广东省珠海市华发容闳学校数学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

这是一份广东省珠海市华发容闳学校数学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题，共25页。试卷主要包含了 的相反数是， 下列运算中，正确的是， 已知，下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”．
根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源．鼓舞是一种安徽民间表演艺术，如图是凤阳花鼓的示意图，其左视图大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图是解题的关键．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，可得选项C的图形．
故选：C．
3. 中新网广东新闻11月8日电，由广州市创新试点“政府指导、商业运作”的“靶岁康”在2021至2023年，投保1118万人次，获赔金额最高的达万元．将数据万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，据此判断即可．
【详解】解：万．
故选：B．
4. 用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形变换是( )
A. 平移和旋转B. 对称和旋转C. 对称和平移D. 旋转和平移
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据对称和旋转定义来判断．
解答：解：根据对称和旋转定义可知：
“当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称；
“坐地日行八万里”是旋转．
故选B．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：，故该项不正确，不符合题意；
，故该项不正确，不符合题意；
，故该项正确，符合题意；
，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
6. 体育委员小聪要帮体育老师分析本班的跳远成绩，将各统计量计算好后却发现由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，则实际成绩与记录成绩相比（ ）
A. 众数改变，方差改变B. 众数不变，平均数改变
C. 中位数改变，方差不变D. 中位数不变，平均数不变
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差．根据中位数，平均数，众数，方差的意义，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵每位同学的成绩都少记录了，
∴实际成绩与记录成绩相比，众数增加，方差不变，平均数增加，中位数增加，
故选：C．
7. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、，
根据平行线的性质即可求解．
【详解】
如图所示，过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l支撑平台
∴直线l支撑平台工作篮底部
∴、
∵
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
8. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
9. 如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再根据已知可得，进而可得，最后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：是半圆的直径，
，
，
，
四边形是半的内接四边形，
，
点是弧的中点，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10. 如图，分别以的三边、．为边向外侧作正方形．正方形．正方形，连接，、，再过A作于．延长交于点．
①；
②；
③当，．时，．
其中错误的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. 都不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．①根据正方形的性质可得，再由不一定是直角，可判断①；过点E作于R，则，再证明，可得，同理可得：，从而得到，可得到，可判断②；分别过点A、G作于K，于Q，根据
，可判断③．
【详解】解：①由正方形的性质可得：，
∵不一定是直角，
∴不一定成立，故结论①错误；
②如图，过点E作延长线于R，过点F作延长线于点T，则，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故结论②正确；
③∵，
∴，
如图，分别过点A、G作于K，的延长线于Q，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，故结论③错误；
综上所述，其中错误的结论是①③，
故选：B．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若代数式有意义，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查分式和二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义，
【详解】解：代数式有意义，
，解得．
故答案为：．
12. 已知，两点都在抛物线上，那么________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
13. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于、，与x轴交于点，与y轴交于点，若，则__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，结合了三角形相似，求出函数图象上任意一点的坐标即可求出的值，关键点在于作轴于E，利用和，求出点的坐标即可求解，或者过点作轴，同理求出的坐标亦可．
【详解】解：∵，
∴ ，，
如图，作轴于E，
，
则，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如下图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为1.6尺，则第二时刻的影长为_____尺．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为40尺．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
根据题意得：尺，尺，
∴（尺）；
∴第二时刻影长为40尺；
故答案为：40．
16. 如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分）
17. （1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组；能正确根据分式的运算法则进行化简；正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据将分式的混合运算法则运算即可求解．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：由①得：，
由②得：，
则不等式组解集为．
18. 从地面坚直向上抛一个物体，物体向上的速度是运动时间的函数．经测量，速度与时间的关系如下表：
求经过多长时间，物体将达到最高点？
【答案】经过，物体将到达最高点．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用．正确的求出一次函数的解析式，是解题的关键．根据题意，设v与t之间的关系式为，利用待定系数法求出解析式，再把第三个点代入验证，最后求出时，的值，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，运动时间每经过，速度就下降5，则猜想物体向上的速度是运动时间的一次函数，
设，
由题意，得：，
解得：，
∴；
当时，，符合题意，
∴物体向上的速度是运动时间的一次函数，，
当物体到达最高点时，则，即，
解得：；
∴经过，物体将到达最高点．
19. 忻州瓦酥，因形状似瓦而得名，其质酥脆、味甜香郁，堪称炉食中之一绝．某商家在售卖瓦酥的过程中发现，如果每千克瓦酥盈利元，那么每天可售出，为尽快减少库存且让利于顾客，商家决定采取适当的降价措施．经调查发现，每千克瓦酥每降价2元，商家平均每天可多售出．在上述销售正常的情况下，当每千克瓦酥降价多少元时，该商家平均每天的盈利为元？
【答案】7元
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题中的等量关系列出方程是解题关键．
设每千克瓦酥降价x元，那么平均每天就可多售出，商家平均每天的盈利为元，即销量×每的利润=元，列出方程求解即可．
【详解】解：设每千克瓦酥降价x元，那么平均每天就可多售出，
由题意得：
整理得：
解得：
∵尽快减少库存且让利于顾客，
∴
即每千克瓦酥降价7元时，该商家平均每天的盈利为元．
四．解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
20. 在矩形纸片中，，，现将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点
（1）尺规作图，画出折痕；
（2）判断四边形是什么特殊四边形？并证明；
（3）求折痕的长度？
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形．证明见解析
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）直接作线段的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质可得，证明，可得，得出四边形是平行四边形．由折叠可知，，即可得证；
（3）由勾股定理得出，则，设，则，再由勾股定理求出，，即可得解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
；
小问2详解】
解：四边形是菱形．理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
设与交于点，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
由折叠可知，，
∴四边形是菱形
【小问3详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
设，则，
中，由勾股定理得，即，
解得，
∴．
由（2）知，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
21. 近日，“山河四省”携手发布文旅大片，积极推介家乡，恰逢假期的学生们也想贡献自己的绵薄之力．某中学校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下不完整的调查报告：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生人数为 ；将条形统计图和扇形统计图补充完整．
（2）请估计在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数．
（3）若该校志愿者社团要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是多少？（分数表示即可）
【答案】（1）400；画图详解
（2）1092 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是扇形统计图，条形统计图和利用频率估计概率，能够熟练算出调查总人数是解题的关键．
（1）参与本次抽样调查的学生人数为，计算即可，然后再补全条形统计图和扇形统计图；
（2）本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有：；
（3）想去山西博物院的女生的概率：想去山西博物院的女生人数被调查的女生总人数；
【小问1详解】
解：(人)，
∴、志愿时间为的有：(人)，
D、志愿时间为以上的占比为：，
补全的条形统计图和扇形统计图如下：
故答案为：400．
【小问2详解】
(人)，
答：本校本学期参加志愿服务的时长大约是“”的学生人数有1092人．
【小问3详解】
∵被调查的女生总人数：(人)，
∴想去山西博物院的女生的概率：，
答：被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，则正好抽到想去山西博物院的女生的概率是．
22. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．
（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【解析】
【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．
【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．
由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．
在中，，，，
，
．
．
与之间的距离为．
（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得
解，得．
经检验是原方程的解
当时，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得．
解，得
经检验是原方程解．
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质．
五．解答题（共2小题，每小题12分，共24分）
23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

【答案】（1）正方形，见解析
（2）①，见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【小问1详解】
解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
【小问2详解】
：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
24. 综合运用：已知，抛物线如图1所示，其对称轴是．
（1）①写出与的数量关系______；
②证明：抛物线与直线有两个交点；
（2）如图2，抛物线经过点，将此抛物线记为，把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线．
①求抛物线与轴的交点坐标；
②点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，连接，以点为圆心、的长为半径作．当与轴相切时，求点的坐标．
【答案】（1）①，②见解析
（2）①，；②或或或
【解析】
【分析】（1）①根据对称轴是，列式，即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算并配方，即可求解，
（2）①将代入，求出抛物线的表达式：，顶点式：，根据坐标的平移，得到抛物线的表达式，当时，即可求解②，根据与点纵坐标的绝对值相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【小问1详解】
解：①∵抛物线的对称轴是，
∴，即：，
∴抛物线方程为：，
②联立抛物线与直线方程，，
整理得：，
∵，
∴，
∴抛物线与直线有两个交点，
故答案为：①，
【小问2详解】
解：①将代入，得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：，顶点式为：，
∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为：，，
②根据题意得：，
∴，或，
整理得：，或，
解得：或或或，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或或或．时间
1
1.5
2
速度
20
15
10
调查主题
中学学生参加志愿服务情况
调查方式
抽样调查
调查对象
中学学生
数据的收集、整理、描述
调查问卷
您好这是一份关于参加志愿服务的调查问卷，在以下两个问题中，请选择一项最符合您实际情况的选项，非常感谢您的配合
1．本学期您参加志愿服务的时长大约是（每项含最大值，不含最小值）_____；
A．B． C．D．以上
2．学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是_____．
E．山西博物院 F．太原晋商博物馆
G．山西地质博物馆 H．中国煤炭博物馆
将问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图：
调查结果