广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷原卷版docx、广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
1. 已知i为虚数单位，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A 若则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
3. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4 已知向量，，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
6. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的方程的两根为和，则（ ）
A B.
C. D.
10. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ）
A. 异面直线AE与DF所成角的大小为B. 平面平面
C. 此八面体一定存在外接球D. 此八面体的内切球表面积为
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A. 若，则M为的重心
B. 若M为的内心，则
C. 若，，M为的外心，则
D. 若M为的垂心，，则
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 在中，内角的对边分别是，且，平分交BC于，，，则的面积为___________.
13. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________．
14. 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．
四、解答题:本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，，，，平面⊥平面.
（1）求证：；
（2）设，求三棱锥的体积.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点.
（1）求证：平面;
（2）求证:平面平面;
17. 记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.
（1）求；
（2）若点在边上，且，，求的周长.
18. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）若，求外接圆的面积;
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值.