浙江省杭州市淳安县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．
3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．
4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．
5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．
试题卷
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可求解，
本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：．
2. 买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买3个足球和2个篮球共需（ ）元
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了列代数式，注意字母的含义．用买足球的钱加上买篮球的钱即可．
【详解】解：∵买一个足球需m元，买一个篮球需n元，
∴买3个足球和2个篮球共需：元．
故选：C．
3. 如果三角形的两边分别为和，那么第三边可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，设第三边的长为，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得，再解不等式即可．
【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系得：，
即，第三边可以为
故选：A．
4. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A. c＝bsinBB. b＝csinBC. a＝btanBD. b＝ctanB
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
5. 已知数据的平均数为10，则中位数是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求中位数，先根据平均数求出值，将数据排序后中间两位的平均数即为中位数．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
将数据进行排序：，
∴中位数为：；
故选D．
6. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出，由此即可得到答案，解决本题的关键是理解题意，准确进行计算．
【详解】解：由题意可得：，
，
故选：A．
7. 在同一坐标系中，若直线与直线的交点在第一象限，则下列关于的判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，解不等式组，先联立两函数解析式求出交点坐标为，再根据交点在第一象限得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：联立，解得，
∴直线与直线的交点坐标为，
∵直线与直线的交点在第一象限，
∴，
∴，
故选：D．
8. 如图，已知正方形为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积．在以上结论中，正确的有（ ）
A. ①②B. ②③④C. ①②③D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】由折叠的性质可得，，，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；取一种特殊情况，即当点与点重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，
为的中点，
，
由翻折可知：，，，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
故①②正确，
如图1中，当与重合时，
设．则，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，故③正确，
如图2中，
当点与点重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．
9. 二次函数的图像经过四个点．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意确定点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离是解题关键．首先确定该二次函数的图像的对称轴为，且开口向上，，结合可得点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，然后列出关于的不等式组，求解即可获得答案．
【详解】解：对于二次函数，
其对称轴为，且开口向上，
将点代入二次函数解析式，
可得，即，
∴当时，可有，
又∵，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴可有，解得，
∴，即．
故选：A．
10. 如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆的弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据在同圆中，等弦所对的弧相等可得，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得，推得，即可得出，，根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，根据两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
则，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二．填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是方差的计算，熟记方差公式是解本题的关键，先计算数据的平均数，再结合方差公式可得答案．
【详解】解：平均数为：，
∴方差为：
，
故答案为：
12. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．下表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据：

则与之间的函数关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数图象是一次函数，利用待定系数法解答．
由题意可知该图象是一次函数，然后根据待定系数法求出函数解析式即可；
【详解】由题意可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
即与之间的函数表达式为．
故答案：．
13. 如图，在菱形中，，，分别以点A，C为圆心，，为半径画弧，图中阴影部分面积为______（结果保留π）．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，扇形的面积．过点D作于点E，由得到，从而，运用勾股定理求得，从而得到菱形的面积，利用扇形的面积公式可求得扇形和扇形的面积，而阴影部分的面积等于扇形和扇形的面积和减去菱形的面积，即可解答．
【详解】过点D作于点E，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形和直角三角形的性质，能求出的长是解此题的关键．
根据三角函数值求出，，根据勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：过点A作于D，

∵，
∴，则，，
在中，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
故答案为：．
15. 已知：， ，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】将代入计算可得．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数求值，解题的关键是掌握完全平方公式及其变形．
16. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．
（1）若，，则的长是______cm．
（2）若，则的值是______．
【答案】 ①. 4 ②. 3
【解析】
【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长；
（2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∵，
∴，
故答案为：4；
（2）设，
∵，
∴可设，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∵四边形对角互补，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：，
解得，（舍去），
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
三．解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在下面两个集合中各有一些有理数，请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数，再用“，，，”中的运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：选取，，，，
可以构造下列运算式子：
．（答案不唯一）
18. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②扇形统计图中圆心角______度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）①；②；
（2）该校参加D组（阅读）的学生980人；
（3）树状图见解析，（恰好抽中甲、乙两人）．
【解析】
分析】（1）①利用组人数除以组所占百分比即可解题；
②利用组所占百分比得到组人数，再得到组人数，从而得到组所占百分比，利用其所占百分比乘以即可解题；
（2）利用总人数乘以组所占比，即可解题；
（3）根据题意画出树状图，然后求概率即可．
【小问1详解】
解：由图可知，（人），
（人），
（人），
，
故答案为：①；②；
【小问2详解】
解：人），
答：该校参加D组（阅读）的学生980人；
【小问3详解】
解：由题意可画树状图如下：
共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，列举法求概．从条形统计图，扇形统计图中获取正确的信息是解题的关键．
19. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）相等，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
（1）根据题意可得，即可根据证明，即可得出；
（2）先求出．再根据三角形的外角定理得出．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出
．
【小问1详解】
解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
20. 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

（1）求的值．
（2）过点作轴垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【小问1详解】
∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
【小问2详解】
如图所示，

由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21. 如图，内接于是⊙O的直径，过点C作的切线交AB的延长线于点，，的延长线交于交于点，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）的半径为2
【解析】
【分析】本题考查的是圆的综合题
（1）由切线的性质可得，由，可证，可得；
（2）由是的直径，可知，又因为，可知，为等边三角形，即可求出答案.
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
即的半径为2.
22. 已知关于的二次函数．
（1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点；
（2）若二次函数的顶点的坐标为，求与之间的函数关系及的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）当时，取得最大值，最大值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及顶点坐标公式．
（1）当时，，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式，得出顶点坐标为，设，可得，将其代入，得出y关于x的函数表达式，即可解答．
【小问1详解】
解：当时，．
，
该方程总有两个不相等的实数根，
无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点．
【小问2详解】
解：∵，
∴二次函数的顶点坐标为，
设，可得，将其代入，
整理后得．
顶点的运动轨迹为二次函数的图象，且该图象开口向下，
故当时，取得最大值，最大值为．
23. 综合与实践
【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图表示灯塔，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
______（填“>”，“=”或“”），
______（填“>”，“=”或“”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点，过、两点，作使其与直线相切，切点为，不妨在直线上另外任取一点，连接、，请你比较与的大小，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图4，某球员在球场底线点处接到球后，沿射线方向带球跑动，，球门宽为8米，米，若该球员在射线上的点处射门角度最大，即最大，试求出此时的长度．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，三角形的外角，切线的性质：
（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等结合三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，进行作答即可；
（2）设与交于点，连接，同（1）即可得出结论；
（3）由（2）可得，当经过的与相切时，最大，过点作交于点，延长交于点，先证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设的半径，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
，
；
故答案为：，．
（2），理由如下：
如图所示，设与交于点，连接，由同弧所对的圆周角相等得出
，
是的外角，
．
（3）如图所示，由（2）可得，当经过的与相切时，最大，
过点作交于点，延长交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
设的半径，
，
，
解得：，或（舍去），
．
24. 将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
（1）如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求点的坐标；
（2）如图（2），在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作交于点，交于点，求证：．
（3）在（2）的条件下，设的坐标为．①探求：与之间的函数关系式．②试求出纵坐标的最大值．
【答案】（1）点的坐标为
（2）见解析 （3）①；②当时，最大为
【解析】
【分析】（1）设，则，， 由勾股定理得，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可得点的坐标；
（2）由题意知，四边形是矩形，则，由折叠可知：，由，可得，则，进而可证．
（1）①如图，连接，证明，则，由勾股定理可得，整理作答即可；②由（1）可得，当时，最小，即，当恰好平分时，，此时最大，四边形为正方形，，则，根据二次函数的图象与性质，求解作答即可．
小问1详解】
解：∵矩形，
∴，，
设，则，，
由勾股定理得，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，
点的坐标为；
【小问2详解】
证明：由题意知，四边形是矩形，
∴，
由折叠可知：，
由题意知，，
∴，
∴．
∴，即．
【小问3详解】
①解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理可得，整理得．
②解：由（1）可得，当时，最小，即，
当恰好平分时，，此时最大，四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，最大为．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握矩形与折叠，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
时间（小时）
0
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度（厘米）
2
6
10
14
18
22