高中数学学考复习优化练习14平面向量的概念与运算含答案

这是一份高中数学学考复习优化练习14平面向量的概念与运算含答案，共8页。试卷主要包含了给出下列说法，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

1.给出下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b的方向一定不相同;②若向量AB,CD满足|AB|>|CD|,且AB与CD同向,则AB>CD;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
2.如图,在正六边形ABCDEF中,设AB=a,AF=b,则AC=( )
A.a+2bB.2a+3b
C.2a+bD.32a+b
3.在△ABC中,BD+5CD=0,则AD=( )
A.16AB+56ACB.56AB+16AC
C.15AB+45ACD.45AB+15AC
4.已知向量a,b不共线,c=3a+b,d=ma+(m+2)b,若c∥d,则m=( )
A.-12B.-9C.-6D.-3
5.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则AF+BD=( )
A.FDB.FCC.FED.BE
6.在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,AB=a,AD=b,则BE=( )
A.-12a-bB.-12a+b
C.12a-bD.12a+b
7.在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F在BE上.若AF=xAB+13AD,则x=( )
A.23B.45C.56D.67
8.若G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点),设BG=a,GC=b,则AB=( )
A.32a-12bB.32a+12b
C.2a-bD.b-2a
9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,若PA+PB+PC=AB,则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在AC边上
B.点P在AB边上或其延长线上
C.点P在△ABC外部
D.点P在△ABC内部
10.(多选)(2023浙江温州新力量联盟)下列说法正确的有( )
A.a·a·a=|a|3
B.λ,μ为非零实数,若λa=μb,则a与b共线
C.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小
D.若平面内有四个点A,B,C,D,则必有AC+BD=BC+AD
11.设a,b是不共线的两个平面向量,已知PQ=a+kb,QR=2a-b.若P,Q,R三点共线,则实数k的值为 .
12.已知四边形ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=60°,则|DC+BC|= .
13.如图,在△ABC中,AN=13NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29AC,则实数m的值为 .
14.在边长为1的正方形ABCD中,设AB=a,BC=b,AC=c,则|b-a-c|= .
15.已知两个非零向量a,b不共线,OA=2a-3b,OB=a+2b,OC=ka+12b.
(1)若2OA-3OB+OC=0,求实数k的值;
(2)若A,B,C三点共线,求实数k的值.
16.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.
(1)求GA+GB+GO;
(2)若PQ过△ABO的重心G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:1m+1n=3.
能力提升
17.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB+AC=2AO,且|AO|=|AC|,则△ABC的面积为( )
A.3B.32C.23D.1
18.已知O是△ABC内一点,且OA+OB+OC=0,则O是△ABC的( )
A.垂心B.重心C.内心D.外心
19.(多选)(2023浙江A9协作体)已知a,b,c是平面上三个非零向量,下列说法正确的有( )
A.一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立
B.如果a·b=a·c,那么一定有a⊥(b-c)
C.如果(a-c)⊥(b-c),那么|a-b|=|a+b-2c|
D.如果a(b·c)=(a·b)c,那么a,b,c一定相互平行
20.如图,在▱ABCD中,BC=2BE,FC=2DF,AE与BF相交于点G.若FG=λFB,则λ= .
21.(2023浙江浙北G2联盟)如图,圆O是半径为1的圆,OA=2,设B,C为圆上的任意两点,则AC·BC的取值范围是 .
22.(2023浙江浙南名校联盟)如图,在△ABC中,D是线段BC上的点,且DC=2BD,O是线段AD的中点,延长BO交AC于点E,设BO=λAB+μAC.
(1)求λ+μ的值;
(2)若△ABC为边长等于2的正三角形,求OE·BC的值.
优化集训14 平面向量的概念与运算
基础巩固
1.A 解析 ①正确;②两向量不能比较大小,故不正确;③a与b长度相等,但方向不定,故不正确;④规定0与任意向量平行,故不正确.
2.C 解析 在正六边形ABCDEF中,FC∥AB,FC=2AB,则AC=AF+FC=AF+2AB=2a+b.故选C.
3.A 解析 因为BD+5CD=0,所以BD=56BC,AD=AB+BD=AB+56BC=AB+56(AC-AB)=16AB+56AC.故选A.
4.D 解析 因为c∥d,所以c=λd,则3a+b=mλa+(m+2)λb,因为向量a,b不共线,所以mλ=3,(m+2)λ=1,解得m=-3,λ=-1.故选D.
5.D
6.B 解析 由题意可得BE=BA+AD+DE=-a+b+12a=b-12a.
7.C 解析 由题可知AE=23(AB+AD).∵点F在BE上,∴AF=λAB+(1-λ)AE,λ∈R.
∴AF=23+13λAB+23-23λAD.∴23-23λ=13,λ=12.∴x=23+13×12=56.故选C.
8.D 解析 因为G为△ABC的重心,所以GA+GB+GC=0.因为BG=a,GC=b,所以GA=BG-GC=a-b,所以AB=GB-GA=b-2a.故选D.
9.A 解析 ∵PA+PB+PC=AB,∴PA+PB+PC-AB=0,∴2PA+PC=0,∴PC=-2PA,∴P为AC上靠近点C的三等分点.故选A.
10.BCD 解析 对于A,a·a·a=|a|2a,故A错误;对于B,因为λ,μ为非零实数,且λa=μb,所以a与b一定共线,故B正确;对于C,向量不能比较大小,向量的模可比较大小,故C正确;对于D,因为BD-BC=AD-AC,所以AC+BD=BC+AD,故D正确.故选BCD.
11.-12 解析 因为P,Q,R三点共线,所以PQ=λQR,即a+kb=λ(2a-b),所以1=2λ,k=-λ,故k=-12.
12.3 解析 ∵四边形ABCD是边长为1的菱形,
∠BAD=60°,∴∠ADC=120°.在△ACD中,由余弦定理得AC=AD2+CD2-2AD·CDcs∠ADC=3.
∴|DC+BC|=|DC+AD|=|AC|=3.
13.19 解析 ∵B,P,N三点共线,∴存在实数λ使得AP=λAB+(1-λ)AN=λAB+1-λ4AC=mAB+29AC,
∴λ=m,1-λ4=29,解得m=19.
14.2 解析 由题|a|=1,a+b=c,∴|b-a-c|=|b-a-a-b|=|-2a|=2|a|=2.
15.解 (1)∵2OA-3OB+OC=0,∴2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,又a≠0,∴k=-1.
(2)∵A,B,C三点共线,∴BC=λAB,∴OC-OB=λ(OB-OA),∴(k-1)a+10b=-λa+5λb,又a,b不共线,k-1=-λ,10=5λ,∴k=-1.
16.(1)解 ∵GA+GB=2GM=-GO,∴GA+GB+GO=0.
(2)证明 易知OM=12(a+b),因为G是△ABO的重心,所以OG=23OM=13(a+b).由P,G,Q三点共线,得QG=tQP,t∈R,即OG-OQ=t(OP-OQ),即OG=tOP+(1-t)OQ,∴13a+13b=mta+(1-t)nb.由a,b不共线得mt=13,(1-t)n=13,∴1m+1n=3.
能力提升
17.B 解析 由于AB+AC=2AO,由向量加法的几何意义,可知O为边BC的中点.∵△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,∴三角形是以BC边为斜边的直角三角形,∠BAC=π2,斜边BC=2.∵|AO|=|AC|,∴AC=1,AB=3.∴S△ABC=12AB·AC=12×1×3=32.故选B.
18.B 解析 如图,OA+OB所在直线是以OA,OB为邻边所作平行四边形的一条对角线,由平行四边形的性质,得OA+OB所在直线必过线段AB的中点D.因为OA+OB+OC=0,即OA+OB=-OC,所以OC与OA+OB方向相反,所以OC所在直线也过线段AB的中点D.同理可得,OB,OA所在直线分别过边AC,BC的中点.因此,O为△ABC三边中线的交点,即O是△ABC的重心.故选B.
19.BC 解析 当b,c不是共线向量时,一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立,故A不正确;由a·b=a·c⇒a·b-a·c=0⇒a·(b-c)=0⇒a⊥(b-c),故B正确;(a-c)⊥(b-c)⇒(a-c)·(b-c)=0⇒a·b-a·c-c·b+c2=0,|a-b|2-|a+b-2c|2=(a-b)2-[(a-c)+(b-c)]2=-2(a·b-a·c-c·b+c2)=0,故C正确;当a·b=b·c=0时,显然a(b·c)=(a·b)c成立,但是a,b,c不一定互相平行,故D不正确.故选BC.
20.58 解析 延长DC与AE交于点M,则由BC=2BE及△CEM∽△BEA可知,CM=AB.
又由△FGM∽△BGA及FC=2DF得,FGGB=FMAB=53,λ=FGFB=58.
21.[-2,6] 解析 若D为BC的中点,设OA,BC的夹角为θ,如图,
AC·BC=(OC-OA)·BC=OC·BC-OA·BC=|OC||BC|cs∠OCB-|OA||BC|cs θ=12|BC|2-2|BC|cs θ.
又|BC|∈[0,2],由cs θ≤1,得12|BC|2-2|BC|cs θ≥12|BC|2-2|BC|=12(|BC|-2)2-2,
当|BC|=2时,AC·BC取最小值-2;
由cs θ≥-1,得12|BC|2-2|BC|cs θ≤12|BC|2+2|BC|=12(|BC|+2)2-2,
当|BC|=2时,AC·BC取最大值6.
综上,AC·BC的取值范围是[-2,6].
22.解 (1)∵O为AD的中点,DC=2BD,
∴BO=BA+AO=BA+12AD=BA+1223AB+13AC=-23AB+16AC.
又BO=λAB+μAC,故λ=-23,μ=16,λ+μ=-12.
(2)(方法1)设AC=tAE,t∈R,
∵O为AD的中点,DC=2BD,
∴AO=12AD=12(AB+BD)=12AB+16BC=12AB+16(AC-AB)=13AB+16AC=13AB+t6AE.
∵B,O,E三点共线,∴13+t6=1,得t=4.
故OE=AE-AO=14AC-13AB+16AC=-13AB+112AC.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴OE·BC=-13AB+112AC·BC
=13BA·BC+112CA·CB
=13|BA||BC|csπ3+112|CA||CB|csπ3
=13×22×12+112×22×12
=56.
(方法2)设AC=tAE,t∈R,易知t≠0.
OE=AE-AO
=1tAC-12AD
=1tAC-1223AB+13AC
=-13AB+1t-16AC.
又由(1)知BO=-23AB+16AC,BO与OE为非零的共线向量,∴1t-1616=-13-23,得t=4,
∴OE=-13AB+112AC.
∵△ABC是边长为2的正三角形,
∴OE·BC=-13AB+112AC·BC
=13BA·BC+112CA·CB
=13|BA||BC|csπ3+112|CA||CB|csπ3
=13×22×12+112×22×12
=56.