福建省厦门市思明区莲花中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份福建省厦门市思明区莲花中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数，，0，中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】解：在实数，，0，中，
，为正数大于0，
为负数小于0，
最小的数是：．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数比较大小，解题的关键是：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，可以直接判断出来．
2. 如图，在中，若，则的度数为（ ）
A. 35°B. 55°C. 70°D. 110°
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求解．
【详解】解：在中，若，
则∠C=∠A=110°．
故选：D该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3. 在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是（ ）
A. BCB. BAC. BDD. CD
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形对角线互相垂直判断即可．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键是熟记菱形性质，准确进行判断．
4. 若有意义，则x的取值范围是（ ）．
A. x＞﹣1B. x≥0C. x≥﹣1D. 任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式意义可得出x+1≥0，即可得到结果．
【详解】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了二次根式有意义的条件应用，计算得出的不等式是关键．
5. 如图，在长方形中，，，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的性质：对边相等，四个角都是直角；可知：CB=AD=5，以及平面直角坐标系中点的坐标变化即可得出点A的坐标．
【详解】∵四边形ABCD是长方形
∴CB=AD=3
∴点B（-1-3，-1）即B（-4，-1）
∵AB=5
∴点A（-4，-1+5），即A（-4，4）
故选：C
【点睛】本题主要考查了长方形的性质以及平面直角坐标系中点的变化规律，熟练的掌握长方形对边相等，四个角都是直角的性质是解题的关键．
6. 如图，平面直角坐标系中，一次函数与图象分别为直线和直线，下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
【详解】一次函数的图象过一、二、四象限，
，，
一次函数的图象过二、三、四象限，
，，
、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于中考常考题型．
7. 阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
8. 已知一次函数的图解经过点A，且随的增大而增大，则点A的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：根据题意，得，
A、将点代入，
得，
解得，
故本选项不符合题意；
B、将代入，
得，
解得，
故本选项不符合题意；
C、将点代入，
得，
解得，
故本选项符合题意；
D、将点代入，
得，
解得，
故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握知识点是解题的关键．
9. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A. 47B. 62C. 79D. 98
【答案】C
【解析】
【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.
【详解】解：由题可得：……
当


故选：C
【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 化简：（1）＝________；（2）=________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）＝2；（2）．
故答案为：（1）2；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
12. 将直线沿轴向下平移个单位，所得直线的解析式为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】上下平移时只需让的值加减即可．
【详解】解：原直线的；向下平移个单位长度得到了新直线，那么新直线的，．
新直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．
13. 如图，在菱形中，，则的长为___________．

【答案】10
【解析】
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，
∵点C是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
15. 如图直线（k，b为常数且），经过点，则关于x的不等式解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过观察图象求解．
利用函数图象，找出正比例函数图象在一次函数上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵直线，正比例函数经过点
∴由图象可得，
当时，．
故答案为：．
16. 如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
【答案】
【解析】
【分析】由勾股定理可求A'C=5，可得A'D= A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，对应边成比例即可求出DE的长，再由△A'DF∽△CDE求出DF的长，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.
【详解】解：由旋转前后对应边相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4
∴由勾股定理可知：A'C=，
∴A'D= A'C-CD=2，
又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，
∴△ECD∽△A'CB'，
∴，代入数据：，
∴，
又A'F∥CE，
∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，
∴△A'DF∽△CDE，
，代入数据：，
∴，
在Rt△DFC中由勾股定理可知：
.
故答案为：.
【点睛】本题借助矩形的性质考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决此题的关键.
三、解答题（9题，共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
（1）首先进行二次根式的乘除法运算，再把结果进行化简即可求得；
（2）首先利用二次根式的乘法运算法则进行运算，计算零指数幂，再合并即可求得结果．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
19. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】证明四边形为平行四边形，可证得结论成立．
【详解】证明：∵四边形平行四边形
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
20. 已知一次函数图象过点（1，4）和（0，2），求这个一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该函数图象．
【答案】y＝2x+2，图见解析．
【解析】
【分析】设一次函数解析式为y= kx+b，通过待定系数法求解即可，根据点（1，4）和点（0，2），即可画出函数图象．
【详解】解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
将（1，4）和（0，2）代入y＝kx+b，得
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2，
如图，
【点睛】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象的画法，解题关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式．
21. 如图，在中，，，．

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线，交于点E，交于点F．(要求：不写作法，保留作图痕迹，标出字母)
（2）连接，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的作法作图；
（2）根据股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如下图：即为所求；
【小问2详解】
设，
∵边的垂直平分线是，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
解得，
即．
【点睛】本题考查了基本作图——作垂直平分线和勾股定理，掌握基本作图和勾股定理是解题的关键．
22. 如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点恰好在的延长线上．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
（1）利用角的等量代换解答即可；
（2）连接，判定出四边形是平行四边形，在利用平行四边形的性质去判定出，即可根据全等的性质进行解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
连接，如图所示：
∵线段是由线段平移得到的，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴．
23. 学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设购进A型节能灯m只，总费用为w元，根据题意求出w与x的函数关系式，再求得m的取值范围，根据一次函数的性质确定最省钱方案即可.
试题解析：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元.
依题意得，解得.
所以一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元.
（2）设购进A型节能灯m只，总费用为w元，
依题意得w=5m+7（50-m）=-2m+350，
因-2＜0，∴当m取最大值时w有最小值.
∵m≤3（50-m），解得m≤37.5.
而m为整数，∴当m=37时，w最小=-2×37+350=276.
此时50-37=13.
所以最省钱的购买方案是购进A型节能灯37只，B型节能灯13只.
考点:二元一次方程组的应用；一次函数的应用.
24. 如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点．
（1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若点落在上时，求的长；
（3）如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围
【答案】（1）见解析 （2）的长是
（3）的取值范围是
【解析】
【分析】（1）由平行四边形性质得由折叠得则进而即可证明四边形是平行四边形；
（2）由题意作交的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解；
（3）根据题意取的中点T、连接进一步得出是等边三角形，并且分析出当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。
【小问1详解】
证明：如图1，∵四边形是平行四边形，
∴
∴
由折叠得
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：如图2，作交的延长线于点H，
∵
∴
∵点落在上，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴3，
∵
∴，
∴的长是．
【小问3详解】
解：如图3，取的中点T、连接
∵
∴
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∵点F是的中点，T是的中点，
∴3，
∵，且，
∴，
∴的最小值是3；
∵点E是边上的动点，
∴当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，
如图4，点E与点C重合，
∴，
∴三点在同一条直线上，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∴的取值范围是．
【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
25. 把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象．
（1）请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______；
（2）在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积；
（3）一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围．
【答案】（1）图见解析，
（2）2 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可；
（2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可；
（3）根据题意得出经过定点，该图象与x轴交点，利用一次函数的增减性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示即为所求函数图象：
y=x+1，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为
【小问2详解】
由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1，
∴，
解得
∴
线段AD所在直线的解析式为y=x+1，
∴，
解得
∴
由（1）得：
∴△ABC的面积；
【小问3详解】
∵直线（，且为常数）
当时，
∴经过定点
当时，
∴该图象与x轴交点
①当时
∵，
由图象可知，
解之得
∴
②当时，由图象可知，始终有
综上所述，或．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．