云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期教学测评月考（六）数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. 1B. C. iD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果.
【详解】由题意可得，所以z的虚部为，
故选：B.
2. 截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C．
3. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出，根据复数的几何意义，即可求得答案.
【详解】，
则z在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D.
4. 如图，向量的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】将向量，，的起点平移至同一点，并建立平面直角坐标系，写出，，的坐标，再列方程组求解即可．
【详解】解：将向量，，的起点平移至同一点，并建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
因为，，，，
所以，解得，，
故选：
5. 设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，即可得到，再根据复数代数形式的运算求出、，即可得解.
【详解】设，则在复平面内对应的点为，
又复数在复平面内对应点关于实轴对称，则在复平面内对应的点为，
所以，
所以，解得，
又，解得，
所以.
故选：A.
6. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，过点，分别作轴和轴的平行线，即可得到的坐标，再由两点间距离公式，即可得到结果.
【详解】
根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线，
与轴和轴分别交于点，，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，
则，，则的坐标为，则，，
故原图中，的坐标为，A的坐标为，
故，
故选：C.
7. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ）
A. B. 4C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，结合已知条件求得，再利用余弦定理，即可求得.
【详解】由于，故，由于，的面积为，故，
整理得，解得；
由余弦定理可得，解得.
故选：A.
8. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）
A. 每个面都是等边三角形
B. 每个面都是直角三角形
C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可.
【详解】如图，
每个面都是等边三角形，A不选；
每个面都是直角三角形，B不选；
三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. ，
C. 若，，则的最小值为2
D. 若是关于的方程的根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由的乘方的周期性解出即可；对于B，设分别求出等式两边比较即可；对于C，求出，由，求出最小值即可；对于D，由是关于x的方程的根，则也是关于x的方程的根，由根与系数的关系求出值即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，设，则，
由，所以，故B正确；
对于C，设，则，
所以，因为，
所以当时，的最小值为2，故C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
则也是关于x的方程的根，
故，
解得，故D正确.
故选：BCD.
10. 一个平面截正方体所得的截面图形可以是（ ）
A. 等边三角形B. 正方形C. 梯形D. 正五边形
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合截面图形的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，截面是正三角形，如图甲所示，故A正确；
对于B，截面可能是正方形，如图乙所示，故B正确；
对于C，截面可能为梯形，如图丙所示，故C正确；
对于D，截面有可能是五边形，如图丁所示，但截面五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知是夹角为的单位向量，且，，则（ ）
A. B.
C. 与的夹角为D. 在方向上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】由向量模长与数量积的关系计算即可判断A；借助数量积公式计算即可得判断B；由向量夹角公式计算即可判断C；由投影向量的定义计算即可判断D．
【详解】设与的夹角为，
对于A，，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，，
所以，故C错误；
对于D，在方向上的投影为，故D正确，
故选：BD．
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 复数，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，可得，即可求出，即可求得答案.
【详解】由题意得，故，
可得，则，
故答案为：
13. 如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则复原原图，确定相关线段长，即可求得答案.
【详解】由题意可知，，斜边，，∴，
由斜二测画法的规则可知，在中，，，，
∴的面积是，
故答案为：
14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆直径为，且，则角大小为______；若点在边上，，，则的面积为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据余弦的二倍角公式以及，结合已知条件求得，再求即可；利用正弦定理求得，再用表示，根据的模长以及余弦定理，列出的方程，求得，再根据三角形面积公式即可求得结果.
【详解】在中，，即，
故，解得或（舍），由，得；
的外接圆直径为，则，解得；
由余弦定理得，，得；
点在边上，，，则，
故，得，
即，由，解得；
所以的面积为.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知复数.
（1）若，求；
（2）若，且是纯虚数，求.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由复数的运算化简即可；
（2）设，由复数的模长和是纯虚数列方程组，解出即可.
【小问1详解】
∵复数，
∴
【小问2详解】
设，
∵，∴①.
又∵，
∴②，
由①②联立，解得或，
∴或.
16. 如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？
（2）每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？
【答案】（1）三棱锥，4个面
（2）等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，.
【解析】
【分析】（1）根据棱锥定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数，
（2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积.
【小问1详解】
如图，折起后的几何体是三棱锥，
这个几何体共有4个面.
【小问2详解】
由已知，，，，
所以， ，
所以为等腰三角形，为等腰直角三角形，
和均为直角三角形.
，
，
.
17. 已知的内角所对的边分别为,设向量,,且.
（1）求角;
（2）若,的面积为,求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可;
（2）先根据三角形的面积公式求出,再利用正弦定理求出即可.
【小问1详解】
因为,,且,
所以,
由正弦定理可得:，即,
由余弦定理得:，所以,
又,所以.
【小问2详解】
因为,
由三角形面积公式得:，解得,
所以为等腰三角形，所以,
又，即,
所以的周长为.
18. 一个圆台的母线长为13cm，两底面面积分别为和.求：
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长.
【答案】（1）12cm
（2）cm
【解析】
【分析】（1）易求两圆的半径，利用圆台的轴截面是等腰梯形，再根据勾股定理即可算出圆台的高.
（2）将等腰梯形的两腰延长相交得等腰三角形，其腰即为圆锥的母线长，利用相似三角形的知识即可求解.
【小问1详解】
圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示：
由已知可得上底半径，下底半径，
又腰长， 所以圆台的高为.
【小问2详解】
如图所示，延长交于点S，
设截得此圆台的圆锥母线长为l，
则由，可得，
解得：，
所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，设点P为的费马点，求；
（3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
（3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
由，得，
故.
由正弦定理可得，故直角三角形，即.
【小问2详解】
由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则.
小问3详解】
如图，点为的费马点，则，
设，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立.
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可.