2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题

这是一份2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：数学试卷共八大题，23小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得9的算术平方根．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选C
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．
2. 如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）

A. 主视图和俯视图B. 左视图和俯视图C. 主视图和左视图D. 三个视图均相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【详解】该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形，俯视图是一个圆．
故选：C．
【点睛】本题考查三视图的知识点，主要掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的前面、左面、上面看到的图形是解题的关键．
3. 中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D. 该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4. 下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C．
5. 某同学利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表，那么当输入数据是时，输出的数据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式中的数字规律，输出数的分子就是输入数，输出数的分母是输入数的平方加上，用规律完成计算即可，正确分析分子，分母与序号之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵输出数的分子就是输入数，输出数的分母是输入数的平方加上，
∴第个分数是，
故选：．
6. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 5和5B. 5和4C. 5和6D. 6和5
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7. 正方形的边长为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线的性质和解直角三角形，连接，根据正方形的性质和特殊角的三角函数值求得，判定是等腰直角三角形，从而利用中位线定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：．
8. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的实际应用， 先根据待定系数法求出解析式，代入函数求值即可，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】设电流与电阻函数关系为，
∵图象经过点，
∴，
解得：；
∴，
当时，，
故选：．
9. 欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点E，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点B的新位置F，因而，类似地，在上折出点M使．下列线段中，其长度是方程的一个根的是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，设，则，根据线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，化简得到，据此可得答案．
【详解】解：设，则，
∵E是的中点，
∴，
∴，
中，由勾股定理得，
∴，
∴，即，
∴线段的长度是方程的一个根，即线段的长度是方程的一个根，
故选：A．
10. 如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵∠DEG=90°，
∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEG，
∴∠BEG=∠ADE，
∴∠BEG=∠ABF，
∴EGBF，
∵DE=BF，DE=GE，
∴EG=BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∴四边形EFBG的面积=2△BEF的面积=2BE•AF，
设AE=x，四边形EFBG的面积为y，
当0≤x≤1时，y=（1-x）•x=-x2+x；
当x＞1时，y=（x-1）•x=x2-x；
综上可知，当0≤x≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，
符合上述特征的只有B，
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以多项式和合并同类项，根据单项式乘以多项式的法则计算，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
故答案为：．
12. 关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
13. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．

【答案】35
【解析】
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：是所对的圆周角，
是的直径，
，
中，，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
14. 定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．
（1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有_____个；
（2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是_____．
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】（）根据二次函数与坐标轴交点问题即可求解；
（）根据二次函数图象的性质即可求解；
本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】（）如图，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
∴一共有个“整点”，
故答案为：；
（）如图，
由得，根据图形可知，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
当时，个“整点”，
若恰好有个“整点”，则抛物线经过时，，
抛物线经过时，，
∴的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15. 解分式方程：
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验，即可求出方程的解
【详解】解：
方程两边同乘以，得
解得，
检验：时，
故原分式方程的根为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤进行解题．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的图形，并直接写出点坐标；
（2）以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
（3）如果点在线段上，请直接写出经过的变化后的对应点的坐标．
【答案】（1）图见解析，点坐标：
（2）图见解析，点坐标为：
（3）
【解析】
【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；
（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出点坐标变化规律即可．
【小问1详解】
如图所示：，即为所求，
点坐标为：；
【小问2详解】
如图所示：，即为所求，
点坐标为：；
【小问3详解】
如果点在线段上，经过的变化后的对应点的坐标：
【点睛】此题主要考查了轴对称变换、位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．
四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 观察下列各式：；；．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，计算：______；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明．
【答案】（1）；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（）把代入被开方数中，根据已知等式的规律可得答案；
（）分析所给的等式的形式即可验证；
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
，
验证：左边，
，
，
，
，
左边右边．
18. “七夕节”，又名乞巧节、女儿节，是中国的传统节日，也被称为中国的情人节．某商家在“七夕节”当天对某商品进行打折促销活动，原本销售一件商品成本为元，网上标价元．一周可售出件．活动这天该网店先将该商品网上标价提高，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，当天卖出的该商品数量也比原来一周卖出的商品数量增加了，这样活动当天网店的利润达到了万元，求该网店在购物活动这天的网上标价为多少？
【答案】该网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出的值，再将其代入中即可求出结论，读懂题意，列出等量关系是解题的关键．
【详解】根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴（元），
答：该网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为元．
五、（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点．
（1）求线段的长；
（2）求弧的长．
【答案】（1）；
（2）弧的长．
【解析】
【分析】（）连接，由圆周角定理得， 再根据勾股定理和线段和差计算即可；
（）连接，根据等腰三角形的“三线合一”性质证明是的中位线，从而有，则，所以，再利用弧长计算公式即可求解．
【小问1详解】
如图，连接，
∵，
∴，
则由勾股定理得：，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
由（）得：，
∴，
∴弧的长．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，中位线的性质，平行线的性质，等腰三角形的“三线合一”性质，解题的关键是是熟练掌握知识点的应用．
20. 某学校办公楼（矩形）前有一旗杆，，旗杆高为，在办公楼底处测得旗杆顶的仰角为，在办公楼天台处测旗杆顶的俯角为，在小明所在办公室楼层处测得旗杆顶的俯角为．（结果保留根号）

（1）办公楼的高度；
（2）求小明所在办公室楼层的高度．
【答案】（1）办公楼的高度AB为；
（2）小明所在办公室楼层的高度为．
【解析】
【分析】（）过点作于点，可得四边形是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的高度；
（）过点作于点，由（）得，，设，则，，由得，求解即可；
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角定义．
【小问1详解】
如图，过点作于点，

∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
答：办公楼的高度AB为；
【小问2详解】
过点作于点，由（）得，，
∴，
设，则，，
由，，
解得，
答：小明所在办公室楼层的高度为．
六、（本大题12分）
21. 某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“．家庭预算，．城市交通与规划，．购物决策，．饮食健康”．为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中，的值是______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有名学生，估计最喜爱和项目的学生一共有多少名？
（4）现有最喜爱，，，活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱和项目的两位学生的概率．
【答案】（1），；
（2）补全统计图见解析图；
（3）估计最喜爱和活动项目的学生一共有名；
（4）．
【解析】
【分析】（）用喜欢项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；用减去其它项目所占的百分比，即可求出的值；
（）用总人数乘以项目所占的百分比，求出项目的人数，从而补全统计图；
（）用该校的总人数乘以喜爱和项目的学生所占的百分比即可；
（）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出最喜爱和项目的两位学生的结果数，然后根据概率公式求解；
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【小问1详解】
被调查的学生有（名），，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
最喜爱活动项目的学生有（名），
补全统计图如图所示：
【小问3详解】
（名） ，
答：估计最喜爱和活动项目的学生一共有名；
小问4详解】
画树状图为：
共有种等可能的结果，最喜爱和项目的两位学生的可能情况由种，
∴最喜爱和项目的两位学生的概率为．
七、（本大题12分）
22. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式；
（2）时，四边形的最大面积为，此时．
【解析】
【分析】（）根据待定系数法，将点的坐标代入，即可得到函数解析式；
（）设，可以先求出的坐标，得到的解析式为，由此设的坐标为，可以得到为 ，结合面积公式得到四边形的面积，由此求解；
本题主要考查求二次函数解析式，以及二次函数的性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
把，代入得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式；
【小问2详解】
设，
∵轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴或，
∴点坐标为，
∴，
设直线的函数表达式为
把坐标代入直线的函数表达式得，解得：，
∴直线的函数表达式为，
∴坐标为，
∴，
∵轴，，
∴
∴四边形的面积，
∴时，四边形的面积为，此时，
∴．
八、（本大题14分）
23. 在矩形中，，．
（1）如图（），分别是边的中点，以为邻边作矩形．连接．则的长为______；（直接填空）
（2）在（）的条件下，如图（），让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接，求出和的长，并求的值．
（3）在（）的条件下，如图（），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值．
【答案】（1）；
（2），，；
（3）不变，，理由见解析．
【解析】
【分析】（）延长交于，则四边形是矩形，在中，利用勾股定理即可解决问题；
（）过作于，利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出即可解决问题；
（）连接，只要证明，列比例式即可解决问题；
本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.
【小问1详解】
如图， 延长交于，则四边形是矩形，
在中，，
∴，
故答案为；
【小问2详解】
如图中，过作于，
由（）得则四边形是矩形，
∴，，
∵分别是边的中点，
∴，，
∵，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
；
【小问3详解】
不变，理由如下：
连接，
由旋转可知：，
由勾股定理可知：，，
∵，，
∴，
∴，
∴．输入
…
…
输出
…
…