2024北京市房山区中考一模数学试题

这是一份2024北京市房山区中考一模数学试题，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱柱D. 球
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，即可判断该几何体为圆锥．
【详解】解：长方体的三视图都是圆锥，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．
2. 据中国国家铁路集团有限公司消息：在2024年为期天的春运期间，全国铁路累计发送旅客亿人次，日均发送人次．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将用科学记数法表示应为，
故选：C．
3. 如图四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
4. 如图， ，点，在直线上，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为进行解题即可．
【详解】解：，
，
又
∴，
，
故选D．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
即的值为，
故选：B．
6. 不透明的袋子中装有个红球，个白球，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，
两次都摸到红球的概率是，
故选：C．
7. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是不等式的性质．根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
8. 如图，在四边形中，，点在上，，连接并延长交的延长线于点，连接，． 给出下面三个结论：①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得，，，结合，求出，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明，得出，即可判断③，从而得解．
【详解】解：，
，，，
，
，
，
，故①正确，符合题意；
，且，
，故②正确，符合题意；
，，
，
，
，，
，
，
，
，故③正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】根据分母不等于0解答．
【详解】∵有意义，
∴x-3≠0，
∴x≠3．
故答案为x≠3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解决此类问题的关键是分母不等于0．
10. 分解因式：x2y-4y=____．
【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．
11. 方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程．利用去分母将原方程化为整式方程，解方程求得的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则__________（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式得出反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，结合即可得出答案．
【详解】解：，，
反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
13. 某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从名学生家长中随机抽取名进行问卷调查，获得了他们对课后服务的评分数据（评分记为），数据整理如下：
根据以上数据，估计这名学生家长评分不低于分的有__________名．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用名学生家长乘以评分不低于分的学生家长所占百分比即可得．
【详解】解：由题意得：（名），
即估计这名学生家长评分不低于分的有360名，
故答案为：360．
14. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________．

【答案】##
【解析】
【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
【详解】解：连接，

四边形是矩形，
，
，分别为，的中点，
是是中位线，
，
，
故答案为：．
15. 如图，是的直径，点在上，，垂足为点，若，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、解直角三角形，由圆周角定理得出，解直角三角形得出，再由即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 在一次综合实践活动中，某小组用号、号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号分别为，，，，，每个成品的总零件个数及所需的号、号零件个数如下：
选用两种零件总数不超过个，每款成品最多组装一个．
（1）如果号零件个数不少于个，且不多于个，写出一种满足条件的组装方案__（写出要组装成品的编号）；
（2）如果号零件个数不少于个，且不多于个，同时所需的号零件最多，写出满足条件的组装方案_____（写出要组装成品的编号）．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②.
【解析】
【分析】本题考查了方案的设计选择，分析题意合理使用方案是解题关键．
（1）根据号零件个数不少于11个，且不多于13个，设计出号零件的组法，再分别求出号零件个数，满足两种零件总数不超过25个即可；
（2）根据（1）中方案，计算总数，判断即可．
【详解】解：（1）设号零件个数为，号零件的个数为，
号零件个数不少于11个，且不多于13个，
，
由表得满足号零件的组法为：
组用Ⅰ号零件12个，组用号零件12个，组用号零件11个，组用号零件13个，组用号零件13个，组用号零件13个，
以上六种方案中使用Ⅱ号零件个数为：
组用号零件14个，组用号零件11个，组用号零件13个，组用号零件13个，组用号零件12个，组用号零件9个，
两种零件总数不超过25个，
，
满足题意的方案为组，，，，
一种满足条件的组装方案可以是，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，组用的零件最多，为25个，
故答案为：．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查实数的运算．利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可．
【详解】解：

．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
19. 已知，求分式的值．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的求值能力．先化简，再由题意得，最后代入求解．
【详解】解：

．
∵，
∴．
∴原式．
20. 在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？
【答案】预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为米，则长为，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度．
【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则矩形菜园的长为米．
由题意可得，
．
解得．
∴．
答：预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米．
21. 如图，在中，，交于点，，过点作交延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形、菱形的性质判断和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握解直角三角形、菱形的性质判断和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到．则，由已知得到，则，即可得到结论；
（2）由四边形是菱形得到，，．证明．再得到．．在△中，，．则，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，．
∴．
∴．
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求该函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，根据不等式的解集得是解题的关键．
（1）根据函数的图象由函数的图象平移得到的，可求出k的值，再代入即可；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值时，即，得，可得，即可求解．
【小问1详解】
∵ 函数的图象平行于函数的图象，
∴，
把代入，得：，
解得，，
∴该函数的表达式为；
【小问2详解】
当函数的值大于函数的值时，，
∴，
∵当时，对于x每一个值，函数的值大于函数的值，
∴，
∴．
23. 年月日北京市生态环境局召开了“年北京市空气质量”新闻发布会，通报了年北京市空气质量状况：北京年年均浓度为微克/立方米，最长连续优良天数为天，“北京蓝”已成为常态．下面对年北京市九个区月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息：
a．年月和月北京市九个区月均浓度的折线图：
b． 年月和月北京市九个区月均浓度的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中，的值；
（2）年月北京市九个区月均浓度的方差为，年月北京市九个区月均浓度的方差为，则 （填“”，“”或“”）；
（3）年至年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，年空气优良达标天数为天，年比年增幅达到约，年达标天数约为 天．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的概念即可解答；
（2）根据方差的概念和意义即可解答；
（3）根据增幅（末期量基期量）基期量和已知条件，求解即可．
【小问1详解】
解：将九月份的数据从小到大排列为：26、26、26、29、30、31、31、33、34
根据中位数和众数的概念，
可以知道这组数据的第五个数为30，即中位数为，
这组数据26出现的次数最多，即众数为；
【小问2详解】
解：根据折线图可以看出，九月份的数据大约分布于26至34，十月份的数据大约分布于32至42，
可以发现九月份的数据比十月份的数据波动较小，更加稳定，
所以九月份数据的方差小于十月份数据的方差，
故答案为：．
【小问3详解】
解：根据已知条件可以列式为：（天
故答案为：．
【点睛】本题考查的是折线图、方差、中位数、众数、增幅等相关知识，解题的关键是掌握方差、中位数、众数等概念，从统计图中获得相关信息，并利用相关信息解答实际问题．
24. 如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点，过点作，与交于点，连接，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
分析】（1）根据， 得出，根据，得出，即可证明结论；
（2）连接，交于点，根据切线的性质得出，证明为的中位线，得出，解直角三角形得出，．最后根据勾股定理求出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：连接，交于点，如图所示：

∵是的切线，切点为，
∴，
∵，
∴，
∴⊥，
∴为中点．
∵为直径中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中
∵，
∴，
由勾股定理得．
∴．
∴．
∵为中点， ，
∴．
在中， 由勾股定理得
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，中位线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
25. 如图，点是半圆的直径上一动点，点是半圆内部的一定点，作射线 交于点，连接．已知，设的长度为，的长度为，的长度为．（当点与点A重合时，的值为）．

小山根据学习函数的经验，对函数，随自变量的变化而变化的规律进行探究．对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了，，的几组值，如下表：
（1）在同一平面直角坐标系中，小山已画出函数的图象，请你画出函数的图象；
（2）结合函数图象，解决问题：
① 当长度为时，则的长度约为 （结果保留小数点后一位）．
② 当为等腰三角形时，则的长度约为 （结果保留小数点后一位）．
【答案】（1）见详解 （2）① ； ② ，，
【解析】
【分析】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用描点法画出图象即可；
（2）当时，从图象上找出对应函数的函数值即可；
（3）图中寻找长关于x的函数：直线与两个函数的交点的横坐标，以及与的交点的横坐标即可．
【小问1详解】
解：函数图象如图示：
【小问2详解】
①：当时，由图像可知，
故答案为9.2．
②当时，即，观察两个函数图像交点的横坐标即为长，由图象得
；
当时，即，画出函数图象，如图示：
观察图像即为直线与函数图像交点，故；
当时，即，观察图像即为直线与函数图像交点，故．
故答案为：，，．
26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．
（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
【答案】（1）抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）令，则代入的值即可得出此时抛物线与轴的交点坐标，将抛物线化为顶点式，代入的值即可得出此时抛物线的顶点坐标；
（2）由题意得出，，从而得出，结合，，得出，即可得到，求解即可．
【小问1详解】
解：令，则．
当时，．
∴抛物线与轴的交点坐标为；
∵，
∴当时，抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：∵，是抛物线上任意两点，
∴，．
∴．
∵，，
∴，．
∵，，
∴．即．
∴．
∴．
27. 在△中，，，是上的动点(不与点 重合)，且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）直接写出的大小，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
（1）根据要求作出图形；
（2）证明，可得．
【小问1详解】
解：依题意补全图形，如图．
；
【小问2详解】
解：结论：．
理由：过点作于点，设，交于点．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28. 在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．
（1）如图，等边三角形的顶点分别为点，，．
①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ；
②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；
（2）已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，；②；
（2）或．
【解析】
【分析】（）根据新定义即可求解；
找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；
（）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；
本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
如图，
根据题意，直线与以为半径的相切，
由图可知，等边三角形的“相关切点”是，
故答案为：；
根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图，
若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，
由，是等腰直角三角形，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
此时，
∴的取值范围为；
【小问2详解】
如图，此时中，，，
此时，，
解得：（负值舍去），
如图，此时中，，，
此时，，
解得：（正值舍去），
如图，
此时，，
解得：或（舍去），
如图，
此时，，
解得：（舍去）或，
综上可知：或．家长评分
人数
成品编号
号零件个数
号零件个数
总零件个数
月均浓度
平均数
中位数
众数
月
月
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.32
4.91
5.78
6.93
8.08
8.81
9.18
9.37
9.48
9.55
960
9.02
7.86
6.63
5.46
4.79
5.00
5.73
6.64
7.61
8.60
9.60