河北省保定市高碑店市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列有关学科的图标中（不含文字），是中心对称图形的是（ ）
A. 地理B. 生物
C. 物理D. 化学
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：B．
2. 如图，在中，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，难度不大，属于基础题．
根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解；∵中，，
，
，
，
故选：A．
3. 若“□2”是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握用符号“>”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．
根据不等式的定义判断即可．
【详解】解：、、都是不等式，不是不等式
故选A．
4. 如图，在中，，，若，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可．
【详解】，，，
故选D．
5. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴的表示方法．
根据不等式的解集在数轴上表示方法，：，向右画；，向左画，在表示解集时，要用实心圆点表示；，要用空心圆点表示．
【详解】解：该数轴表示的不等式的解集为．
故选B．
6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横、纵坐标均取相反数可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7. 不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找．
分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组的解集为
故选C．
8. 嘉嘉和爸爸非常自律，每天晚饭后都要从7点钟开始进行半个小时的体育锻炼，在锻炼期间，钟表上的分针（ ）
A. 顺时针旋转了B. 逆时针旋转了
C. 逆时针旋转了D. 顺时针旋转了
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解决本题的关键在于知道分针走一大格是．
钟面上指针转动的方向就是顺时针，分针走一大格是，从7点钟到7点半走了6大格，据此即能求解．
【详解】解：顺时针旋转了，
故选：D．
9. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，则长度为的线段是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，利用网格的特点和勾股定理分别求出4条线段的长即可得到答案．
【详解】解：由网格的特点可知
，，，
可知长度为的线段是
故选A．
10. 如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转得到，当点E落在上时，点D到的距离为（ ）

A. 6B. 8C. 15D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
根据勾股定理得，再根据旋转的性质得即可．
【详解】解：∵，，，
，
根据旋转可得：，．
故选：B．
11. 如图，淇淇在一条南北方向的公路l上行走，出发点A在观察点B的南偏东方向上，行走后达到点C处，点C在点B的北偏东方向上，则出发点A与观察点B之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了方向角、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据题意得，，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，然后根据等边三角形的判定及性质即可得出答案．
【详解】解：如图：
根据题意得，
在和中
为等边三角形
点A到点C之间的距离为
出发点A与观察点B之间的距离为
故选D．
12. 三位同学玩谁是卧底游戏，其中卧底提供的信息是完全相反的．关于校篮球队本周比赛的得分，三人的说法如下．
珍珍：得分不少于67分；
欣欣：得分不少于64分；
丁丁：得分为奇数．
其中珍珍是卧底，则通过三人的对话，分析可知校篮球队本周比赛的得分为（ ）
A. 63分B. 64分C. 65分D. 67分
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了推理与论证，根据题意得到丁丁和欣欣说的是真话是解题的关键．
根据题意，根据丁丁和欣欣说的是真话，可得珍珍说的是相反的，则校篮球队本周比赛的得分是奇数，据此即可解答．
【详解】根据题意，珍珍是卧底，珍珍提供的信息是完全相反的，丁丁和欣欣的说法正确的，
根据丁丁和欣欣的说法，则校篮球队本周比赛的得分是奇数，且得分少于67分；不少于64分；
即得分取值范围为大于等于64分，少于67分，且为奇数，
故校篮球队本周比赛的得分为65分，
故选：C．
13. 对于题目“作的平分线”给出如下两种方案．
关于这两个方案，下列说法正确的是（ ）
A. 只有方案1可行B. 只有方案2可行
C. 两个方案都可行D. 两个方案都不可行
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和步骤，全等三角形对应角相等．
根据方案1作图可知，用证明，即可求证平分；根据方案2作图可知，，即可用证明，即可求证平分．
【详解】解：方案1：
连接，
由作图可知：，
∵，
∴，
∴，即平分；
方案2：由作图可知：，
∵分别为的垂线，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
综上：方案1、方案2均正确，
故选：C．
14. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，应从图象入手分析，将不等式与一次函数的关系梳理清楚，即可求得结果．找到函数图象在轴上方（含轴）对应的的范围即可．
【详解】解：由图象和题意可知：
函数图象在轴上方（含轴）对应的的范围是，
故选：D．
15. 如图，在平面直角坐标系中，甲、乙两只小虫以相同的速度从点O同时出发，分别沿，两条路径匀速爬行一周（图中粗线）后返回原点，用时分别为和．若点，，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，直接根据点到坐标轴的距离定义即可得出答案．
【详解】，，
甲小虫所走的距离为，乙小虫所走的距离为
甲、乙两只小虫的速度相同，
故选B．
16. 对于题目“如图，在四边形中，，，，对角线的长随形状的改变而变化．当为等腰三角形时，求的面积．”甲给出的答案为8，乙给出的答案为10，丙给出的答案为12，则下列说法正确的是（ ）

A. 只有甲的答案正确B. 只有丙的答案正确
C. 甲、丙两人合起来才正确D. 乙、丙两人合起来才正确
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形性质，根据等腰三角形的性质得出或，分两种情况根据勾股定理和等腰三角形的性质求三角形的面积即可得出答案．
【详解】为等腰三角形
或

过点D作交于点E，
当时，
在中，
；
当时，
在中，不成立，故不是三角形；
故选B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 如图，直线l垂直平分，点P在直线l上，若，则____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质和等边对等角，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角即可得出答案．
【详解】解：直线l垂直平分，点P在直线l上，
故答案为：．
18. 若，则____________2（填“”“”或“”）；
若是关于x的不等式的解集，则m的取值范围是____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等式仍然成立即可得出答案；
（2）根据不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等式的方向要发生改变，即可得出，求解即可得出答案．
【详解】解：
即
故答案为：；
是关于x的不等式的解集，
故答案为：．
19. 如图，的直角边在直线m上，，，将绕点C旋转至三角形①的位置得到点；将三角形①绕点旋转至三角形②的位置得到点；将三角形②绕点旋转至三角形③的位置得到点；…．依此规律，回答下列问题．
（1）长为____________．
（2）若n为正整数，用含n的代数式表示的长为____________．
【答案】 ①. 4 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，且三次一循环是解题的关键．
观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，根据规律，然后列式即可得解．
【详解】解：在中，，
∴将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，
可得到点，此时；
将位置③的三角形绕点顺时针旋转到位置④，
可得到点，此时；
，
故答案为：4；．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 解下列不等式．
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【小问1详解】
解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
【小问2详解】
解：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得．
21. 如图，，，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：证明：∵，
∴，即．
∵，
∴在和中，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，绕着一点按顺时针方向旋转得到，D，E，F分别为点A，B，C的对应点，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）____________，旋转中心为____________（填“”或“”），旋转角为____________．
（2）在图中补全．
【答案】（1）；；90
（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（1）根据勾股定理即可求出，根据旋转的性质即可判断旋转中心和旋转角；
（2）根据旋转作图方法解答即可
【小问1详解】
根据图象得：，
，
∴旋转中心为，旋转角为，
故答案为：；；90；
【小问2详解】
如图：
23. 为平面直角坐标系内的一点．
（1）若点M的横坐标不小于纵坐标，求m的取值范围．
（2）若点M在第三象限，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点特征及一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标及一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
（1）根据题意列出不等式求解即可；
（2）点M在第三象限，说明该点的横坐标和纵坐标均为负数，由此即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，得
解得．
【小问2详解】
由题意，得
解得．
24. 在劳动技术课上，某同学利用旋转的知识制作了一个如图所示的精美风车（每个扇叶旋转均可与相邻的扇叶重合），并利用风车的四个扇叶进行了如下探究．
探究1：确定的形状．
探究2：验证勾股定理．
设，，．
由旋转可知，，，，
∴①，②，③，④．
由图形可知，，则⑤，
∴．
探究3：计算的面积．
（1）为____________三角形．
（2）补全探究2中证明过程．
（3）若，，直接利用（1）（2）中的结论，求的面积．
【答案】（1）等腰直角
（2）；；；；
（3）
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）证明，得出，，即可解答；
（2）根据题中思路解答即可；
（3）由（2）可知，．由（1）可知，为等腰直角三角形，根据面积公式即可求解；
【小问1详解】
解： 根据题意可得，，
根据旋转可得，
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
【小问2详解】
设，，．
由旋转可知，，，，
∴①，②，③，④．
由图形可知，，
则⑤，
∴．
故答案为：；；；；；
【小问3详解】
由（2）可知，．
由（1）可知，为等腰直角三角形，
．
25. 今年3·15晚会曝光了许多与我们生活息息相关的存在食品安全问题的产品，这也警示了许多商家需重视食品安全，不可损害人民的利益．某糕点生产厂家严格把控食品品质，深得顾客的信赖，并在此基础上提出了“反对商品过度包装，去包装化”的口号，这也从另一个角度保证了食品安全，保护了生态环境．为此，厂家对购买简装糕点的顾客实施优惠，商品价格及优惠方案如下．
购买简装糕点，在以上价格的基础上，小份优惠1元/份，大份优惠2元/份．
（1）根据顾客反馈，某种糕点购买简装大份每克的价格比小份还贵，此种糕点为____________．
（2）为保证每种糕点简装大份每克的价格都比小份便宜，则应将大份的优惠价格修改为每份优惠几元？（优惠价格取最小整数）
（3）在（2）中优惠价格的基础上，然然妈妈带150元购买简装大份的肉松小贝和简装大份的巧克力欧包共10份，且购买肉松小贝的份数少于巧克力欧包份数的1．5倍，请利用不等式组说明然然妈妈应买几份简装大份的肉松小贝．
【答案】（1）巧克力欧包
（2）大份每份应优惠4元
（3）然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝，见解析
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出不等式组．
（1）根据题中表格分别计算即可；
（2）设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元，由题意列不等式解答即可；
（3）设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包，由题意列不等式组解答即可；
【小问1详解】
解：购买肉松小贝大份每克的价格：元，
肉松小贝小份每克的价格：元，
∴购买肉松小贝大份每克的价格比小份每克的价格便宜；
巧克力欧包大份每克的价格：元，
巧克力欧包小份每克价格：元，
∴购买巧克力欧包大份每克的价格比小份每克的价格还贵；
故此种糕点为巧克力欧包，
故答案为：巧克力欧包．
【小问2详解】
设应将大份的优惠价格修改为每份优惠x元．
由题意，得，
解得．
∵x取最小整数，
∴，即大份每份应优惠4元．
【小问3详解】
设购买m份简装大份的肉松小贝，则购买份简装大份的巧克力欧包．
由题意，得
解得．
答：然然妈妈应买5份简装大份的肉松小贝．
26. 如图，在等边中，，将含角的三角板中角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边与的边，分别交于点E，F，且始终与垂直，连接．
（1）是什么三角形？请说明理由．
（2）如图1，若，求的长．
（3）如图2，当时，求的长．
【答案】（1）是直角三角形，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和、等边三角形的判定及性质、含30度的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和和等边三角形的性质即可得出答案；
（2）根据等边三角形的性质及含30度的直角三角形的性质以及线段的和差即可得出答案；
（3）根据平行线的性质和等边三角形的性质易证为等边三角形，再根据等边三角形的性质和线段的和差得出，然后根据（2）中的，，最后根据线段的和差即可得出答案．
【小问1详解】
是直角三角形．
理由：∵，∴．
∵，∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【小问2详解】
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，是直角三角形，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴．
【小问3详解】
∵．
∴，．
∵为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形．
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
由（2）知，，，
∴，
∴．方案1：
以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求．
方案2：

以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求．
名称
小份（）
大份（）
肉松小贝
16元
18元
巧克力欧包
12元
20元