高中数学学考复习优化练习17正弦定理、余弦定理含答案

这是一份高中数学学考复习优化练习17正弦定理、余弦定理含答案，共10页。
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=3a,则B=( )
A.π6B.π6或5π6
C.π3D.π3或2π3
2.在△ABC中,若sin2A=sin B·sin C且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形B.钝角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=( )
A.1∶1∶4B.1∶1∶2
C.1∶1∶3D.1∶1∶3
4.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,则“A=30°”是“B=60°”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中,a=3,b=1,A=60°,则B=( )
A.30°B.60°
C.30°或150°D.60°或120°
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=( )
A.π6B.π3或2π3C.2π3D.π6或5π6
7.(2023浙江浙北G2联盟)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则cs C的值为( )
A.-12B.0C.23D.12
8.(2023浙江温州新力量联盟)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a2+b2=c2,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若A>B,则cs A0,则△ABC为锐角三角形
D.若a-c·cs B=a·cs C,则△ABC为等腰三角形或直角三角形
10.(多选)(2023浙江钱塘联盟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若A=60°,a=3,则△ABC外接圆的半径等于1
B.若cs2A2=b+c2c,则此三角形为直角三角形
C.若a=3,b=4,B=π6,则此三角形必有两解
D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cs A+cs B
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=5,sin A=13,则sin B= ,其外接圆的半径为 .
12.若满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,则边AB的取值范围是 .
13.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cs C= ;当BC=1时,△ABC的面积等于 .
14.(2023浙江余姚中学)在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积S=312(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btan B,则c的最小值是 .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=π3,且(a-b+c)(a+b-c)=37bc.
(1)求cs A的值;
(2)若a=5,求b的值.
16.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csBcsC+b2a+c=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=13,a+c=5,求△ABC的面积.
能力提升
17.在锐角三角形ABC中,A=2B,B,C的对边分别是b,c,则bb+c的取值范围是( )
A.14,13B.13,12
C.12,23D.23,34
18.(2023浙江奉化)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcs A.若λsin A-cs(C-B)aB.ca∈(1,2)
C.C=2AD.tan C>3
20.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为 .
21.在△ABC中,已知tan A=14,tan B=35,且△ABC最长边的长为17,则△ABC的最短边的长为 .
22.(2023浙江丽水)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,AD=2DC,BD=2,且(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sin A+sin B).
(1)求B;
(2)当2a+c取最大值时,求△ABC的周长.
优化集训17 正弦定理、余弦定理
基础巩固
1.D
2.D 解析 由正弦定理知,若sin2A=sin B·sin C,则a2=bc.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
所以(b+c)2=4bc,即b=c=a,所以该三角形是等边三角形.故选D.
3.D 解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,则A=30°,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°=1∶1∶3.
4.B 解析 当a=1,b=3,A=30°时,由正弦定理得,sin B=bsinAa=3sin30°1=32,所以B=60°或120°,反之,当a=1,b=3,B=60°时,由正弦定理得,A=30°,故若a=1,b=3,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件,故选B.
5.A
6.C 解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,a2+b2-c22ab=-12,即cs C=-12.
因为0b,角C为最大角.
因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c.
在△ABC中,由余弦定理得cs C=a+b-c2a·b>0,所以角C是锐角,故△ABC是锐角三角形.故选A.
9.ACD 解析 对于A,∵π>A>B>0,函数y=cs x在(0,π)上单调递减,
∴cs A1,此时△ABC无解,故B错误.
对于C,∵cs Acs Bcs C>0,角A,B,C为三角形的内角,
∴csA>0,csB>0,csC>0,可知A,B,C均为锐角,故△ABC为锐角三角形,故C正确.
对于D,∵a-c·cs B=a·cs C,∴由正弦定理可得sin A=sin Acs C+sin Ccs B,又sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+sin Ccs B,
因此sin Bcs C+sin Ccs B=sin Acs C+sin Ccs B⇒sin Bcs C=sin Acs C,
∴bcs C=acs C,
∴(b-a)cs C=0,
∴b=a或cs C=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.
故选ACD.
10.ABD 解析 设△ABC外接圆的半径为R,
根据正弦定理,2R=asinA=332=2,所以R=1,
则△ABC外接圆的半径等于1,故A正确.
cs2A2=1+csA2=b+c2c=2R·sinB+2R·sinC2·2R·sinC=sinB+sinC2sinC,
所以2sin C+2cs Asin C=2sin B+2sin C,
所以cs Asin C=sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,所以sin Acs C=0,
在三角形中,sin A>0,所以cs C=0,所以C=π2,则此三角形为直角三角形,故B正确.
因为a=3,b=4,B=π6,所以asin B=32,所以asin B