高中数学学考复习优化练习13函数y=Asin(ωx+φ)含答案

这是一份高中数学学考复习优化练习13函数y=Asin(ωx+φ)含答案，共10页。

1.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A.π3B.π6C.0D.π4
2.已知函数f(x)=2sin(2x+θ),θ∈R,若fπ3=-2,则f(x)的一个单调递减区间是( )
A.π3,4π3B.-2π3,π3
C.π3,5π6D.-π6,π3
3.设函数f(x)=csωx+π6在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为( )
A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2
4.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,则φ=( )
A.5π12B.π3C.π4D.π6
5.函数y=cs 2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后,与函数y=sin2x-π6的图象重合,则φ=( )
A.π12B.π6C.π3D.5π12
6.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图,则( )
A.ω=π2,φ=π4B.ω=π3,φ=π6
C.ω=π4,φ=π4D.ω=π4,φ=5π4
7.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤fπ3对于任意x∈R恒成立,且fπ2>f(π),则f5π12的值为( )
A.-32B.0C.12D.32
8.将函数y=3cs x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.π12B.π6C.π3D.5π6
9.(2023浙江精诚联盟)函数f(x)=sinx1+csx的部分图象大致为( )
10.(多选)(2023浙江宁波)关于函数f(x)=11+csx,下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)是偶函数
C.函数f(x)是周期函数
D.函数f(x)在(-π,0)内单调递减
11.(多选)(2023浙江学军中学)已知函数f(x)=Asinωx+π4+B(A>0,ω>0),( )
A.若f(x)在区间π4,3π4上单调,则0<ω≤2
B.将函数y=f(x)的图象向左平移π2个单位长度得到曲线C,若曲线C对应的函数为偶函数,则ω的最小值为12
C.若方程sinωx+π4=1在区间(0,π)内恰有三个解,则94<ω≤134
D.关于x的方程f(x)=22A+B在(0,π)内有两个不同的解,则2<ω≤52
12.若函数y=cs(2x+φ)|φ|<π2的图象关于点4π3,0中心对称,则φ= .
13.函数y=2sin 2x+sin2x(x∈R)的最小正周期是 ,值域是 .
14.设函数f(x)=sin4x+π4,x∈0,π4.若关于x的方程f(x)=a有解,则实数a的取值范围是 .
15.(2023浙江大学附中)某游乐场的摩天轮示意图如图所示.已知该摩天轮的半径为30米,轮上最低点与地面的距离为2米,沿逆时针方向匀速旋转,旋转一周所需时间为24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱,标号分别为1~12(可视为点),在旋转过程中,座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型,现从图示位置,即1号座舱位于圆周最右端时开始计时,旋转时间为t分钟.
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h(t)的解析式;
(2)在前24分钟内,求1号座舱与地面的距离为17米时t的值;
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米,求当H取得最大值时t的值.
16.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小值为1,最小正周期为π,且f(x)的图象关于直线x=π3对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到函数y=g(x),求函数y=g(x)的单调递减区间.
能力提升
17.函数f(x)=sin x+acs x的图象关于直线x=π6对称,则实数a的值是( )
A.12B.2
C.32D.3
18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若gπ4=2,则f3π8=( )
A.-2B.-2
C.2D.2
19.(多选)(2023浙江精诚联盟)已知函数f(x)=sin ωx-3cs ωx,ω>0,则下列结论中正确的是( )
A.若ω=2,则将f(x)图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于原点对称
B.若|f(x1)-f(x2)|=4,且|x1-x2|的最小值为π2,则ω=2
C.若f(x)在0,π3上单调递增,则ω的取值范围为(0,3]
D.当ω=3时,f(x)在[0,π]上有且只有3个零点
20.(2023浙江嘉兴)已知函数f(x)=msin12x-π4-sin x+2在π2,2π上有两个不同的零点,则满足条件的所有m的值组成的集合是 .
21.(2023浙江丽水)已知函数f(x)=3sin ωxcs ωx-sin2ωx+12,其中ω>0,若实数x1,x2满足|f(x1)-f(x2)|=2,|x1-x2|的最小值为π2.
(1)求ω的值及f(x)的单调递减区间;
(2)若不等式f2(x)+2acs2x+π6-2a-2<0对任意x∈-π12,π6恒成立,求实数a应满足的条件.
优化集训13 函数y=Asin(ωx+φ)
基础巩固
1.B 解析 将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π6个单位长度后,得到函数的图象对应的函数解析式为y=sin2x+π6+φ=sin2x+π3+φ,再根据所得函数为偶函数,可得π3+φ=kπ+π2,k∈Z,φ=kπ+π6,故φ的一个可能取值为π6,故选B.
2.D 解析 由fπ3=2sin2π3+θ=-2,则2π3+θ=3π2+2kπ(k∈Z),θ=5π6+2kπ,则f(x)=2sin2x+5π6,∴2kπ+π2≤2x+5π6≤2kπ+3π2,解得kπ-π6≤x≤π3+kπ,故选D.
3.C 解析 由题图知f-4π9=cs-4π9ω+π6=0,所以-4π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z),化简得ω=-3+9k4(k∈Z).因为T<2π<2T,即2π|ω|<2π<4π|ω|,所以1<|ω|<2,解得-1194.D 解析 f(x)的图象向右平移φ个单位长度后,得到g(x)=sin(2x-2φ),又|f(x1)-g(x2)|=2,∴不妨令2x1=π2+2kπ,2x2-2φ=-π2+2mπ,∴x1-x2=π2-φ+(k-m)π,又|x1-x2|min=π3,∴π2-φ=π3,解得φ=π6,故选D.
5.C 解析 由y=cs 2(x-φ)=sin2x-2φ+π2=sin2x-π6,解得φ=π3.
6.C 解析 由图知T4=2,故T=8,由T=2πω,得ω=π4.由图知,函数过(1,1),故π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,从而φ=2kπ+π4,由题意取φ=π4.故选C.
7.D 解析 由条件,f(π3)=sin(2π3+φ)=±1,sin(π+φ)>sin(2π+φ),解得φ=-π6,∴f(x)=sin2x-π6,∴f5π12=32,故选D.
8.B 解析 由于y=3cs x+sin x=2csx-π6(x∈R),向左平移m(m>0)个单位长度后得函数y=2csx+m-π6的图象,由于图象关于y轴对称,所以m-π6=kπ,于是m=π6+kπ,k∈Z,故当k=0时,m取最小值π6.故选B.
9.A 解析 因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=sinx1+csx是奇函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,故选A.
10.BCD 解析 由1+cs x≠0得cs x≠-1,所以x≠2kπ+π,k∈Z,所以f(x)的定义域是{x|x≠2kπ+π,k∈Z},故A选项错误.则f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=11+cs(-x)=11+csx=f(x),所以f(x)是偶函数,B选项正确.f(x+2π)=11+cs(x+2π)=11+csx=f(x),所以f(x)是周期函数,C选项正确.当x≠2kπ+π,k∈Z时,1+cs x>0恒成立,y=1+cs x在(-π,0)内单调递增,所以f(x)=11+csx在(-π,0)内单调递减,D选项正确.故选BCD.
11.BCD 解析 对于A,x∈π4,3π4,ωx+π4∈ωπ4+π4,3ωπ4+π4,若f(x)在区间π4,3π4上单调递增,则ωπ4+π4≥2kπ-π2,3ωπ4+π4≤2kπ+π2,解得8k-3≤ω≤83k+13,又因为k∈Z,ω>0,所以0<ω≤13,若f(x)在区间π4,3π4上单调递减,则ωπ4+π4≥2kπ+π2,3ωπ4+π4≤2kπ+3π2,解得8k+1≤ω≤8k3+53,又因为k∈Z,ω>0,所以1≤ω≤53.综上,0<ω≤13或1≤ω≤53,A错误;对于B,y=f(x)的图象向左平移π2个单位长度得到g(x)=Asinωx+ωπ2+π4+B,若g(x)为偶函数,则有ωπ2+π4=kπ+π2,解得ω=2k+12,k∈Z,而ω>0,所以ω最小值为12,B正确;对于C,因为x∈(0,π),所以ωx+π4∈π4,ωπ+π4,函数y=sinωx+π4在(0,π)内恰有三个极值点,则有5π2<ωπ+π4≤7π2,解得94<ω≤134,C正确;对于D,f(x)=22A+B,即sinωx+π4=22,x∈(0,π),ωx+π4∈π4,ωπ+π4,则9π4<ωπ+π4≤11π4,解得2<ω≤52,D正确.故选BCD.
12.-π6 解析 因为余弦函数y=cs x的图象的对称中心是π2+kπ,0(k∈Z),函数y=cs(2x+φ)|φ|<π2的图象关于点4π3,0中心对称,所以2×4π3+φ=π2+kπ,所以φ=-13π6+kπ(k∈Z),因为|φ|<π2,所以φ=-π6.
13.π 1-172,1+172 解析 函数y=2sin 2x+sin2x=2sin 2x+1-cs2x2=172sin(2x-φ)+12,cs φ=41717,sin φ=1717(x∈R).∵-1≤sin(2x-φ)≤1,
∴1-172≤172sin(2x-φ)+12≤1+172,即函数的值域为1-172,1+172,最小正周期T=2π2=π.
14.-22,1 解析 令z=4x+π4,则当x∈0,π4时,z=4x+π4∈π4,5π4,作出函数y=sin z,z∈π4,5π4的图象(图略),直线y=a与之有公共点的条件是a∈-22,1.
15.解 (1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0),则A=30,b=32,∴h(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0).
依题意T=24 min,∴ω=2πT=π12(rad/min),
当t=0时,h(t)=32,∴φ=0,
∴h(t)=30sinπ12t+32(t≥0).
(2)令h(t)=17,即30sinπ12t+32=17,
∴sinπ12t=-12.
∵0≤t≤24,∴0≤π12t≤2π,∴π12t=7π6或π12t=11π6,
解得t=14或t=22,
∴t=14或t=22时,1号座舱与地面的距离为17米.
(3)设1号座舱与地面的距离为h1,5号座舱与地面的距离为h5,依题意,h1=30sinπ12t+32,h5=30sinπ12(t+8)+32,
∴H=30sinπ12t+32-30sinπ12(t+8)+32
=30sinπ12t-30sinπ12t+2π3
=3032sinπ12t-32csπ12t
=303sinπ12t-π6.
令π12t-π6=π2+kπ,k∈N,解得t=8+12k(k∈N),
所以当t=8+12k(k∈N)时,H取得最大值.
16.解 (1)由题意可知-A+2=1,所以A=1,
又2πω=π⇒ω=2,此时f(x)=cs(2x+φ)+2,
由f(x)的图象关于直线x=π3对称可知2×π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ-2π3,k∈Z.
由于0<φ<π,故取k=1,则φ=π3,
故f(x)=cs2x+π3+2.
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到函数y=g(x)=fx+π12=cs2x+π2+2=-sin 2x+2,
令-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z,故y=g(x)的单调递减区间为-π4+kπ,π4+kπ,k∈Z.
能力提升
17.D 解析 由条件f(0)=fπ3,解得a=3,故选D.
18.C 解析 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.则f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asinω2x.∵g(x)的最小正周期为2π,即2πω2=2π,∴ω=2.则g(x)=Asin x.由gπ4=2,得Asin π4=2,解得A=2.则f(x)=2sin 2x.∴f3π8=2sin 3π4=2.故选C.
19.ABD 解析 函数f(x)=sin ωx-3cs ωx=2sinωx-π3,选项A,若ω=2,f(x)=2sin2x-π3,将f(x)图象向左平移π6个单位长度后得到y=2sin2x+π6-π3=2sin 2x,其图象关于原点对称,故正确;选项B,若|f(x1)-f(x2)|=4,且|x1-x2|的最小值为π2,则T2=πω=π2,解得ω=2,故正确;选项C,当x∈0,π3时,ωx-π3∈-π3,πω3-π3,若f(x)在0,π3上单调递增,则πω3-π3≤π2,解得0<ω≤52,故错误;选项D,当ω=3时,f(x)=2sin3x-π3,令3x-π3=kπ,k∈Z,解得x=kπ3+π9,k∈Z,因为x∈[0,π],所以x=π9,x=4π9,x=7π9,所以f(x)在[0,π]有且只有3个零点,故正确.故选ABD.
20.{-3,-22} 解析 f(x)=msin12x-π4-csx-π2+2=msin12x-π4+2sin212x-π4+1,令t=sin12x-π4∈[0,1],则f(t)=2t2+mt+1,t∈[0,1],当t∈0,22∪{1}时,t=sin12x-π4有1个根,当t∈22,1时,t=sin12x-π4有2个根,关于t的方程2t2+mt+1=0,显然t≠0,则m=-2t-1t∈(-∞,-22],当m∈(-∞,-3)时,m=-2t-1t有一个根t0∈0,22,则t0=sin12x-π4有1个根,故f(x)有1个零点;当m=-3时,m=-2t-1t有两个根t1,t2,其中t1∈0,22,t2=1,t1=sin12x-π4有1个根,t2=sin12x-π4也有1个根,故f(x)有2个零点;当m∈(-3,-22)时,m=-2t-1t有两个根t1,t2,其中t1∈0,22,t2∈22,1,则t1=sin12x-π4有1个根,t2=sin12x-π4也有2个根,故f(x)有3个零点;当m=-22时,m=-2t-1t有一个根t0=22,则t0=sin12x-π4有2个根,故f(x)有2个零点.综上所述,当m=-3或m=-22时,f(x)有2个零点.
21.解 (1)由题意,函数f(x)=3sin ωxcs ωx-sin2ωx+12=32sin 2ωx-1-cs2ωx2+12=32sin 2ωx+12cs 2ωx=sin2ωx+π6,
因为|x1-x2|的最小值为π2,
所以f(x)的最小正周期T=π=2π2ω,解得ω=1,
所以f(x)=sin2x+π6.
由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z,
解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).
(2)由f2(x)+2acs2x+π6-2a-2=sin22x+π6+2acs2x+π6-2a-2=-cs22x+π6+2acs2x+π6-2a-1,
因为x∈-π12,π6,可得2x+π6∈0,π2,
令t=cs2x+π6,则cs2x+π6∈(0,1),
所以-t2+2at-2a-1<0,t∈(0,1),即2a(t-1)t2+1t-1,
令m=t-1∈(-1,0),可得t2+1t-1=m2+2m+2m=m+2m+2,
又因为函数y=m+2m在(-1,0)内单调递减,
所以m+2m+2<-1,所以2a≥-1,解得a≥-12,
即实数a的取值范围是-12,+∞.