山西省晋中市左权县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1. 本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3. 答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的运算结果为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法求解即可求得答案．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°对各选项分析判断即可得：
【详解】A、∠1=∠2，不是互为余角关系，故本选项错误；
B、∠1=∠2，是对顶角，不是互为余角关系，故本选项错误；
C、∠1与∠2互为余角关系，故本选项正确；
D、∠1与∠2互为补角关系，故本选项错误．
故选C．
【点睛】考点：余角和补角
3. 春寒料峭，2024年3月23日左权县下起了雨，很快雨夹雪，图1是气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了从图象中获取信息，有理数的加减运算，通过观察图象确定最高温度和最低温度，再求出温差即可．
【详解】观察图象可知最高温度是，最低温度是，
这天的日温差是．
故选：B．
4. 若，则的余角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个角的余角，掌握和为 的两角互为余角是解题的关键．
用减去即可求解．
【详解】解：由，则的余角为
故选：A．
5. 每到春天，晋阳湖的桃花岛就成了一道迷人的风景，已知每片桃花重约，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
6. 如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【详解】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理垂线段最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．
7. 在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的几何解释，正确理解公式是解题的关键．
【详解】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，此时长方形的面积为，
根据面积相等的性质，得，
即：，
故选：C．
8. 如图，已知四边形，点E在的延长线上，连接，下列说法中正确的是（ ）
A. 和是同旁内角B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，三线八角，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行线的判定定理以及同位角的概念即可对各选项作出判断．
【详解】解：A、和是同位角，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项符合题意；
D、若，则，故本选项不符合题意．
9. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表所示：
下列说法中不正确的是（ ）
A. x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B. 弹簧不挂重物时的长度为20cm
C. 在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D. 在弹性限度内，当所挂物体的质量为7kg时，弹簧的长度为24cm
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系．根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可．
【详解】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意；
B、弹簧不挂重物时的长度，即当时y的值，此时，是正确的，因此该选项不符合题意；
C、物体质量x每增加，弹簧长度增加，是正确的，因此该选项不符合题意；
D、根据物体质量x每增加，弹簧长度增加，可得出所挂物体质量为时，弹簧长度为，原说法错误，因此该选项符合题意；
故选：D．
10. 如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕（虚线）折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子．根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算法则和列代数式，能根据题意列出代数式是解此题的关键．长方体盒子的底为边长为，的长方形的面积，利用长方体的体积公式即可表示出长方形的体积．
【详解】解：长方体盒子的底为边长为，的长方形的面积，
则长方形的体积为：，
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共70分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
分析】本题考查负整数指数幂、零次幂．根据负整数指数幂、零次幂，分别计算即可解答．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若一个梯形的上底长是，下底长是，高是，则该梯形的面积与上底长之间的关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了函数关系式，关键是掌握梯形的面积公式．根据梯形的面积公式：（上底+下底）高进行计算即可．
【详解】解：由梯形的面积公式可得．
故答案为：．
13. 如图，将直尺（）与三角板（）叠放在一起．若，则的度数为______．
【答案】##62度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先求出，再根据平行线的性质即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 若，则_________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键；
把化简为同底数幂的运算，由得，代入即可求解；
【详解】
，
∴
，
，
，
，
故答案为：16
15. 小康上午从家里出发，骑车去君诚综合超市购物，然后从这家超市返回家中，小康离家的路程y（米）与所用的时间x（分）之间的关系如图所示．有下列结论：①小康家距离超市米；②小康去超市途中的速度是米/分；③小康返回家；④小康在超市逗留了分钟．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
由题意可知，小康家距离超市米；可判断①的正误；小康去超市途中的速度是米/分；可判断②的正误；由图象可知，返家的速度为米/分，返家所用时间为分，即小康返回家；可判断③的正误；小康在超市逗留了分钟；可判断④的正误．
【详解】解：由题意可知，小康家距离超市米；①正确，故符合要求；
小康去超市途中的速度是米/分；②正确，故符合要求；
由图象可知，返家的速度为米/分，
∴返家所用时间为分，
∴返回家的时间为分，即小康返回家；③错误，故不符合要求；
小康在超市逗留了分钟；④正确，故符合要求；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（用乘法公式简便计算）.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先利用积的乘方、同底数幂的除法运算法则计算，再合并同类型求解即可；
（2）根据单项式乘单项式和单项式除以单项式的运算法则求解即可；
（3）利用多项式乘以多项式的运算法则求解即可；
（4）将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
17. 如图，D是的边延长线上一点，以点C为顶点，射线为一边，在上方利用尺规作，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的基本步骤是解题的关键．
根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
【详解】解：如图所示，
即为所求．
18. 如图，直线，相交于点O，射线平分，，若，求的度数.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线，垂线，对顶角相等，熟练掌握垂线及对顶角相等是解题的关键，根据出现得.从而求得.进而利用对顶角的性质及角平分线定义即可得解。
【详解】解：因为，
所以.
因为，
所以.
因为OM平分，
所以.
所以.
19. 阅读下面张轩同学计算过程，并完成任务.
任务：
（1）以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是____________；
（2）请写出正确的解答过程.
【答案】（1）一，错用完全平方公式
（2），
【解析】
【分析】本来是主要考查整式的混合运算与化简求值，解答的关键是掌握乘法公式及整式混合运算的运算顺序和计算法则．
（1）根据完全平方公式分析作答；
（2）根据整式的混合运算的运算顺序和计算法则进行计算，然后代入求值即可求解．
【小问1详解】
解：以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是错用完全平方公式，
故答案为：一，错用完全平方公式；
【小问2详解】
解：原式
当，时，原式．
20. 已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
请把下列推理过程补充完整．
解：．
理由：因为，
根据“____________”，
所以．
又因为，
根据“____________”，
所以．
根据“____________”，
所以．
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等，内错角相等，两直线平行
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，
（1）根据平行线性质和判定、同角的补角相等填写推理依据即可；
（2）由可得，，进而由角平分线定义可得：，进而可得结论．
【小问1详解】
解：．
理由：因为，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以．
又因为，
根据“同角补角相等；”，
所以．
根据“内错角相等，两直线平行”，
所以；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等，内错角相等，两直线平行．
【小问2详解】
因为，所以．
因为平分，所以．
因为，所以
21. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
谛回答下列问题：
（1）当刹车时车速为时，刹车距离是_______m；
（2）根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：_________；
（3）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ （相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．）
【答案】（1）
（2）
（3）推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
【解析】
【分析】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关键．
（1）根据表格数据可得答案；
（2）根据刹车时车速每增加，刹车距离增加，可得答案；
（3）结合（2）的结论得出可得车速为，进而得出答案．
【小问1详解】
解：由表格信息可得：当刹车时车速为时，刹车距离是；
【小问2详解】
由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加，
与之间的关系式为：，
【小问3详解】
当时，，
，
，
事故发生时，汽车是超速行驶．
答：推测刹车时车速是，所以事故发生时，汽车是超速行驶．
22. 综合与实践
数学活动课上，王老师准备了若干个图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形.
（）若小明想用图中的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要三种纸片共______张；
（）小兰用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成了图所示的大正方形，在用两种不同的方法求此大正方形的面积时，小兰发现了代数式，，之间的等量关系式，这个关系式是：____________；
（）小静用种纸片一张，种纸片一张，如图所示放置，连接，与边构成直角三角形，若，，根据（）题中的等量关系，请你帮小静求出直角三角形的面积．
【答案】（）；（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用多项式乘多项式的法则运算，观察各项的系数即可求解；
（）利用图大正方形的面积等于部分面积之和解答即可求解；
（）把，代入（）中的关系式，求出的值即可求解；
本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键．
【详解】解：（）∵，
∴需要种纸片张，种纸片张，种纸片张，三种纸片共张，
故答案为：；
（）∵图大正方形的面积等于部分面积之和，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，，，
∴，
∴，
∴，
即直角三角形的面积为．
23. 综合与探究
【感知】如图①，，，，求的度数．
小乐想到了以下方法：
解：如图①，过点P作，所以．
因为，所以．
所以．
因为，所以．
所以．
【迁移】（1）如图②，已知，，，则______；
【探究】（2）如图③，已知，，，求的度数；
【应用】（3）如图④，在以上【探究】条件下，的平分线与的平分线交于点G，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）过点P作，由平行线的性质可得，，则可得，进而可求解．
（2）过点P作，由平行线的性质得，，然后根据即可求解；
（3）由角平分线的定义得，，过点G作，由平行线的性质得，，据此解得求得的度数．
【详解】解：（1），理由如下：
过点作，

，
，
，，
，
即：，
，，
，
故答案为：；
（2）如图2，过点P作，
所以
因为，所以．
所以．
所以．
（3）因为是的平分线，是的平分线，
所以，．
如图3，过点G作，
所以．
因为，
所以．
所以．
所以．
所挂物体的质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度y/cm
20
20.5
21
21.5
22
22.5
先化简，再求值：，其中，
解：原式………………第一步
……………………………第二步
…………………………………………………第三步
……………………………………………………………第四步
当，时，原式……………………第五步
刹车时车速
0
10
20
30
40
50
…
刹车距离
0
5
10
…