2024年广东省广州市白云区中考一模数学试题

这是一份2024年广东省广州市白云区中考一模数学试题，共27页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的相反数是（ ）
A B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：B．
2. 一个几何体三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
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C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行解答即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，
根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为
．
故选：D．
【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算，分别根据幂的乘方、同底数幂乘除法，负整数指数幂运算法则计算各选项后再判断即可
【详解】解：A. ，运算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. ，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：A
4. 某校举行“喜迎中国共产党建党105周年”党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
A. 方差是0B. 中位数是95C. 众数是5D. 平均数是90
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，中位数，众数，平均数，方差．根据条形统计图的数据对各项逐项进行计算即可．
【详解】解：根据条形统计图，将这10个数从小到大排列如下：
，则
B.中位数为，此项符合题意；
C.众数为95，此项不符合题意；
D.平均数为，此项不符合题意；
A.方差为，此项不符合题意．
故选：B．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及数轴上表示不等式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
根据不等式组的运算法则进行运算求解即可．
【详解】解：
由①可得：
，
由②可得：
，
∴不等式的解集为：，
故选：A．
6. 已知一次函数经过点，正比例函数不经过第三象限，则反比例函数的图象位于（ ）
A. 第一、第二象限B. 第一、第三象限
C. 第二、第三象限D. 第二、第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数、一次函数、反比例函数图象．熟练掌握正比例函数、一次函数、反比例函数的图象是解题的关键．
由正比例函数不经过第三象限，可得，由一次函数经过点，可知一次函数经过第二、三、四象限，即，进而可判断反比例函数的图象位于第二、四象限．
【详解】解：∵正比例函数不经过第三象限，
∴，
又∵一次函数经过点，
∴一次函数经过第二、三、四象限，
∴，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，
故选：D．
7. 端午节，赛龙舟，小亮在点处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离为（ ）
A. B. C. 87D. 173
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点作于，设，则用表示出，再根据列出等式解出即可．
【详解】解：如图，过点作于，设．
即点到赛道的距离为．
故选：B．
8. 某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（ ）
A ﹣=6B. ﹣=6
C. ﹣=6D. ﹣=6
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】由题意可得：﹣=6，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
9. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A. 0，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可．
【详解】解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
10. 若，则关于的方程根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根 D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元二次方程根的判别式．熟练掌握算术平方根的非负性，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，成立，由，可得，，可求，由，可知，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，当时，；
∵，
∴，
，
解得，，
∵，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，，方程有两个实数根，
故选：C．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 2023年10月26日上午，神州十七号载人飞船载着杨洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”，从2003年的神舟五号到2023年的神州十七号，20年中国载人航天工程共有20位航天员问鼎苍穹，截止到目前为止，我国航天员在太空的时间已累计达到近个小时，其中，数字用科学记数法表为_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
12. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为___________（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，再根据开口向上离对称轴越远函数值越大进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，，抛物线上，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13. 2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的折线图，若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为____________．
【答案】##108度
【解析】
【分析】本题考查折线图．先求出，再计算其对应扇形的圆心角度数即可．
【详解】解：由折线图知
“二等奖”对应扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
14. 如图，正方形的边长为4，点在边上，为对角线上一动点，连接，，若的最小值，则____________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，连接，证明，则，由，可知当三点共线时，的值最小，如图，连接，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，的值最小，
如图，连接，则，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，四边形的面积为60，，则中边上的高为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形面积公式，根据角平分线性质定理得出，证明，得出，由面积公式求出，再根据勾股定理得出，最后再根据面积公式求出中边上高．
【详解】解：∵是的角平分线，且，分别是和的高，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
设中边上的高为，则有：，
解得，，
即中边上的高为，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，点从出发以每秒3个单位长度的速度沿运动一周到点停止．当点不与矩形的顶点重合时，过点作直线，与矩形的边的另一交点为．若点的运动时间为，当时，长度的范围是 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
由题意知，当时，点运动的路程为，当时，点运动的路程为，由，，可知当时，点在线段上，如图，当时，点运动到，此时四边形是矩形，根据，计算求解；当时，点运动到，此时四边形是矩形，根据，计算求解；然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当时，点运动的路程为，
当时，点运动的路程为，
∵，，
∴当时，点在线段上，
如图，当时，点运动到，此时四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得；
当时，点运动到，此时四边形是矩形，
同理，，
由勾股定理得，；
∴长度的范围是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
【答案】x1=﹣6，x2=2
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程变形为：（x+6）（x,﹣2）=0，
∴x+6=0或x﹣2=0，
∴x1=﹣6，x2=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．
18. 已知：如图，在中，，过点作，垂足为．在射线上截取，过点作，交的延长线于点．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，先得出，再用两角夹边判定即可．
【详解】证明：
在和中
．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点，所在圆的圆心为，，将向右平移5个单位，得到（点平移后的对应点为）．
（1）点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________．
（2）在图中画出，求的长．
【答案】（1），
（2）图见详解，
【解析】
【分析】本题考查平移作图，弧长的计算．
（1）过点作于，连接，分别求出即可；
（2）用尺规作图画出，再根据题意计算的长即可．
【小问1详解】
解：过点作于，连接
,所在圆的圆心为,
，
点的坐标是,
所在圆的圆心为，
所在圆的圆心坐标是
故答案为：，；
【小问2详解】
如图，即为所求，
由平移的性质知且
的长为．
20. 给出6个整式：，，，，，．
（1）从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式；
（2）从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程．
【答案】（1）选择两个整式为：，，组成的分式为：
（2）选择两个整式为：，，
【解析】
【分析】本题考查整式的运算．
（1）根据题意，选择两个整式组成一个分式即可；
（2）根据题意，选择的两个整式乘法运算不含1次项即可．
【小问1详解】
解：选择两个整式为：，，组成的分式为：；
【小问2详解】
选择两个整式为：，
其乘法运算：
．
21. 甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图象．
（1）乙机器每天加工__________个零件，甲机器维修了__________天；
（2）求甲机器出现故障以后，未生产零件的个数（个）乙机器工作时间（天）之间的函数关系式．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）设乙机器每天加工个零件，甲机器每天加工个零件，根据前10天是两个机器一起工作，结合数量关系列方程求解即可；再由段是乙单独工作，求出乙单独工作的时间即可求出甲维修的时间；
（2）根据函数图像函数关系式为，当时，图像过点，；当时，图像过点，，运用待定系数法即可求解．
【小问1详解】
解：设乙机器每天加工个零件，
由题意得，，
解得，，
根据题意，从点到点是乙单独完成的量，
∴（个），
∴（天），
∴甲维修了8天，
故答案为：；．
【小问2详解】
解：设未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为，
由（1）可知，甲维修了天，则点的坐标为，
∴当时，图像过点，，
∴，解得，
∴；
③当时，图像过点，，
∴，解得，
∴；
综上所述，未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为．
23. 【问题探究】
（1）如图①，在四边形中，，在边上作点为一点，连接，，使得（画出一个点即可，要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作图的证明）；
（2）如图②，在四边形中，，，，点为上一点，连接，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，四边形是赵叔叔家的果园平面示意图，点为果园的一个出入口（点在边上），，为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，，，，米，赵叔叔计划在区域内种植某种果树，并沿修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出的长度．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）米
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，尺规作图：
（1）先作出的中点O，再作交于点E，即可；
（2）连接，根据题意可得是等边三角形，可得到，，可证明，即可；
（3）过点A作交的延长线于点F，证明和 是等腰直角三角形，可得， 再证明，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，点E即为所求；

理由：由作法得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（3）如图，过点A作交的延长线于点F，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米．
24. 已知直线经过点．
（1）用含有的式子表示；
（2）若直线与，轴分别交于，两点，面积为，求的取值范围；
（3）过点的抛物线与轴交点为，记抛物线的顶点为，该抛物线是否存在点使四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）将代入得，，整理即可；
（2）由经过点，可知经过第一、二、三象限，由（1）可知，，可求，；，；则，根据，即，可求，然后作答即可；
（3）将代入得，，解得，，即，，可求，设，当四边形为平行四边形，为边，为对角线，则的中点坐标为，的中点坐标为，由平行四边形的性质可知，可求，即，将代入，可求满足要求的解为，进而可得，然后作答即可．
【小问1详解】
解：将代入得，，
整理得，，
∴含有的式子表示为；
【小问2详解】
解：∵经过点，
∴经过第一、二、三象限，
由（1）可知，，
当时，，即，；
当时，，
解得，，
∴，；
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴且；
【小问3详解】
解：将代入得，，
解得，，
∴，
∴，
当时，，即，
设，
当四边形为平行四边形，为边，为对角线，
∴的中点坐标为，的中点坐标为，
∴，
解得，，
∴，
将代入得，，
解得，，满足题意；
∴
∴存在点使四边形为平行四边形，此时．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，完全平方公式的变形，二次函数与特殊的平行四边形综合，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，完全平方公式的变形，二次函数与特殊的平行四边形综合，二次函数的图象与性质是解题的关键．
25. 如图，在四边形中，点，分别在边，上．连接，，，．
（1）【实践探究】如图①，四边形是正方形．
（ⅰ）若，，求的余弦值；
（ⅱ）若，求证：是的中点；
（2）【拓展】如图②，四边形是直角梯形，，，，，，求的长．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）见详解
（2）8
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）根据四边形是正方形，用勾股定理得出，即可求解；
（ⅱ）将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到．证明，得出，设，得，再由锐角三角函数定义得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，得，即可解决问题；
（2）过作的垂线交的延长线于点，延长使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到．证四边形是正方形，得出，设，则，证明，得出，由旋转的性质得：，再证明，得出，，在中，用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
（ⅰ）解：∵四边形是正方形，
，
∵，
∴在中，，
．
（ⅱ）证明：将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到．
∵四边形是正方形，
由旋转的性质得：，
，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
∴，
∴，
即是的中点；
【小问2详解】
解：过作的垂线交的延长线于点，延长使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到．
∵，，，，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长是8；
故答案为：8．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．