴甲出发1小时，乙才开始出发，
故答案为：1；
（2）由图象知，甲下午5时到达B地，乙下午3时到达B地，
∴乙比甲早到2小时，
故答案为：2；
（3）根据图象，甲从下午2时到5时的平均速度是（50﹣20）÷（5﹣2）=10千米/小时，乙的平均速度是50÷（3﹣2）=50千米/小时，
故答案为：10；50；
（3）设乙出发后用小时就追上了甲，
根据题意，得，
解得
答：乙出发05小时就追上甲．
【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用，解答的关键是正确获取图象上的有关信息解决问题．
21. 数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．如图1，用一张边长为a的正方形纸片减去一个边长为b的正方形，剩下部分通过剪拼可以得到一个新的长方形（图2），请你完成下面的探究：
（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用表示）；
（2）若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果．
（3）计算．
【答案】（1）
（2）画图见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式及其应用
（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，可表示出面积为．
（2）根据题意先画出图形，然后再根据图形得出的展开结果．
（3）运用（2）中的结论，即可解得．
【小问1详解】
解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即；图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，其面积为．
故答案为：；
【小问2详解】
如图
由图可得：．
【小问3详解】
解：根据（2）中的结论可知
在中，把，
根据公式
可求得
22. 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作，∴ ，．
∵ ．
∴．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（2）如图2，已知，求的度数．
深化拓展：（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，平分，点B是直线上的一个动点（不与点A重合），，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．若，请你求出的度数．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）；；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质，得到．结合平角的定义，得到．等量代换解答即可．
（2）延长，交的延长线于点G，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可．
（3）分点B在点A左侧和右侧，两种情况，利用平行线的性质，三角形外角性质，平角定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，分类思想，角的平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：过点A作，
∴，．
∵．
∴．
故答案为：；．
（2）如图，延长，交的延长线于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴
．
（3）如图，当点B在点A的左边时，
延长，交的延长线于点M，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴．
如图，当点B在点A的右边时，
延长，交于点N，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴．
综上所述，的度数为或．
0
1
2
3
4
5
10
11
12