高中数学学考复习冲A专题2三角函数与解三角形的综合应用含答案

这是一份高中数学学考复习冲A专题2三角函数与解三角形的综合应用含答案，共10页。试卷主要包含了在锐角三角形ABC中,有等内容，欢迎下载使用。


A.26π3B.25π3
C.2πD.π
2.(2023浙江台州)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AC上的点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC,∠ADB=∠EDC=α,则cs α=( )
A.32B.33C.23D.34
3.(2023浙江浙南名校联盟)有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭),已知走廊的宽度与高度都是3米,现有不能弯折的硬管需要通过走廊,设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米.为了方便搬运,规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为m=0.9l米,则m的值是( )
A.8110B.27210C.2725D.62
4.在△ABC中,AB=2,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,且AD=43,则BC=( )
A.27B.23C.743D.2743
5.(多选)如图,在△ABC中,D,E为BC边上异于端点的两点,BD=a,EC=c,且△ADE是边长为b的正三角形,则下列不等式一定成立的是( )
A.a2+ac+c2-b2+bc+c2>a+b+c
B.a2+ab+b2+b2+bc+c2>a+b+c
C.a2+ab+b2-b2-bc+c2D.b2+bc+c2-a2-ab+b26.(多选)(2023浙江学考)在锐角三角形ABC中,有( )
A.sin A+sin B>sin C
B.sin2A+sin2B>sin2C
C.cs A+cs B>sin C
D.cs2A+cs2B>sin2C
7.(2023浙江学考)已知△ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,若∠BAC=π3,D为边BC上一点,且AD=2,BD∶DC=4c∶b,则4b+1c的值为 .
8.已知x,y∈R,且x2-2xy+2y2=1,则x+2y的最大值为 ,x2+y2的取值范围是 .
9.(2023浙江绍兴)如图,在平面四边形ABCD中,点B与点D分别在直线AC的两侧,BC=CD=2.
(1)已知AB=2,且AC=AD,
①当cs∠CAD=23时,求△ABC的面积;
②若∠ABC=2∠ADC>π2,求∠ABC.
(2)已知AD=2AB,且∠BAD=π4,求AC的最大值.
10.(2023浙江温州知临中学)某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园,如图所示,在直径为20 m的半圆O空地上,设置扇形区域OMB作为大人休息区,规划两个三角形区域做成小喷泉区(△OAB区域)和沙坑滑梯区(△ABC区域),其中A为直径MN延长线上一点,且OA=20 m,B为半圆周上一动点,以AB为边作等边三角形ABC.
(1)若等边三角形ABC的边长为a,∠AMB=θ,试写出a关于θ的函数关系式.
(2)问当∠AMB为多少时,儿童游玩区OACB的面积最大?这个最大面积为多少?
11.(2023浙江温州新力量联盟)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,且2bcsA-π6=3c.
(1)求角B的大小;
(2)若b=6,求△ABC面积的最大值;
(3)若b2=ac,且△ABC的外接圆半径为2,圆心为O,P为☉O上的一动点,试求PA·PB的取值范围.
12.(2023浙江浙南名校联盟)在△ABC中,已知B=π2,AC=2,BD为边AC上的高.设y=BD+DC,记y关于A的函数为y=f(A).
(1)求y=f(A)的表达式及f(A)的取值范围;
(2)若不等式mf(A)+m≥f2(A)恒成立,求实数m的取值范围.
冲A专题二 三角函数与解三角形的综合应用
1.A 解析 设扇形AOB的半径为R,扇形的圆心角为θ(0<θ<2π),则扇形的弧长为θR,设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=θR,则r=θR2π,则h=R2-r2=R2-(θR2π) 2=R1-θ24π2,所以该圆锥的体积为V=13πr2h=13π×θR2π2×R1-θ24π2=R324π2(4π2-θ2)θ4=R312π2(4π2-θ2)·θ22·θ22≤R312π2(4π2-θ2+θ22+θ223) 3=2327πR3,当且仅当4π2-θ2=θ22时,即当θ=263π时,等号成立.故选A.
2.D 解析 由点D是BC的中点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC,设CE=x,则BD=1,AE=3x,AB=2x,在△ABC中,可得2xsinC=4xsinB,即sin B=2sin C,在△ABD中,可得2xsinα=ADsinB,在△CED中,可得xsinα=DEsinC,上面两式相除可得2=ADDE·sinCsinB=12·ADDE,即AD=4DE.在△ABD中,4x2=1+AD2-2ADcs α=1+16DE2-8DEcs α,在△CDE中,x2=1+DE2-2DEcs α,即有4+4DE2=1+16DE2,解得DE=12,AD=2,则x2=1+14-2×12cs α=54-cs α.在△ADE中,9x2=AD2+DE2-2AD·DE·cs(π-2α)=4+14+2×2×12cs 2α=174+2cs 2α=4cs2α+94,可得454-9cs α=4cs2α+94,化为4cs2α+9cs α-9=0,解得cs α=34(cs α=-3舍去).故选D.
3.A 解析 如图所示,先求出硬管不倾斜,水平方向通过的最大长度AB,
设∠BAQ=θ0<θ<π2,则∠ABQ=π2-θ,
过点A作AC垂直内侧墙壁于点C,过点B作BD垂直内侧墙壁于点D,则AC=BD=3,∠CPA=∠BAQ=θ,∠DPB=∠ABQ=π2-θ,
在直角三角形ACP中,sin∠CPA=sin θ=ACAP,
所以AP=ACsinθ=3sinθ,
同理BP=BDsin(π2-θ)=3csθ,
所以AB=AP+BP=3sinθ+3csθ0<θ<π2.
因为AB=3sinθ+3csθ≥3×21sinθcsθ=62sin2θ≥62当且仅当sin θ=cs θ且θ=π4时,等号成立,
所以AB≥62.
因为走廊的宽度与高度都是3米,所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为l=AB2+32=(62)2+32=9,
所以m=0.9l=0.9×9=8110.故选A.
4.
A 解析 如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,且AD=43,设∠BAD=∠CAD=θ,可得S△ABD=12×2×43sin θ,S△ACD=12×4×43sin θ,且S△ABC=12×2×4sin 2θ,因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,可得sin θ=sin 2θ,即sin θ=2sin θcs θ,因为θ∈0,π2,所以sin θ>0,可得cs θ=12,所以θ=π3,BC2=22+42-2×2×4cs2π3=28,所以BC=27.故选A.
5.BC 解析 由题知∠ADB=∠AEC=120°,AB=a2+b2-2abcs120°=a2+ab+b2,同理AC=b2+bc+c2,根据三角形三边关系AB+AC>BC可知,B选项正确;由AB-AC0,而a-b+c=-1<0,D选项错误.故选BC.
6.ABC 解析 对于A,根据正弦定理,因为a+b>c可得sin A+sin B>sin C,故A正确;对于B,因为cs C=a2+b2-c22ab>0可得a2+b2>c2,由正弦定理可得sin2A+sin2B>sin2C,故B正确;对于C,因为0cs Asin B+cs Bsin A=sin(A+B)=sin C,故C正确;对于D,当A=B=C=π3时,cs2A+cs2B=12<34=sin2C,故D错误.故选ABC.
7.212 解析 设∠BAD=θ0<θ<π3,则∠CAD=π3-θ,
∵AD=2,BD∶DC=4c∶b,
∴S△ABDS△ACD=12AD·BD·sin∠ADB12AD·CD·sin∠ADC=BDCD=4cb,
即12×2·c·sinθ12×2·b·sin(π3-θ)=4cb,
化简得2cs θ=3sin θ,即tan θ=233,
故sin θ=277,sinπ3-θ=14sin θ=714,
又S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴12bcsinπ3=12×2csin θ+12×2bsinπ3-θ,
即4b+1c=212.
8.10 32-52,32+52 解析 由题意可知(x-y)2+y2=1,令x-y=csθ,y=sinθ,即x=csθ+sinθ,y=sinθ,∴x+2y=cs θ+3sin θ=10sin(θ+φ),其中tan φ=13,
∴x+2y的最大值为10;x2+y2=1+sin 2θ+12(1-cs 2θ)=32+52sin(2θ-α),其中tan α=12,
∴x2+y2的取值范围是32-52,32+52.
9.解 (1)①设AC=2x(0∵cs B=22+22-68=14,∴sin B=154,
S△ABC=12×2×2×154=152.
②设∠ADC=α>π4,取AC,CD的中点分别为M,N,连接BM,AN,BM⊥AC,AN⊥CD,AD=1csα,AC=2AM=4sin α,
因为AC=AD,
所以1csα=4sin α,
即sin 2α=12,解得2α=5π6,即∠ABC=5π6.
(2)作CO⊥BD于O(图略),由余弦定理得AB=BD,∠ABD=π2,设∠CBO=θ,则BO=2cs θ,AB=BD=4cs θ,
在△ABC中,利用余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs∠ABC=16cs2θ+4-2×4cs θ×2×csπ2+θ=82sin2θ+π4+12≤12+82,
则AC的最大值是22+2.
10.解 (1)∵∠AMB=θ,∴∠AOB=2θ.
在△AOB中,AB=a,OA=20,OB=10,∠AOB=2θ,
由余弦定理可得a2=OA2+OB2-2OA·OBcs∠AOB=500-400cs 2θ,
所以a=105-4cs2θ,其中θ∈0,π2.
(2)S△AOB=12×10×20sin 2θ=100sin 2θ,S△ABC=34AB2=253(5-4cs 2θ),
所以S四边形OACB=S△AOB+S△ABC=100sin 2θ+253(5-4cs 2θ)=100sin 2θ-1003cs 2θ+1253=200sin2θ-π3+1253.
因为0<θ<π2,则-π3<2θ-π3<2π3,
当2θ-π3=π2,即θ=5π12时,四边形OACB的面积取最大值(200+1253)m2.
11.解 (1)由2bcsA-π6=3c及正弦定理可得2sin B·csA-π6=3sin C,
又A+B+C=π,∴2sin Bcs Acsπ6+sin Asinπ6=3sin[π-(A+B)],
整理可得3cs Asin B+sin Asin B=3sin(A+B),可得3cs Asin B+sin Asin B=3sin Acs B+3cs Asin B,
可得sin Asin B=3sin Acs B,
∵sin A≠0,∴tan B=3.
∵B∈(0,π),∴B=π3.
(2)若b=6,根据余弦定理得a2+c2-2ac·csπ3=6,
化简a2+c2-ac=6,
又a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,
∴ac≤6,当且仅当a=c时,ac有最大值6.
∵△ABC的面积S=12ac·sin B=34ac≤34×6=332,
∴当且仅当a=c时,△ABC面积有最大值,最大值为332.
(3)由正弦定理bsinB=2R,则b=23,则ac=b2=12,
由a2+c2=b2+ac,可得a2+c2=24,则a=c=23,
则三角形ABC为等边三角形,取AB中点M,如图所示,
则PA·PB=(PM+MA)·(PM+MB)=PM2+PM·(MA+MB)+MA·MB=PM2-MA2=PM2-3,
由OP=2,OM=1,则PM∈[1,3],则PA·PB∈[-2,6].
12.解 (1)由已知可得AB=2cs A,BC=2sin A,
∵BD⊥AC,∴BD=AB·sin A=2cs Asin A,DC=BC·sin∠CBD=BC·sin A=2sin2A,
∴f(A)=BD+DC=2cs Asin A+2sin2A=sin 2A+1-cs 2A=2sin2A-π4+1.
∵0∴sin2A-π4∈-22,1,∴0即f(A)的取值范围为(0,2+1].
(2)由(1)知f(A)+1>0,∴m≥f2(A)f(A)+1.
记u=f(A)+1∈(1,2+2],则设t=(u-1)2u=u2-2u+1u=u+1u-2,
设u1,u2∈(1,2+2],且u1∵u1,u2∈(1,2+2],∴u1u2>1,u1u2-1>0.
∵u1即t=u+1u-2在(1,2+2]上单调递增.
∴当u=2+2,即f(A)+1=2+2,f(A)=1+2,A=3π8时,t取到最大值为1+22.
∴m≥1+22,即实数m的取值范围为1+22,+∞.