山西省大同市第一中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个选项符合题意.
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量满足，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 斜四棱柱侧面中矩形的个数最多可有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知球内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为和，则此球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平行四边形中，为重心，满足，则（ ）
A. B. C. 0D.
7. △ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A. B.
C. D.
8. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）

A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A. 对应的点在复平面的第四象限B. 是一个纯虚数
C. D.
10. 下列选项中哪些是正确的（ ）
A. （为虚数单位）
B. 用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台
C. 在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形
D. 当时，向量，的夹角为钝角
11. 在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是（ ）
A. 正四面体的体积为
B. 正四面体外接球的表面积为
C. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为__________.

13. 在中，，则_________.
14. 已知圆台轴截面是等腰梯形ABCD，，，圆台的底面圆周都在球O的表面上，点O在线段上，且，记圆台的体积为，球O的体积为，则______．
四、解答题：本题共4小题，共44分.
15 回答下列问题
（1）已知复数是方程的根（是虚数单位，），求．
（2）已知复数，设复数，（是的共轭复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
16. 如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.
（1）若是边的中点，求的值；
（2）当时，请确定点的位置.
17. 已知圆锥的顶点为，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为，若的面积为.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.
18. 在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在中，内角，，对边分别为，，，且满足______.
（1）求；
（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.