广东省清远市英德市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本大题共10题，每小题3分，共30分
1. 下列图中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查对顶角的定义与性质，正确判断对顶角是解题的关键．
【详解】解：A.与是内错角，但是不一定相等，故选项错误，不符合题意；
B. 与不一定相等，故选项错误，不符合题意；
C. 与为对顶角，故，故选项正确，符合题意；
D.．与不一定相等，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2. 淋巴细胞是白细胞一种，是对抗外界感染和监控体内细胞变异的一线“士兵”．淋巴细胞是体积最小的白细胞．单个直径只有微米（），即米（m），则可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：D．
3. 如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．若，则应为（ ）度．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，直接根据平行线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵ ，，
∴；
故选A．
4. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A. 两钉子固定木条B. 测量跳远成绩C. 木板上弹墨线D. 弯曲河道改直
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段的性质，直线的性质，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意；
故选：．
5. 计算 ，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了积的乘方运算．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故选：C．
6. 我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表，下列选项描述不正确的是（ ）
A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B. 在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高
C. 当温度为时，该材料导热率为
D. 温度每升高增高，该材料导热率增加
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：A、在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率，正确，不符合题意；
B、在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高，正确，不符合题意；
C、根据题意，温度每增加，导热率增加，当温度为时，该材料导热率为，正确，不符合题意；
D、根据题意，温度每增加，导热率增加，则温度每增加，导热率增加，错误，符合题意；
故选：D．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，零指数幂，负整数指数幂，根据以上运算法则进行计算即可求解．同
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，下列判断正确的是（ ）
A. 因为，所以B. 因为，所以
C. 因为，所以D. 因为，所以
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
【详解】A、因为，所以，原判断错误；
B、因为，所以，原判断错误；
C、因为，所以，判断正确；
D、因为，所以，原判断错误；
故选C．
9. 某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成（ ）个．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键．根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义得结论．
【详解】解：根据题意得：某种细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成个，
故选：D．
10. “漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．）
【答案】图（2）
【解析】
【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象，
∴图象（2）适合表示y与x的对应关系．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分．
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据运算法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12. 一个角的补角为，则这个角为________．
【答案】27
【解析】
【分析】本题主要考查了补角有关的计算，根据补角的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：27．
13. 1-6个月的婴儿生长发育得很快，如果一个婴儿出生的体重为，那么他的体重和月龄x（月）间的关系可以近似用来表示，则当x的值为3时，对应y的值为________．

【答案】5400
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的函数值，当x的值为3时，代入函数关系式计算即可；熟练掌握一次函数值的代入求法是关键．
【详解】解：当x的值为3时，
，
故答案为：5400．
14. 素有“岭南古邑”之称的英德，是广东省茶叶主产区．英德某红茶上市后，每千克红茶160元，则购买红茶的费用y（元）与红茶重量x（千克）之间的关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，正确理解题意根据费用单价数量求解是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
故答案为：．
15. 为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角得出答案；
【详解】如图所示：延长交于点，
，，
，
，
，
，
．

故答案为：．
三、解答题（一）：本大题3小题，每题8分，共24分．
16. （1）计算：．
（2）运用整式的乘法公式进行计算：．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式和平方差公式的应用，把握公式特点是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可；
（2）先利用平方差公式将转化为，再用平方差计算可得结果．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及单项式乘以多项式，完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．利用完全平方公式、单项式乘多项式法则进行展开，合并同类项后代入相关数值进行计算即可．
【详解】解：原式
；
当，时，原式．
18. （1）尺规作图：如图，以点B为顶点，射线为一边，在外作一个，使它等于．
（2）在（1）的基础上用三角尺作图，过射线上的点D作与交于点E，若，则________．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，过直线外一点，作已知直线的平行线及平行线的性质，掌握作法是解题的关键．
（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点D，F，再以点D为圆心，长为半径画弧，交前弧于点，作射线，则是所求作的角；
（2）用三角尺斜边以重合，再用直尺边以三角板一直角边重合，使三角板沿直尺的一边滑动至另一条直角边过点D，作直线，并延长交于点E即可．
【详解】解：如图所示：
（2）如图所示，
，，
，
，
，
，
故答案为：40．
四、解答题（二）：本大题3小题，每题9分，共27分．
19. 如图，已知，，，试说明．
完善下面的解答过程（下划线内补全说理过程，括号内填写推理依据）：
解：因为（已知）．
所以∥________（________________）
所以________（________________）
因为（已知）
所以________（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）．
所以（________________）
即．
因为．
所以（等量代换）．
即
所以（________________）
【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】本题主要考查平行线判定和性质定理，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．利用平行线的性质及判定定理即可求解．
【详解】解：因为（已知）．
所以（内错角相等，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
因为（已知）
所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同旁内角互补）
即．
因为．
所以（等量代换）．
即
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行．
20. 观察以下等式：
……
（1）按以上等式的规律，填空：
①________．
②________．
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：．
【答案】（1）；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式．
（1）①读懂题意，按照题中的规律填空；②按照题中的规律填空；
（2）利用多项式乘以多项式计算；
（3）根据规律化简式子．
【小问1详解】
解：①
②，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
21 直线、、相交于点O，且，平分．
（1）如图1，
①的余角有________________．（填写所有符合情况的角）
②若，求的度数．
（2）如图2：探究与是否存在数量关系，如果存在，请直接写出与的数量关系，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的定义，垂直的性质，余角的定义，角的和差，掌握以上知识是解题的关键．
（1）①根据余角的定义解答即可；②根据，，得到，根据，推出，由平分，得到，设，则，利用，求出x的值，即可求解；
（2）根据题意得到，推出，由平分，得到，根据，即，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①，
，
，
，
，
的余角有，
故答案为：；
②，，
，
，
，
平分，
，
设，则，
，
，
；
【小问2详解】
解：，理由如下：
，，
，即，
平分，
，
，即，
，
．
五、解答题（三）：本大题2小题，每题12分，共24分．
22. 已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，请解答下列问题：
（1）变量x，y中，自变量是________，因变量是________．
（2）小明步行的速度是________，爸爸的速度是________．
（3）爸爸出发________min追上小明，a的值为________．
（4）当小明与爸爸相距时，求小明出发的时间．
【答案】（1）x，y （2），
（3），
（4）min或或
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键．
（1）根据函数图象确定自变量和因变量即可；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度；
（3）根据函数图象确定爸爸追上小明的时间以及的值；
（4）根据题意可知：分三种情况，然后分别计算出相应的时间即可．
【小问1详解】
解：变量x，y中，自变量是x，因变量是y，
故答案为：x，y．
【小问2详解】
解：小明的速度为：m/min，
爸爸的速度为：，m/min，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：爸爸追上小明的时间min，
min，
故答案为：，；
【小问4详解】
解：爸爸出发前相距的时间为min，
爸爸追上小明前相距的时间为
爸爸返回时相距的时间为：
综上所述，小明与爸爸相距时，小明出发的时间为min或或．
23. 综合与实践：
学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形：
（1）①利用图2可得等式：________．
②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：________________．
（2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：________________．
【问题解决】
（3）已知，，利用（1）中①得到的等式求代数式的值．
【拓展延伸】
（4）如图5，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形和正方形，已知，两正方形的面积和20，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①；②（2）画图见解析，（3）（4）
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式求图形面积，多项式的乘法，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键．
（1）①结合图形，即可解答：②根据各部分的面积和等于大长方形的面积，两种方法即可解答；
（2）根据长方形面积为，由长为宽为列等式，即可解答；
（3）根据完全平方变形公式，即可解答；
（4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据可得，根据两正方形的面积和20，可得，利用完全平方公式变形公式，即可解答．
【详解】（1）①解：结合图形可得大正方形的边长为，是由两个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，一个边长为b的小正方形组成，
故答案：；
②解：同①中方法得：；
大正方形减去四个小长方形面积可得方法2：，
故答案为：；
（2）解：面积为的长方形的长为，宽为；
如图所示：
拼成的长方形由7个长为a，宽为b的小长方形和2个边长为a，3个边长为b的小正方形组成，
，
故答案为：；
（3）解：，，，
，
，
故答案为：；
（4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，
，
，
两正方形的面积和20，
，
，
阴影部分的面积为．温度
100
150
200
250
导热率
0.15
0.2
0.25
0.3