高中数学学考复习优化练习18复数含答案

这是一份高中数学学考复习优化练习18复数含答案，共7页。试卷主要包含了下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

1.(2023浙江台州八校联盟)已知复数z=i2+(k+1)i+k是纯虚数,则实数k=( )
A.0B.2C.-1D.1
2.已知复数z1=1+2i,z2=2-i(i是虚数单位),则z1z2=( )
A.3iB.-4+3iC.4+3iD.4-3i
3.(2023浙江奉化)复数z=ai+b(a,b∈R)是纯虚数的充分不必要条件是( )
A.a≠0且b=0B.a=1且b=0
C.b=0D.a=b=0
4.(2023浙江杭州重高)设复数z=-1-i(i为虚数单位),则2-z的模等于( )
A.5B.5C.10D.10
5.(2023浙江浙北G2联盟)若a与b均为实数,且b-3i=4+ai,则|a+bi|=( )
A.3B.4C.5D.6
6.已知i为虚数单位,则下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)B.i2(1+i)
C.i(1+i)2D.i2(1+i)2
7.设i是虚数单位,z表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则zi+iz=( )
A.-2B.-2iC.2D.2i
8.(2023浙江金华)若z∈C且|z+3+4i|≤2,设|z-1-i|的最大值、最小值分别为M,m,则M-m的值等于( )
A.3B.4C.5D.9
9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)下列说法正确的有( )
A.复数2-2i的虚部为-2i
B.若i为虚数单位,则i2 023=-i
C.复数-2-i在复平面内对应的点在第三象限
D.复数5-2+i的共轭复数为-2-i
10.(多选)(2023浙江台州八校联盟)已知复数z1=i,z2=2-i,下列结论正确的有( )
A.z1z2=z1 z2
B.若|z-z2|=1,则|z|的最大值为5
C.z1+z2∈R
D.z1z2在复平面内对应的点在第二象限
11.(多选)(2023浙江精诚联盟)已知i为虚数单位,则以下说法正确的有( )
A.i+i2+i3+i4=0
B.复数-2-i的虚部为-i
C.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2
D.|z1z2|=|z1||z2|
12.(2023浙江温州新力量联盟)若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为 .
13.若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形,其中顶点A,B对应的复数分别是1+i,4+2i,则点C的坐标为 .
14.求实数m取什么数值时,复数z=m2-1+(m2-m-2)i分别是:
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
15.已知复数z1,z2满足|z1|=7+1,|z2|=7-1,且|z1-z2|=4,求z1z2与|z1+z2|的值.
能力提升
16.复数z=a+bi满足1z=1+i,则下列说法不正确的是( )
A.在复平面内点(a,b)落在第四象限
B.(-1-i)z为实数1
C.|z|=22
D.复数z的虚部为-12
17.设z为复数,在复平面内z,z对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法不正确的是( )
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,OP≠OQ
D.当z为实数时,OP=OQ
18.(多选)(2023浙江温州A卷)已知复数z,其共轭复数为z,下列结论正确的有( )
A.zz=|z|2
B.z2=|z|2
C.z+z=0
D.|z|+|z|≥|z+z|
19.(2023浙江精诚联盟)复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cs θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是 .
20.已知z是虚数,z+1z是实数.
(1)求z为何值时,|z+2-i|有最小值,并求出|z+2-i|的最小值;
(2)设u=1-z1+z,求证:u为纯虚数.
优化集训18 复数
基础巩固
1.D 解析 ∵z=k-1+(k+1)i是纯虚数,∴k=1.故选D.
2.C 解析 z1z2=(1+2i)(2-i)=2-i+4i-2i2=4+3i.故选C.
3.B
4.C
5.C 解析 ∵a与b均为实数,且b-3i=4+ai,
∴a=-3,b=4,∴|a+bi|=5.故选C.
6.D 解析 i(1+i)=i+i2=-1+i,i2(1+i)=-1-i,i(1+i)2=2i2=-2,i2(1+i)2=(-1)×2i=-2i.故选D.
7.C 解析 ∵z=1+i,∴z=1-i,∴zi+iz=1+ii+i(1-i)=(1+i)(-i)-i2-i2+i=1-i+1+i=2.故选C.
8.B 解析 因为|z+3+4i|≤2,所以复数z在复平面内对应的点P在以A(-3,-4)为圆心,2为半径的圆内或圆上.
又|z-1-i|表示点P到复数z2=1+i对应的点B(1,1)之间的距离,所以该距离的最大值为M=|AB|+2=(-3-1)2+(-4-1)2+2=41+2,最小值为m=|AB|-2=41-2,故M-m=4.故选B.
9.BC 解析 对于A,复数2-2i的虚部为-2,故A错误;
对于B,i2 023=(i4)505i3=-i,故B正确;
对于C,复数-2-i在复平面内对应的点(-2,-1)在第三象限,故C正确;
对于D,5-2+i=5(-2-i)(-2+i)(-2-i)=-2-i,其共轭复数为-2+i,故D错误.故选BC.
10.ACD 解析 对于A,因为复数z1=i,z2=2-i,则z1 z2=-i(2+i)=1-2i,z1z2=i(2-i)=1-2i,所以z1z2=z1 z2,故A正确;
对于B,设复数z=x+yi(x,y∈R),则|z-z2|=(x-2)2+(y+1)2=1,则(x-2)2+(y+1)2=1,所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,-1)为圆心,以1为半径的圆,而|z|表示圆上一点到坐标原点的距离,因为原点到圆心的距离d=5,所以5-1≤|z|≤5+1,则|z|的最大值为5+1,故B错误;
对于C,z1+z2=2∈R,故C正确;
对于D,因为复数z1=i,z2=2-i,则z1z2=i(2+i)=-1+2i,其在复平面内对应的点(-1,2)在第二象限,故D正确,故选ACD.
11.AD 解析 i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,故A正确;
复数-2-i的虚部为-1,故B不正确;
若z=i,则z2=-1,|z|2=1,故C不正确;
设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1z2=ac-bd+(ad+bc)i,|z1z2|=(ac-bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2+b2·c2+d2=|z1||z2|,故D正确.
故选AD.
12.3 解析 因为复数不能比较大小,所以m-3+(m2-9)i为实数,可得m-3≥0,m2-9=0,解得m=3,所以实数m的值为3.
13.(2,3)或(3,0) 解析 根据复数的几何意义可知A(1,1),B(4,2).
设C(x,y),则由CA·CB=0,|CA|=|CB|,
得(x-1,y-1)(x-4,y-2)=0,(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,
解得x=2,y=3或x=3,y=0,
∴点C的坐标为(2,3)或(3,0).
14.解 (1)当m2-m-2=0,即m=2或m=-1时,复数z是实数.
(2)当m2-m-2≠0,即m≠2且m≠-1时,复数z是虚数.
(3)当m2-1=0,m2-m-2≠0,即m=1时,复数z是纯虚数.
15.解 设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,由于(7+1)2+(7-1)2=42,故|z1|2+|z2|2=|z1-z2|2,故以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形,从而OZ1⊥OZ2,则|z1+z2|=|z1-z2|=4,z1z2=±7+17-1i=±(7+1)2(7-1)(7+1)=±4+73i.
能力提升
16.B 解析 易得z=11+i=1-i(1+i)(1-i)=12-12i,所以a=12,b=-12,点12,-12落在第四象限,故A正确;(-1-i)z=(-1-i)12-12i=-1,故B错误;|z|=(12) 2+(-12) 2=22,故C正确;易知D正确.故选B.
17.C 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.
对于A,当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),z=-bi对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),O,P,Q均在y轴上,所以P,O,Q三点共线,故A正确;
对于B,当z=1+i时,z=1-i,所以P(1,1),Q(1,-1),所以|OP|=|OQ|=2,而|PQ|=2,所以|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,所以△POQ为等腰直角三角形,故B正确;
对于C,OP=(a,b),OQ=(a,-b),当b=0时,OP=OQ,故C不正确;
对于D,当z为实数时,z=z=a,此时OP=OQ=(a,0),故D正确.故选C.
18.AD 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.
对于A,zz=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=(a2+b2)2=a2+b2,则zz=|z|2,故A正确;
对于B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=(a2+b2)2=a2+b2,则z2不一定等于|z|2,故B不正确;
对于C,z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a不一定等于0,故C错误;
对于D,|z|+|z|=2a2+b2,|z+z|=2|a|,因为2a2+b2≥2a2=2|a|,当且仅当b=0时,等号成立,所以|z|+|z|≥|z+z|,故D正确.故选AD.
19.-916,7 解析 因为z1=z2,则m=2csθ,4-m2=λ+3sinθ.
所以λ=4-4cs2θ-3sin θ=4sin2θ-3sin θ=4sin θ-382-916,因为-1≤sin θ≤1,故λ∈-916,7.
20.(1)解 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a-bia2+b2=a+aa2+b2+b-ba2+b2i,
所以b-ba2+b2=0.
又b≠0,可得a2+b2=1,则z在复平面内对应的点的轨迹为以原点O为圆心的单位圆(去除x轴上两点).
|z+2-i|=|(a+2)+(b-1)i|=(a+2)2+(b-1)2表示点P(a,b)到点A(-2,1)的距离,所以|z+2-i|的最小值为|AO|-1=5-1.
解方程组b=-12a,a2+b2=1,并结合图形得z=-255+55i.
(2)证明 由(1)易知a2=1-b2≠1,则a≠±1.
u=1-z1+z=(1-a)-bi(1+a)+bi=[(1-a)-bi][(1+a)-bi](1+a)2+b2=-bi1+a,又b≠0,所以u为纯虚数.